L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 4¨
Borel-σ-Algebra
Die Borel-σ-Algebraauf einem topologischen Raum (Ω, τ) ist die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra, also B(Ω) :=B(Ω, τ) :=σ(τ). Ist A⊆Ω, so ist die Teilraumtopologie auf A definiert alsτA:={U∩A|U ∈τ}.
Aufgabe 4.1 (Teilr¨aume). (4 Punkte)
Sei (Ω,A) ein messbarer Raum undA∈ A. Die Einschr¨ankung vonAaufAistA↾A:={B ⊆ A|B ∈ A }.
(a) Zeige, dassA↾A eine σ-Algebra auf A ist.
(b) Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (A,A↾A). Definiere ¯µ(B) = µ(B ∩A) f¨ur alle B ∈ A. Zeige, dass ¯µein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω,A) ist.
(c) Sei nun Ω ein topologischer Raum und A = B(Ω) die Borel-σ-Algebra. Zeige, dass B(A) =A↾A, wobeiA nat¨urlich mit der Teilraumtopologie versehen ist.
(d) Sei (Ω′,A′) ein messbarer Raum undf: Ω′→Ω mitf(Ω′)⊆A. Zeige:f ist genau dann A′-A-messbar, wenn die Abbildungf′: Ω′ →A,x7→f(x),A′-A↾A-messbar ist.
Bemerkung:Daher unterscheiden wirf undf′in der Regel nicht und bezeichnen beide Abbildungen mit f.
Aufgabe 4.2 (Einfache (Gegen-)Beispiele). (4 Punkte) Beweise oder widerlege f¨ur allgemeine Mengen X:
(a) Jede σ-Algebra aufX ist auch eine Topologie aufX.
(b) Istτ eine Topologie aufX, so bildet{A⊆X|Aoffen oder abgeschlossen bzgl.τ}eine σ-Algebra auf X.
(c) IstU eine abz¨ahlbare Basis der Topologieτ, so ist die vonU erzeugteσ-Algebra gleich der Borel-σ-Algebra.
(d) Sei I beliebige Indexmenge, Ai ⊆X. Ist A :={Ai |i∈I} eine Algebra, so l¨asst sich jedes A∈σ(A) schreiben alsA=T
i∈I′Ai oder als A=S
i∈I′Ai mitI′⊆I.
Bitte wenden!
Aufgabe 4.3. (4 Punkte) Zeige, dass die folgenden Teilmengen vonRBorel-messbar sind.
(a)
x∈R
0< f(x)≤f(x)2 , wobei f:R→Reine (gegebene) stetige Funktion ist.
(b) Die Menge der algebraischen Zahlen. Dabei heißt eine Zahl x∈R algebraisch, falls sie Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
Aufgabe 4.4 (Messbarkeit von Stetigkeitsstellen). (4 Punkte) Seien (X, d), (Y, r) metrische R¨aume, f: X → Y eine beliebige Funktion. Zeige, dass die Menge der Stetigkeitsstellen von f Borel-messbar ist.
Hinweis: Betrachte Mengen des folgenden Typs:
Aε,δ :=
x∈X
∃u, v∈Bδ(x) :r f(u), f(v)
≥ε ,
zeige, dass sie messbar sind, und dr¨ucke die Menge Uf der Unstetigkeitsstellen von f mit ihrer Hilfe aus.
Abgabe Di, 23.05. 14:00
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 16.05.gibt Tsiry Randrianasolo (Montan University Leoben) einen Vortrag.
Am 23.05.gibt Zakhar Kabluchko (Universit¨at M¨unster) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung.Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
