Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung ¨

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G15. Die min-NCP-Funktion Betrachte die Minimums-Funktion

φ a

b

= min(a, b).

a) Berechnen Sie∂_Bφ ^a_b

und∂^clφ ^a_b . b) Zeigen Sie, dass f¨ur jeden Punktx= ^a_b

∈R² die Approximationseigenschaft gilt sup

M∈∂^clφ(x+s)

|φ(x+s)−φ(x)−M s|=O(ksk²) f¨urksk →0

G16. Hindernisproblem

Die Auslenkungy : Ω7→ Reiner am Rand fixierten Membran unter einer Kraftf : Ω 7→R ber einem Hindernis auf H¨oheg : Ω7→(−∞,0)l¨aßt sich als Minimum des Energiefunktio- nals durch L¨osen des Problems

min

y∈H₀¹(Ω)

Z

Ω

(κ

2∇y(x)^T∇y(x)−f(x)^Ty(x))dx s.t. y≥g (H) mit einer Elastizit¨atskonstantenκ >0und dem Sobolevraum

H₀¹(Ω) :=

y∈L²(Ω) : ∇y ∈L²(Ω)², y|_partialΩ = 0 bestimmen (∇yist im schwachen Sinne undy|_∂Ωals Spur zu verstehen).

Durch Diskretisierung erh¨alt man ein endlichdimensionales Problem der Form

~min

y∈Rⁿ

1

2~y^TA~y−f~^TM ~y s.t. ~y≥~g (H_h) mit den symmetrisch positiv definiten MatrizenA∈R^n,n(Steifigkeitsmatrix) undM ∈R^n,n (Massenmatrix).

a) Zeigen Sie, dass (H_h) eine eindeutige L¨osung~y^∗besitzt.

b) Stellen Sie die KKT-Bedingungen f¨ur (Hh) auf.

c) Schreiben Sie die KKT-Bedingungen ¨uber die min-NCP-Funktion als nichtglattes Glei- chungssystem.

d) Geben Sie das Clarksche Subdifferential f¨ur das System aus c) an und begr¨unden Sie, dass damit das verallgemeinerte Newton-Verfahren lokal q-superlinear gegen die L¨osung konvergiert.

G17. Clarkesches Subdifferential f ¨ur konvexe Funktionen

Man kann folgendes zeigen: Seif :U →Rkonvex auf der offenen konvexen MengeU ⊂Rⁿ. Dann gilt∂^clf =∂f^T aufU.

Beweisen Sie die Inklusion

∂^clf ⊂∂f^T

Hinweis:Sie d¨urfen verwenden, dass in Differenzierbarkeitspunktenxgilt: f(y)−f(x) ≥

∇f(x)^T(y−x) ∀y.