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(Hinweis: Verwenden Sie die Taylorformel und Zusatzaufgabe 5 von Blatt 7.) L¨osung: Wir zeigen zuerst, dass ein kritischer Punkt existiert, indem wir zeigen, dass f koerzitiv ist

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 8

Abgabe bis Fr, 12.06., 12 Uhr

Zusatzaufgabe 5 Seif:Rn→Rzweimal stetig differenzierbar und die Hesse-Matrix Hf uniform positiv definit in dem Sinn, dass

∃η >0∀x, v∈Rn:hHf(x)v, vi ≥ηkvk22.

Zeigen Sie, dass die Funktion f genau einen kritischen Punkt besitzt und dort ihr globales Minimum annimmt.

(Hinweis: Verwenden Sie die Taylorformel und Zusatzaufgabe 5 von Blatt 7.)

L¨osung: Wir zeigen zuerst, dass ein kritischer Punkt existiert, indem wir zeigen, dass f koerzitiv ist. Sei x∈Rn. Dann ist laut Taylorformel

f(x) =f(0) +Df(0)x+1

2hHf(tx)x, xi.

f¨ur eint∈(0,1). Die Annahme liefert die Absch¨atzung f(x)≥f(0)− kDf(0)k · kxk2+1

2ηkxk22. Somit folgtf(x)→ ∞f¨urkxk → ∞, d.h.f ist koerzitiv.

Nach Zusatzaufgabe von Blatt 6 nimmt f also in einem Punkt x0 ∈ Rn ein globales Minimum an. Dann muss x0 nat¨urlich ein kritischer Punkt sein.

Sei x∈Rn ein kritischer Punkt. Wir zeigen, dass x=x0. F¨ur jedes y∈Rn mity6= 0 ist wieder laut Taylorformel

f(x+y) =f(x) +Df(x)y+1

2hHf(x+ty)y, yi

=f(x) +1

2hHf(x+ty)y, yi

≥f(x) +1 2ηkyk22

> f(x)

f¨ur eint∈(0,1). Da f inx0 ein globales Minimum annimmt, mussx=x0 gelten.

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