Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

F¨ur bestimmte rechte Seitenf kann eine partikul¨are L¨osungu der Differentialgleichung

u⁰⁰(t) +pu⁰(t) +qu(t) =f(t)

durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden.

Einige gebr¨auchliche F¨alle sind Polynome:

f(t) =

n

X

j=0

cjt^j →u(t) =

n

X

j=0

ujt^j, falls q6= 0.

Fallsq = 0, mussu mitt multipliziert werden. Ist zus¨atzlich p= 0, so ist eine weitere Multiplikation mit t erforderlich.

Exponentialfunktionen:

f(t) = exp(λt)→u(t) =cexp(λt), fallsλ²+pλ+q6= 0.

Istλeine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, mussc durch ct (ct²) ersetzt werden.

Trigonometrische Funktionen:

f(t) = exp(αt)(c₁sin(ωt) +c₂cos(ωt))

→u(t) = exp(αt)(asin(ωt) +bcos(ωt))

Sindα±iω Nullstellen des charakteristischen Polynoms, mussu mitt multipliziert werden.

Treten gemischte Terme auf, so ist die Superposition der entsprechenden

Beispiel:

Differentialgleichung

u⁰⁰−3u⁰−4u =t+ exp(2t) + cos(3t) charakteristisches Polynom

λ²−3λ−4 = (λ+ 1)(λ−4) mit den Nullstellen λ1 =−1 undλ2= 4

keine Sonderf¨alle, da λ_k 6= 0,2,±3i Standardansatz

u(t) = [a+bt] + [cexp(2t)] + [ecos(3t) +f sin(3t)]

Einsetzen in die Differentialgleichung u⁰⁰−3u⁰−4u =

[−3b−4a−4bt] + [(4c −6c−4c) exp(2t)]

+[(−9e−9f −4e) cos(3t) + (−9f + 9e−4f) sin(3t)] = [−3b−4a−4bt] + [−6cexp(2t)]

+[(−13e−9f) cos(3t) + (9e−13f) sin(3t)]

Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite t+ exp(2t) + cos(3t)

−4a−3b = 0

−4b = 1

−6c = 1

−13e−9f = 1

partikul¨are L¨osung u_p(t) = 3

16−1 4t−1

6exp(2t)− 13

250cos(3t)− 9

250sin(3t) L¨osung der homogenen Differentialgleichung

uh(t) =αexp(−t) +βexp(4t) allgemeine L¨osungu=u_p+u_h

Beispiel:

Anfangswertproblem

u⁰⁰−2u⁰+u = exp(t), u(0) = 0, u⁰(0) = 3 charakteristisches Polynom

λ²−2λ+ 1 = (λ−1)² mit der doppelten Nullstelle λ= 1

Sonderfall Ansatz

u(t) = (a+bt+ct²) exp(t)

Einbeziehung der allgemeinen L¨osung der homogenen Differentialgleichung

Anfangsbedingungen

u(0) = 0 =a, u⁰(0) = 3 =a+b, d.h. a= 0, b= 3 und u(t) = (3t+ct²) exp(t)

Einsetzen in die Differentialgleichung

exp(t) = [2c+ 2(3 + 2ct) + (3t+ct²)]

−2[(3 + 2ct) + (3t+ct²)] + [3t+ct²] exp(t)

= 2cexp(t)

=⇒ c = 1/2, d.h.

u(t) = (3t+t²/2) exp(t) l¨ost das Anfangswertproblem