Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

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Mathematik f¨ur Informatiker III Gew¨ohnliche Differentialgleichungen (ODE)

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Satz D.19 (L¨osungsstruktur linearer ODE n-ter Ordnung)

Die Menge H der L¨osungen y:I −→Rder homogenen linearen

Differentialgleichung y⁽ⁿ⁾+a1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a_n−1(x)y⁰+an(x)y = 0 mit ai:I−→Rbildet einen reellen Vektorraum der Dimension n.

Eine Basis des L¨osungsraumes H nennt manFundamentalsystem.

Jede L¨osung y der inhomogenen Gleichung

y⁽ⁿ⁾+a1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a_n−1(x)y⁰+a_n(x)y = f(x)mit f :I−→R hat die Form

y=ys+yh

wobei xh∈H eine L¨osung der homogenen und ys eine spezielle L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung ist.

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Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

F¨ur inhomogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung (siehe Definition D.17) existiert kein allgemeines L¨osungsverfahren.

F¨ur den Fallkonstanter Koeffizientenfunktionen ai(x)∈Rkann jedoch ein Fundamentalsystem angegeben werden:

L¨osung des homogenen Systems

y⁽ⁿ⁾+a1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a_n−1y⁰+any = 0 L¨osungsansatz: Exponentialfunktion y(x) =e^λ^x und damit

y(x) =e^λ^x, y⁰(x) =λe^λ^x, y⁰⁰(x) =λ²e^λ^x, . . . , y⁽ⁿ⁾(x) =λⁿe^λ^x Einsetzen in die Differentialgleichung liefert

λⁿe^λ^x+a1λⁿ⁻¹e^λ^x+· · ·+a_n−1λe^λ^x+ane^λ^x = (λⁿ+a1λⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1λ+an)e^λ^x = 0

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Definition D.20 (Charakteristisches Polynom)

Das Polynom

p(λ) :=λⁿ+a1λⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1λ+an

heisst charakteristisches Polynom der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y⁽ⁿ⁾+a1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a_n−1y⁰+a_ny = 0.

Fortsetzung: L¨osung des homogenen Systems

Aus den Nullstellenλi,i= 1. . .nmitp(λi) = 0 des charakteristischen Polynoms kann ein Fundamentalsystem f¨ur die homogene

Differentialgleichung n-ter Ordnung konstruiert werden.

Dazu ist eine Fallunterscheidung nach derVielfachheit der Nullstellenλ_i n¨otig:

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λ ∈ R ist einfache Nullstelle

Dann ist e^λ^x eine L¨osung der Differentialgleichung.

λ = α + iβ ∈ C ist einfache komplexe Nullstelle

e^αxcosβx und e^α^xsinβx sind L¨osungen der Differentialgleichung.

λ ∈ R ist k -fache reelle Nullstelle

xⁱe^λ^x, i= 0, . . . ,k−1 sindk linear unabh¨angige L¨osungen.

λ = α + iβ ∈ C ist k -fache komplexe Nullstelle

xⁱe^α^xcosβx, xⁱe^α^xsinβx, i = 0, . . . ,k−1 sind die 2klinear unabh¨angige L¨osungsfunktionen.

Beispiel D.21

SieheHartmann, Mathematik f¨ur Informatiker, S.352 ff.

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Mathematik f¨ur Informatiker III Euler Verfahren f¨ur Systeme von ODEs

Systeme von ODEs und ihre numerische L¨osung

D - 6 Euler Verfahren f¨ur Systeme von ODEs Systeme von ODEs und ihre numerische L¨osung

In vielen Anwendungen wird der Zustand eines Systems zum Zeitpunktt durch einen Vektor

x(t) = [x1(t),x2(t), . . . ,xn(t)]^> mit n>0

beschrieben. Die Änderungsgeschwindigkeit ˙x≡dx(t)/dtdes Zustandes nach der Zeit ergibt sich häufig als FunktionF(x(t)) mitF :Rⁿ→Rⁿ eben dieses Zustandes. Also erhalten wir das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

˙

x(t) = F(x(t)) kurz x˙ = F(x)

Das System heisst autonom, da die Zeittauf der rechten Seite nicht explizit, sondern nur mittelbar überx=x(t) vorkommt. Dieses ist keine Einschränkung da ein nichtautonomes System ˙x(t) =F(t,x(t)) sich autonom umschreiben lässt indem mantals nullte Zustandskomponente x0(t) hinzufügt und somit für ¯x≡(x0,x1, . . . ,x_n)^T erhält

d dt¯x ≡

x˙0

˙ x

= t˙

˙ x

= 1

F(¯x)

≡ F(x)

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Auch ODEs h¨ohere Ordnungen lassen sich in Systeme von ODEs erster Ordnung umschreiben, indem man z.B. die erste Ableitungy⁰als neue abh¨angige Variablev ≡y⁰definiert und danny⁰⁰durchv⁰ersetzt. So wird zum Beispiel aus einer nichtautonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung

y⁰⁰ = f(t,y,y⁰)

das autonome System erster Ordnung in den drei Variableny0≡t, y1≡y undy2≡y⁰



 y₀⁰ y₁⁰ y₂⁰



 =



 1 y2

f(y0,y1,y2)





Entsprechend lassen sich Anfangsbedingungen umschreiben.

Die Umformulierung als System 1.Ordnung eröffnet die Möglichkeit numerische Standardmethoden und Software für die Lösung autonomer Systeme erster Ordnung mit Anfangsbedingungen zur Anwendung zu bringen.

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Satz D.22 (Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung)

Sei F:D ⊂Rⁿ−→Rⁿin einem offenem GebietDlokal Lipschitz-stetig.

Dann existiert für jeden Punkt yo∈ Dein Intervall(a,b)30und eine eindeutige Lösung y(t)∈ Dder ODEy˙=F(y)für a<t<b mit y(0) =y0.

Bemerkung:

(i) F¨ur die Existenz einer L¨osung ist die Stetigkeit vonF hinreichend.

Vorraussetzung von Lipschitz - Stetigkeit ist f¨ur die Eindeutigkeit der L¨osung und die Konvergenz numerischer Verfahren erforderlich.

(ii) Das Intervall (a,b) kann so gross gew¨ahlt werden, dassy(b) den Rand vonDerreicht.

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Eulers Methode und andere explizite ODE-L¨oser

Die meisten ODEs haben keine geschlossen darstellbare L¨osung.

Die L¨osung kann aber durch numerische Methoden mit (mehr oder weniger) beliebiger Genauigkeit approximiert werden.

Numerische Approximationen sind auch alles, was zur Berechnung der mathematischen Standardfunktionene^x, sinx etc. zur Verf¨ugung steht, da diese Funktionen als L¨osung von ODEs definiert sind.

Die einfachste numerische Methode zur L¨osung von ODEs ist das Explizite (Vorw¨arts) Eulersche Polygonzugverfahren.

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(3)

Explizite (Vorw¨arts) Euler-Methode

Seiy(t)die exakte L¨osung vony˙(t) =f(t,y(t))mity(0) =y0.

h 2h 3h tk=k·h T t

y

y(k·h)

y(T) exakter Wert

y_k

yn=yt/h

imk-ten Schritt berechneter Wert

˙

y(k·h) =f(tk,yk)

≡Anstieg derTangen- tey˙(t) der L¨osung y(t) int_k

y(0) =y0

Gesucht wird alsoyk≈y(tk)f¨urk= 0, . . . ,^T_h mittk=k·h:

yk+1≡yk+h f(tk,yk) ≈ y(tk+1)

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Beispiel D.23 (Autonome lineare ODE)

˙

y =λy mit λ∈R und y0= 1 Anwendung von Eulers Methode:

y1 = y0+hλy0 = (1 +hλ)y0

y2 = y1+hλy1 = (1 +hλ)y1 = (1 +hλ)²y0

...

yk = (1 +λh)^ky0 = (1 +λh)^k ...

y_n = (1 +λh)ⁿy0 = (1 +λh)^T^h

Vergleich mit exakter L¨osung:

y(t) = exp(λt) ergibt am EndpunktT y(T) =e^λT≡lim

h→0(1 +λh)^T^h = lim

n→∞

1 +λT

n n

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Erl¨auterung

Die angenäherte LösungyT/hkonvergiert gegen die exakte Lösungy(T) der ODE wenn die Schrittweiteh=T/ngegen Null geht. Das bedeutet aber dass die Anzahl der Eulerschritte und damit der

Berechnungsaufwand gegen∞gehen.

Frage:

Kann der ApproximationsfehlerkyT/h−y(T)kals Funktion der Schrittweiteh=T/ndargestellt und somit zur Bestimmung einer vern¨unftigen Schrittzahlngenutzt werden?

Antwort: JA!

Im vorliegenden speziellen Fall gilt

hlim→0

y_T/h y(T)−1

1

h=−¹2Tλ² und somit erf¨ullt der Fehler

yT/h−y(T) =h(−¹2Tλ²) +O(h²)

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Beweis.

hlim→0

e⁻^λT(1 +λh)^T/h−1 h

= lim

h→0e⁻^{λT d}_dhe^T^/h^ln(1+λh)

= lim

h→0e^−λT(1 +λh)^Tλ/λh

−T

h²ln(1 +λh) + Tλ h(1 +λh)

= lim

h→0

1 2hT

− − λ

(1 +λh)+ λ

(1 +λh)+ λ²h (1 +λh)²

= −¹2Tλ²

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(4)

Folgerung D.24 (Approximationsfehler der Euler-Methode)

F¨ur alle Lipschitz-stetigen Probleme (d.h. die rechte Seite F(t,y,y˙)der ODE ist Lipschitz-stetig) liefert das Euler-Verfahren eine numerische L¨osung mit

yT/h−y(T) = c(T)h+O(h²).

Deshalb nennt man diese Methode auch

Verfahren erster Ordnung:

Die Verdopplung der Approximationsgenauigkeit durch Halbierung der Schrittweitehverdoppelt den Berechnungsaufwand.

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Frage:

Gibt es Verfahren der Fehlerordnungpso dass kyn−y(T)k=c(T)h^p+O(h^p+1)

gilt und damit die Halbierung der Schrittweitehzu einer Reduktion des Fehlers um den Faktor (¹₂)^p f¨uhrt ?

Anwort: JA!

p=2 Mittelpunkt - RegeloderHeun’sches Verfahren p=4 Runge-Kutta4. Ordnung

p=5 Runge-Kutta-Fehlberg

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