1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

1 Differentialgleichungen II

1.1 Lineare Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung

Definition 1.1. Gegeben sind n ∈ N, ein Intervall I ⊂ R, Koeffizientenfunktionen a₀(t), a₁(t), a₂(t), . . . , a_n(t), wobeia_n(t)6= 0 f¨ur (mindestens) eint ∈I, und eineSt¨orfunktion h(t), die jeweils f¨urt ∈Idefiniert sind . Einelineare Differentialgleichungn-ter Ordnung hat die Form

an(t)y⁽ⁿ⁾(t) +an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a1(t)y⁰(t) +a0(t)y(t) =h(t). (?) Die Differentialgleichung heißt

inhomogen, falls f¨ur (mindestens) ein t ∈I gilt: h(t)6= 0, homogen, falls f¨ur alle t∈I gilt: h(t) = 0,

explizit, falls f¨ur alle t∈I gilt: an(t)6= 0,

implizit, fallst₁, t₂ ∈I existieren mit a_n(t₁)6= 0 unda_n(t₂) = 0,

mit konstanten Koeffizienten, falls die Koeffizientenfunktionen alle konstant sind.

Bemerkung 1.2. In der Schreibweise aus MaI, Def. 10.1, ist

F(t, x0, x1, . . . , xn) = an(t)xn+an−1(t)xn−1+· · ·+a1(t)x1+a0(t)x0−h(t), und falls die Differentialgleichung explizit ist, so ist in MaI, Def.10.3

g(t, x0, x1, . . . , xn−1) = 1

a_n(t)(h(t)−an−1(t)xn−1−an−2(t)xn−2− · · · −a1(t)x1−a0(t)x0). Beispiel 1.3.

Satz 1.4 (Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung). Ist die Differentialgleichung (?) in Definition 1.1 explizit, und sind alle Koeffizientenfunktionen und die St¨orfunktion stetig, so besitzt das Anfangswertproblem

y⁽ⁿ⁾(t) = g(t, y(t), y⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)), y(t₀) = y₀, y⁰(t₀) = y₁, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) = yn−1

mit g aus Bemerkung 1.2 genau eine L¨osung.

Beweis.

Satz 1.5. (i) Genauso wie in Ma.I Satz 10.20(ii) ist die allgemeine L¨osung y_c einer expliziten linearen Differentialgleichung die Summe aus einer partikul¨aren L¨osung yp der inhomogenen Gleichung (mit einem beliebigen Anfangswert) und der allge- meinen L¨osung y_h,c der zugeh¨origen homogenen Gleichung, d.h.

y_c(t) = y_h,c(t) +y_p(t).

(ii) Es sei κ ∈ R ein Konstante, y₁ eine L¨osung der Gleichung (?) mit der rechten Seite h1, und y2 sei eine L¨osung der Gleichung (?) mit der rechten Seiteh2. Dann l¨ost y =y₁+κy₂ die Gleichung (?) mit der rechten Seite h₁+κh₂.

Beweis. (i)

(ii) siehe ¨Ubung.

1.1 Lineare Differentialgleichungen h¨oherer Ordnung Wir befassen uns jetzt mit der Struktur der L¨osungsmengey_h,c von linearen homoge- nen Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

Satz 1.6. Die allgemeine L¨osung einer expliziten linear homogenen Differentialgleichung besitzt die Form

y_h,c(t) = c₁y₁(t) +c₂y₂(t) +· · ·+c_ny_n(t),

wobei c₁, c₂, . . . , c_n∈R, und y₁, y₂, . . . , y_n n verschiedene, linear unabh¨angige L¨osungen der Differentialgleichung sind.

”Linear unabh¨angig“ bedeuted hier:

Wenn f¨ur alle t∈I gilt

k1y1(t) +k2y2(t) +· · ·+knyn(t) = 0,

so folgt, dass alle Konstanten k1 =k2 =· · ·=kn = 0 Null sein m¨ussen.

Um ein Anfangswertproblem zu l¨osen, setzt man die allgemeine L¨osung in die An- fangsbedingungen ein und ermittelt aus diesen Gleichungen c₁, c₂, . . . , c_n.

Beispiel 1.7.

In den folgenden Abschnitten betrachten wir lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten a₀,a₁,. . . ,a_n

a_ny⁽ⁿ⁾(t) +an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a₁y⁰(t) +a₀y(t) = 0 (LHK) und die lineare inhomogene Differentialgleichungen mit der St¨orfunktion h

a_ny⁽ⁿ⁾(t) +an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a₁y⁰(t) +a₀y(t) =h(t). (LIK)

1.2 Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bemerkung 1.8 (Anleitung zum Finden der allgemeinen L¨osung von (LHK)).

1. Man macht den Ansatz: y(t) = e^λt. 2. Einsetzen in (LHK) liefert

0 =a_ny⁽ⁿ⁾(t) +an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a₁y⁰(t) +a₀y(t)

=a_nλⁿe^λt+a_n−1λⁿ⁻¹e^λt+· · ·+a₁λe^λt+a₀e^λt. Weil e^λt 6= 0 ist, bekommt man die Gleichung

a_nλⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a₁λ+a₀ = 0.

3. Man muss also die Nullstellen λ₁, λ₂, . . . , λ_s ∈ C des obigen Polynoms mit den Vielfachheitenk1, k2, . . . , k3 bestimmen – das heißt, man berechnet die Faktorisie- rung

a_nλⁿ+a_n−1λⁿ⁻¹+· · ·+a₁λ+a₀ = (λ−λ₁)^k1(λ−λ₂)^k2 · · · · ·(λ−λ_s)^ks. 4. Man bekommt die folgenden linear unabh¨angigen L¨osungen:

a) falls λ_l ∈R: e^λlt, te^λlt, . . . , t^kl−1e^λlt, b) falls λl ∈C\R,λl=a+bi:

e^atcos(bt),te^atcos(bt), . . . , t^kl−1e^atcos(bt), e^atsin(bt),te^atsin(bt), . . . , t^kl−1e^atsin(bt).

5. In Schritt 4 bekommt man genau n linear unabh¨angige L¨osungen. Die allgemeine L¨osung ist dann

y_h,c(t) =c₁y₁(t) +c₂y₂(t) +· · ·+c_ny_n(t).

Definition 1.9. Das Polynom

P(λ) = a_nλⁿ+a_n−1λⁿ⁻¹+· · ·+a₁λ+a₀

heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung (LHK) bzw. (LIK), die Glei- chung

P(λ) = 0

heißt charakteristisches Gleichung von (LHK) bzw. von (LIK).

1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Beispiel 1.10.

1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

In diesem Abschnitt werden zwei L¨osungsverfahren f¨ur lineare inhomogene Differential- gleichungen (LIK) mit konstanten Koeffizienten a₀,a₁,. . . ,a_n und der St¨orfunktion h(t) behandelt.

Falls die St¨orfunktion h eine spezielle Form hat (Summe/Produkt von Polynom, Si- nus, Kosinus und Exponentialfunktion), so kann man die Struktur der L¨osung

”erraten“

und muss dann nur noch einige Parameter durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestimmen. Die Ansatzfunktion h¨angt ab von

• den Nullstellen des charakteristischen Polynoms P der Differentialgleichung,

• der St¨orfunktion h.

Satz 1.11. Gegeben ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung der Form (LIK) mit den Koeffizientena₀,a₁, . . . ,a_n ∈R. Wir definieren Typen von St¨orfunktionenh(t) und zugh¨orige Ansatzfunktionen y_p(t) wie folgt:

Typ I h(t) =p(t)e^λt,

P(t) = (t−λ)^kq(t) und q(λ)6= 0,

wobei p ein Polynom vom Grad m, und λ eine k-fache Nullstelle des charakteri- stischen Polynoms ist. k = 0 bedeuted, dass λ keine Nullstelle von P ist.

Ansatz: y_p(t) =r(t)t^ke^λt, wobei r ein Polynom vom Grad m ist.

Typ II h(t) = p(t)e^λ1tcos(λ₂t) +q(t)e^λ1tsin(λ₂t),

P(t) = (t−(λ₁+λ₂i))^kq(t) und q(λ₁+λ₂i)6= 0,

wobeipundq Polynome vom Gradm sind, undλ=λ1+λ2ieine k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Ansatz: y_p(t) =r(t)t^ke^λ1tcos(λ₂t) +s(t)t^ke^λ1tsin(λ₂t), wobei r und s Poly- nome vom Grad m sind.

Fallshvom Typ I bzw. II ist, so l¨ost eine Funktiony_p der im jeweiligen Ansatz gegebenen Form die Differentialgleichung (LIK).

Beispiel 1.12.

1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bemerkung 1.13 (Ansatzmethode zum L¨osen von (LIK)).

1. Pr¨ufe, ob h vom Typ I oder II aus Satz 1.11 ist. Falls ja, dann kann man die Gleichung mit der Ansatzmethode l¨osen. Falls nicht, so muss man ein anderes L¨osungsverfahren w¨ahlen.

2. Bestimme die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung.

3. Klassifiziere hnach den Kriterien aus Satz 1.11 und w¨ahle den passenden Ansatz, z.B.

y_p(t) = (p₀+p₁t+p₂t²+· · ·+p_mt^m)e^λt.

4. Setze den Ansatz in die Differentialgleichung (LIK) ein. Dazu m¨ussen die Ablei- tungen y_p⁰,y⁰⁰_p,. . . ,y⁽ⁿ⁾p berechnet werden.

5. Aus der Gleichung aus Schritt 4 kann man die Koeffizienten r₀, r₁,. . . ,r_m von r und evtl. die Koeffizienten s₀, s₁,. . . ,s_m von s berechnen.

6. Die allgemeine L¨osung der inhomogenen Gleichung ist y_c = y_h,c +y_p. Falls ein Anfangswertproblem gel¨ost werden soll, so k¨onnen die Konstanten caus y_h,c iny_c aus den Anfangswerten bestimmt werden.

Beispiel 1.14.

Satz 1.15. Es seiy_h,c(t) =c₁y₁(t)+c₂y₂(t)+· · ·+c_ny_n(t) = Pn

k=1c_ky_k(t)die allgemeine L¨osung der zu (LIK) geh¨orenden homogenen Gleichung. Außerdem seien C₁(t), C₂(t), . . . , C_n(t) differenzierbare Funktionen, die das folgende Gleichungssystem erf¨ullen,

n

X

i=1

C_i⁰(t)yi(t) = 0,

n

X

i=1

C_i⁰(t)y⁰_i(t) = 0, . . .

n

X

i=1

C_i⁰(t)y⁽ⁿ⁻²⁾_i (t) = 0,

n

X

i=1

C_i⁰(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾_i (t) = h(t) a_n .

Dann l¨ost y_p(t) =Pn

i=1C_i(t)y_i(t) die lineare inhomogene Differentialgleichung (LIK).

Beweis.

Bemerkung 1.16. Mit den Mitteln der linearen Algebra kann man nachweisen, dass das Gleichungssystem aus Satz 1.15 l¨osbar ist. Außerdem gibt es eine Formel, wie die gesuchten Funktionen C₁⁰(t), C₂⁰(t), . . . , C_n⁰(t) berechnet werden k¨onnen. Um die par- tikul¨are L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung zu bestimmen, muss man deren StammfunktionenC₁(t), C₂(t), . . . , C_n(t) bestimmen.

Beispiel 1.17.

1.4 Exakte Differentialgleichungen

1.4 Exakte Differentialgleichungen

Es seien FunktionenP, Q:I×M →R, mit IntervallenI, M ⊂Rgegeben. Wir betrach- ten hier Differentialgleichungen der Form

F(t, y(t), y⁰(t)) = 0, mit F(t, x₀, x₁) =P(t, x₀) +Q(t, x₀)x₁. (#) Definition 1.18. Die Differentialgleichung (#) heißt exakte Differentialgleichung, falls das VektorfeldN(t, x0) = (P(t, x0), Q(t, x0)) exakt ist (vgl. MaI Def.3.27). Satz 3.28 aus MaI besagt, dass N genau dann exakt ist, wenn f¨ur alle t∈I, x∈M gilt

dP(t, x)

dx = dQ(t, x) dt .

Satz 1.19. Ist ϕ ein Potential von N(t, x₀) aus Definition 1.18, so ist die L¨osung der Gleichung (#) implizit gegeben durch die Aufl¨osung der Gleichung

ϕ(t, y(t)) = c nach y(t).

Beweis.

Bemerkung 1.20 (Zur Bestimmung des Potentials ϕ).

1. Der Ansatz ^dϕ(t,x)_dt =P(t, x) liefert

ϕ(t, x) = Z

P(t, x)dt+C(x).

2. Durch Einsetzen ergibt sich Q(t, x) = dϕ(t, x)

dx = d

dx Z

P(t, x)dt+C(x)

= Z d

dxP(t, x)dt+C⁰(x).

Man bestimmtC(x) also durch Integration von

C(x) = Z

Q(t, x)− Z d

dxP(t, x)dt

dx.

Beispiel 1.21.

Definition 1.22. Es sei N = (P, Q) : I ×M → R² ein beliebiges Vektorfeld, wobei I, M Intervalle in R sind. Eine stetig differenzierbare Funktion µ : I ×M → R heißt integrierender Faktor zu N, falls f¨ur allet ∈I und alle x∈M gilt: µ(t, x)6= 0, und falls das Vektorfeld µN = (µP, µQ) exakt ist.

1.4 Exakte Differentialgleichungen Satz 1.23. Es seien Funktionen P, Q :I×M → R, mit Intervallen I, M ⊂R gegeben und µ sei ein integrierender Faktor des Vektorfelds N = (P, Q). Eine Funktion y l¨ost die Differentialgleichung (#), genau dann, wenn sie die exakte Differentialgleichung

µ(t, y(t))P(t, y(t)) +µ(t, y(t))Q(t, y(t))y⁰(t) = 0 l¨ost.

Beweis.

Bemerkung 1.24 (Zur Bestimmung eines integrierenden Faktors). Im Allgemeinen ist die Bestimmung eines integrierenden Faktors genauso schwer, wie das direkte L¨osen der Differentialgleichung. Aus dem Kriterium aus MaI.3.28 bekommt man die Bedingung

µ_x(t, x)P(t, x) +µ(t, x)P_x(t, x) = µ_t(t, x)Q(t, x) +µ(t, x)Q_y(t, x).

Im speziellen Fall, dass µ nur von t abh¨angt ist µ_x(t, x) = 0 und die Bedingung lautet µ(t, x)P_x(t, x) =µ_t(t, x)Q(t, x) +µ(t, x)Q_y(t, x), d.h.

µ_t(t, x) = P_x(t, x)−Q_t(t, x)

Q(t, x) µ(t, x).

Das ist (f¨ur jedes t) eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung f¨ur µ – diese kann evtl. mit den Mitteln aus MaI Kap.10 gel¨ost werden. Analog kann man vereinfachte Differentialgleichungen herleiten, wennµnur von x, oder beispielsweise nur von t+xabh¨angt.

Beispiel 1.25.