SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie
L¨osung zu H4, Blatt 7
Sei in der ganzen L¨osung Sn die Menge der Permutationen von{1, . . . , n},n ∈N und τ1j die Transposition der Elemente 1 und j aus {1, . . . , n} (also die Permutation die 1 undj vertauscht und die anderen Elemente festh¨alt).
Zun¨achst folgt wegen der i.i.d.-Eigenschaft der (Xi)i≥1, dass f¨ur jedes σ∈Sn (X1, . . . , Xn)= (XD σ(1), . . . , Xσ(n)).1
Nehme nun eine Borel’sche Menge A in Rn, sodass in A keine zwei Vektorkoordinaten gleich sind, also
A∩ {x∈Rn :∃i6=j mit xi =xj}=∅.
Man beachte, dass solche Mengen ein ∩−stabilen Erzeugendensystem der Borel’schen σ−Algebra vonRn bilden. Sei nunj ∈ {2, . . . , n}fest. Wir haben wegen der obengenann- ten Gleichheit in Verteilung f¨ur jede σ ∈Sn
E[X1,(Xτ1j◦σ(1), . . . , Xτ1j◦σ(n))∈A] =E[Xτ1j(j),(Xτ1j◦σ(1), . . . , Xτ1j◦σ(n))∈A]
=E[Xj,(Xσ(1), . . . , Xσ(n))∈A].
Es folgt unmittelbar f¨ur borel’sche A wie oben gew¨ahlt E[X1,sort(X1, . . . , Xn)∈A]
= X
σ∈Sn
E[X1, Xσ(1) < Xσ(2) <· · ·< Xσ(n),(Xσ(1), . . . , Xσ(n))∈A]
= X
τ1j◦σ0∈Sn
E[Xτ1j(j), Xτ1j◦σ0(1) < Xτ1j◦σ0(2) <· · ·< Xτ1j◦σ0(n),(Xτ1j◦σ0(1), . . . , Xτ1j◦σ0(n))∈A]
= X
σ0∈Sn
E[Xj, Xσ0(1) < Xσ0(2) <· · ·< Xσ0(n),(Xσ0(1), . . . , Xσ0(n))∈A]
=E[Xj,sort(X1, . . . , Xn)∈A].
Hier haben wir bei der ersten und letzten Gleichheit die Definition von sort benutzt und die angenommene Eigenschaft von A. Bei der zweiten Gleichheit haben wir die Tatsache benutzt, dass ψ1j :Sn →Sn, σ 7→τ1j ◦σ eine Bijektion ist.
Nehme nun
S ={A∈ B(Rn) :E[X1,sort(X1, . . . , Xn)∈A] =E[Xj,sort(X1, . . . , Xn)∈A]}.
Man zeigt wie ¨ublich, dassS ein Dynkin-System ist2. Wir haben ausserdem schon gezeigt, dass S ein ∩−stabiles Erzeugendensystem der Borel’schen σ−Algebra vonRn enth¨alt. Es folgt somit mit dem ¨ublichen Satz aus ANA 3, dass f¨ur jedes A∈ B(Rn), j ∈ {2, . . . , n}
E[X1,sort(X1, . . . , Xn)∈A] =E[Xj,sort(X1, . . . , Xn)∈A].
1Das heisst (X1, . . . , Xn) ist wie (Xσ(1), . . . , Xσ(n)) verteilt.
2∅ ∈S, trivialerweise. Da die ZufallsvariablenXiintegrierbar sind mit gleichem Erwartungswert, folgt unmittelbar, dass S abgeschlossen ist bzgl. Komplementbildung. Ausserdem, klar ist, mit Rechnungen
¨ahnlich wie in fr¨uheren Aufgaben, dass auch die dritte Eigenschaft aus der Definition 1.35, Seite 16 von ANA 3-Skript erf¨ullt ist.
Es folgt unmittelbar f¨ur jedes A ∈ B(Rn) E[
n
X
i=1
Xi,sort(X1, . . . , Xn)∈A] =E[nX1,sort(X1, . . . , Xn)∈A]
und daraus die erste Behauptung.
Nun gilt wegen sort(X1, . . . , Xn+1) = sort(sort(X1, . . . , Xn), Xn+1), dass sort(X1, . . . , Xn+1) ist σ(sort(X1, . . . , Xn), Xn+1)−messbar.3
und ausserdem, da noch {Xk : k > n} ⊂ {Xk : k > n−1}, dass Fn+1 ⊂ Fn f¨ur jedes n∈N.
Es gilt auch noch, dass ¯Xn ist σ(sort(X1, . . . , Xn))−messbar, denn X¯n= 1
n
n
X
i=1
(sort(X1, . . . , Xn))i.
Insbesondere ist ¯Xn, Fn−messbar. Nun k¨onnen wir rechnen E[ ¯Xn|Fn+1] =E[1
n((n+ 1) ¯Xn+1−Xn+1)|Fn+1]
= ¯Xn+1+ 1
nE[ ¯Xn+1−Xn+1|Fn+1].
Es gen¨ugt zu zeigen, dassE[ ¯Xn+1−Xn+1|Fn+1] = 0P−f.s. um fertig zu werden.
Definiere daf¨ur S0 ={A∈ Fn+1 :E[Xn+1, A] =E[ ¯Xn+1, A]}. Wegen Integrierbarkeit von Xn+1 und ¯Xn+1 ist es klar, dassS0 ein Dynkin-System ist (¨ahnliche Argumentation wie in der fr¨uheren Seite). Wir zeigen auch noch, dassS0 den kanonischen∩−stabilen Erzeugen- densystem von Fn+1 enth¨alt (und w¨aren dann fertig mit der ¨ublichen Argumentation).
Sei daf¨ur B ∈ B(Rn+1) undC ∈ B(R)⊗N. Es folgt
E[Xn+1,sort(X1, . . . , Xn+1)∈B,(Xk)k≥n+2 ∈C]
=E[Xn+1,sort(X1, . . . , Xn+1)∈B]P[(Xk)k≥n+2 ∈C]
=E[ ¯Xn+1,sort(X1, . . . , Xn+1)∈B]P[(Xk)k≥n+2 ∈C]
=E[ ¯Xn+1,sort(X1, . . . , Xn+1)∈B,(Xk)k≥n+2 ∈C].
Hier haben wir bei der ersten und letzten Gleichung die Unabh¨angigkeit vonσ(X1, . . . , Xn+1) undσ((Xk)k≥n+2) benutzt, und bei der zweiten Gleichheit die bereits oben bewiesene Tat- sache dass E[Xj|sort(X1, . . . , Xn+1)] = ¯Xn+1 f¨urj ∈ {1, . . . , n+ 1}.
3Dabei haben wir benutzt, dass p : Rn×R → Rn+1, p((X1, . . . , Xn), Xn+1) = (X1, . . . , Xn, Xn+1) messbar ist.
