Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 2

Ubungen zur Vorlesung ¨

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G4. Subgradienten und Abstiegsrichtungen

Seif :X → Rkonvex auf der offenen konvexen MengeX ⊂ Rⁿ undx ∈X beliebig. Sei H⊂Rⁿeine Hyperebene durch0mit Normales. Zeigen Sie:

sist genau dann eine Abstiegsrichtung vonf inx, wenn∂f(x)∩H =∅und zudem∂f(x) vollst¨andig auf der Seite vonHliegt, in die−szeigt. Zeigen Sie weiter, dass dann gilt

f⁰(x, s) =−kskd(H, ∂f(x)),

wobeid(H, ∂f(x))den Abstand zwischenHund∂f(x)bezeichnet.

G5. Anwendung des Subgradientenverfahrens a) Betrachte das Problem

minx∈R

f(x)

f¨urf(x) =|x|mit L¨osungx¯= 0. Wenden Sie das Subgradientenverfahren aus Algorith- mus 2 (wegenX =RⁿistP_X =id) an mit den Schrittweiten

i) σ_k= _k+1¹ ,

ii) σ_k= ^f(xk_|g^)−f_k|^(¯x) (vgl. (2.12) aus der Vorlesung).

Berechnen Sie f¨urx⁰ = 2in beiden F¨allenx¹, . . . , x⁵(solange nichtg^k= 0auftritt).

b) Sei nunf(x) = (|x|+ 1)² mit Minimumx¯= 0. Zeigen Sie, dass das Subgradientenver- fahren mit Schrittweitenwahl ii) f¨ur alle Startpunktex⁰∈RIteriertex^kliefert mit

|x^k+1−x| ≤¯ 1

2|x^k−x|.¯

G6. Eigenwert-Optimierung

In zahlreichen Anwendungen tritt das Problem auf, den gr¨oßten Eigenwert einer symmetri- schen Matrix zu minimieren. Wir betrachten also die Funktion

λmax:A∈ S^n,n7→ max

kvk=1v^TAv,

wobei S^n,n = {A ∈ R^n,n : A = A^T} die Menge aller symmetrischen n×n-Matrizen bezeichne. Beachte hierbei, dass bei symmetrischen Matrizen die Eigenvektoren eine Ortho- gonalbasis bilden und daher tats¨achlichλmax(A) = maxkvk=1v^TAvist.

Bitte wenden!

Wir versehenS^n,nmit dem SkalarproduktA•B := Pn

i,j=1aijbij, wobeiA = (aij),B = (b_ij)(also dem euklidischen Skalarprodukt, wenn wir Matrizen alsn²-Vektoren auffassen).

a) Begr¨unden Sie, dass die Funktionλmaxkonvex ist.

b) Zeigen Sie, dass f¨ur allev∈RⁿundA∈ S^n,ngilt:

(vv^T)•A=v^TAv≤λmax(A)kvk².

Zeigen Sie, dass Gleichheit in der rechten Ungleichung gilt, fallsvein Eigenvektor von Azuλmax(A)ist.

c) Sei nunq,kqk= 1, ein Eigenvektor zum maximalen Eigenwert vonA∈ S^n,n. Zeigen Sie, dass dannqq^T ein Subgradient vonλmaxim

”Punkt“Aist, also:

λ_max(B)−λ_max(A)≥(qq^T)•(B−A) ∀B ∈ S^n,n.

Beispielanwendung aus der Kontrolltheorie:Betrachte das Anfangswertproblem x⁰(t) =Ax(t) +Bu(t), x(0) =x0, t >0

mitA ∈ R^n,n,B ∈ R^n,m,m ≤ n. Hierbei seiu : [0,∞) → R^m eine Steuerfunktion und x: [0,∞)→Rⁿder resultierendeZustanddes Systems.

Aufgabe:Finde durch ein Eigenwertoptimierungsproblem eine Matrix K ∈ R^m,n, so dass die Feedbacksteuerung u(t) := Kx(t) die euklidische Norm kx(t)k := p

x(t)^Tx(t) des Zustands m¨oglichst schnell abd¨ampft, also_dt^dkx(t)k²m¨oglichst negativ wird.

Hausaufgaben:

H3. Oberhalbstetigkeit des Subdifferentials

Seif :U →Rkonvex auf der offenen konvexen MengeU ⊂Rⁿ. a) Verwenden Sie die Subgradienten-Ungleichung, um zu zeigen: Aus

x^k∈U, g^k∈∂f(x^k), k≥0, lim

k→∞x^k=x∈U, lim

k→∞g^k=g∈Rⁿ folgtg∈∂f(x).

b) Zeigen Sie, dass∂foberhalbstetig ist, d.h.

∀x∈U, ε >0 ∃δ >0 : [

y∈B_δ(x)

∂f(y)⊂∂f(x) +Bε(0).

Das heißt: Istynahe genug beix, so liegt∂f(y)in einerε-Umgebung von∂f(x).

H4. Kompaktheit der Optimall¨osungsmenge Betrachte das Problem

minx∈Xf(x) (PX)

mitX⊂Rⁿnichtleer, abgeschlossen, konvex undf :Rⁿ→Rkonvex.

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

i) Die NiveaumengenN(ν) :={x∈X : f(x)≤ν}sind f¨ur jedesν ∈Rkompakt.

ii) Die MengeX_optder Optimall¨osungen von (PX) ist nichtleer und kompakt.