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Differentialgleichungen

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite vhm.mathematik.uni-stuttgart.def¨ur Erl¨auterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Differentialgleichungen 1-1

Differentialgleichung erster Ordnung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung f¨ ur eine Funktion y (x) hat die Form

y

(x ) = f (x, y(x)) ,

wobei das Argument x oft weggelassen wird (y

= f (x , y)).

Die L¨ osung ist im Allgemeinen nur bis auf eine Konstante bestimmt, die durch eine Anfangsbedingung

y(x

) = y

festgelegt werden kann.

Beispiel:

Differentialgleichung

y

= y

x (1 − y) mit der allgemeinen L¨ osung

y = x

x + c , c ∈ R

y nur bis auf eine Integrationskonstante c bestimmt Konstante durch Anfangswert festgelegt

(vgl. Bilden von Stammfunktionen f (x, y(x)) = g (x)) Anfangswert y (1) = 2

c = − 1

2 , y (x) = 2x 2x − 1 x

= 0 Singularit¨ at

einziger m¨ oglicher Anfangswert y

= 0, L¨ osungsschar nicht eingeschr¨ ankt

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung 2-1

Beispiel:

Wachstumsmodell: proportionaler Zuwachs bzw. Abnahme u(t + ∆t) = u(t) + ∆t p u(t)

∆t → 0 Differentialgleichung u

(t) = pu(t) (u

proportional zu u)

L¨ osung

u(t) = u(0) exp(pt )

exponentielles Wachstum

p > 0

p = 0 p < 0 c

u

t

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung 3-2

Richtungsfeld

Das Richtungsfeld einer Differentialgleichung y

(x) = f (x, y(x))

ordnet jedem Punkt der xy-Ebene eine Tangente mit Steigung f zu.

(x0, y0) y

Die Graphen der L¨ osungen sind in jedem Punkt (x, y ) zum Richtungsfeld tangential.

Ist eine Anfangsbedingung

y(x

) = y

gegeben, so verl¨ auft der Graph durch den Punkt (x

, y

).

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung 4-2

Beispiel:

Die Abbildung zeigt zwei Beispiele von Richtungsfeldern, in denen jeweils einige L¨ osungen eingezeichnet sind.

0 5 10

π 2π 3π

x y

y^′= siny

0 1 2 3

1 2 3

x y

y^′=xy²

qualitatives Verhalten der L¨ osungen erkennbar

(i) Linke Differentialgleichung:

Rechte Seite h¨ angt nicht explizit von x ab.

L¨ osungen sind translationsinvariant, d.h. ist y (x) L¨ osung, so auch y (x + c ) mit c ∈ R .

Nullstellen des Sinus konstante L¨ osungen y (x) = j π, j ∈ Z anziehend f¨ ur j = 2k + 1,

d.h. f¨ ur L¨ osungen y y (0) ∈ (2k π, (2k + 2)π) gilt

x

lim

y (x) − (2k + 1)π = 0 abstoßend f¨ ur j = 2k

(ii) Rechte Differentialgleichung:

Die Steigungen nehmen f¨ ur große Werte von x und y deutlich zu.

stark wachsende L¨ osungen

F¨ ur y (0) > 0 existiert jede L¨ osung nur auf einem endlichen Intervall.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung 5-2

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y

= py + q

mit der allgemeinen L¨ osung

y = y

+ y

.

Dabei ist y

eine partikul¨ are (oder spezielle) L¨ osung und y

die allgemeine

L¨ osung der homogenen Differentialgleichung (q(x) = 0).

Bezeichnet

P (x) = Z

p(x) dx eine Stammfunktion von p, so gilt

y

= c exp(P (x)) , mit einer beliebig w¨ ahlbaren Konstanten c ∈ R, und

y

=

x

Z

x0

exp(P (x) − P(s))q(s) ds

ist eine partikul¨ are L¨ osung mit y

(x

) = 0.

F¨ ur die allgemeine L¨ osung y = y

+ y

zu der Anfangsbedingung y (x

) = y

ist

c = y

exp( − P (x

)) .

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung 6-2

Beweis:

Ist y

eine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung y

= py

und P eine Stammfunktion von p, so gilt

[y

exp( − P)]

= y

exp( − P) − y

p exp( − P ) = 0 .

= ⇒ [ · · · ] = c mit einer Konstanten c, also y

= c exp(P ) wie behauptet

Ansatz f¨ ur eine partikul¨ are L¨ osung

y

= C (x) exp(P (x))

(Variation der Konstanten)

Einsetzen von y

in die Differentialgleichung

C

exp(P ) + Cp exp(P ) = pC exp(P) + q

C

= q exp( − P ) und damit

y

(x) =





x

Z

x0

exp( − P (s ))q(s) ds



 exp(P (x))

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung 7-2

Beispiel:

Es soll die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung y

= 2x

1 + x

| {z }

p

y + x

|{z}

sowie die L¨ osung zu dem Anfangswert y (0) = 4 bestimmt werden.

Stammfunktion von p

P (x) = ln(1 + x

)

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung y

= py

y

(x) = c e

= c(1 + x

)

partikul¨ are L¨ osung:

y

(x) = Z

0

e

s

ds

= (1 + x

) 1

2 x

− 1

2 ln(1 + x

)

allgemeine L¨ osung

y = y

+ y

= (1 + x

) x

2 − ln(1 + x

)

2 + c

mit c ∈ R

Anfangswert y (0) = 4 = ⇒ c = 4

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung 8-2

Bernoullische Differentialgleichung

Die Differentialgleichung

u

+ pu = qu

, k 6 = 0, 1 , l¨ asst sich durch die Substitution

y = u

, y

= (1 − k)u

u

in die lineare Differentialgleichung

1

1 − k y

= − py + q

¨

uberf¨ uhren.

Speziell erh¨ alt man f¨ ur konstantes p und q y = q

p + c exp(p(k − 1)x) bzw.

u = q

p + c exp(p(k − 1)x)

mit c ∈ R .

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Bernoullische Differentialgleichung 9-2

Beispiel:

Es soll die L¨ osung der Bernoullischen Differentialgleichung u

+ 3u = xu

, u(0) = 1 ,

bestimmt werden.

Substitution y = 1/u bzw. u = 1/y

− y

y

+ 3y

= xy

⇔ y

= 3y − x allgemeine L¨ osung

y =

x

Z

0

e

( − s )ds + ce

Anfangsbedingung y (0) = 1/u(0) = 1 und Integration = ⇒ c = 1 und

y = 8

e

+ 1 x + 1

u = 9

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

F¨ ur einen konstanten Koeffizienten p kann die Differentialgleichung y

= py + q

f¨ ur bestimmte Funktionen q(x) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten gel¨ ost werden oder eine partikul¨ are L¨ osung y

ist unmittelbar ersichtlich.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 11-1

Einige gebr¨ auchliche F¨ alle sind q(x) = P

j=0

c

x

→ y

= P

j=0

d

x

f¨ ur p 6 = 0 q(x) = c exp(λx), λ 6 = p → y

= c

λ − p exp(λx) q(x) = c exp(px) → y

= cx exp(px)

q(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) → y

= c cos(ωx) + d sin(ωx) Die allgemeine L¨ osung ist

y = y

+ c exp(px) .

Beweis:

Polynom q:

Ableitung des Ansatzes und Indexverschiebung y

=

n

X

j=1

d

jx

=

n−1

X

j=0

(j + 1)d

x

Einsetzen in die Differentialgleichung

n−1

X

j=0

(j + 1)d

x

= p

n

X

j=0

d

x

| {z }

yp

+

n

X

j=0

c

x

Koeffizientenvergleich d

= − c

p , d

= − c

p + (j + 1)d

p , j = n − 1, . . . , 0 Exponentialfunktionen q:

direktes Nachrechnen

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 12-1

Trigonometrischer Ausdruck:

Einsetzen in die Differentialgleichung

− c ω sin(ωx) + d ω cos(ωx) =

p(c cos(ωx) + d sin(ωx)) + a cos(ωx) + b sin(ωx) Vergleich der Koeffizienten von cos(ωx) und sin(ωx)

lineares Gleichungssystem f¨ ur c und d :

a = − pc + ωd , b = − ωc − pd

(Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null)

Beispiel:

Bei einer gleichf¨ ormig beschleunigten Bewegung mit Reibung gilt f¨ ur die Geschwindigkeit v(t )

mv

= − αv − γm, v (0) = v

. allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung

v

= c exp

− α m t mit c ∈ R

partikul¨ are L¨ osung

v

= − γm α

Anfangsbedingung v (0) = v

c = v

+ γm/α und v(t) = v

(t) + v

(t) = − γm

α +

v

+ γm α

exp

− α m t

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare DGL erster Ordnung 13-1

Separable Differentialgleichung

Eine separable Differentialgleichung

y

= p(x)g (y) ,

l¨ asst sich durch Trennung der Variablen und separates Bilden von Stammfunktionen l¨ osen:

Z dy g (y ) =

Z

p(x) dx .

Die Integrationskonstante kann dabei durch eine Anfangsbedingung y(x

) = y

festgelegt werden.

Beispiel:

Die Differentialgleichung

u

= p(1 − u)u, p > 0 ,

modelliert ein Wachstum, das bei zunehmender Dichte (u(t) % 1) abnimmt (logistisches Modell).

u

t c <0

c >0 c= 0

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Separable Differentialgleichung 15-1

Die Abbildung zeigt das Richtungsfeld f¨ ur p = 1 sowie einige der L¨ osungen u = e

c + e

. L¨ osung durch Separation der Variablen:

Z du u(1 − u) =

Z p dt Partialbruchzerlegung

1

u(1 − u ) = 1 u − 1

u − 1 ln

u u − 1

= pt + c

⇔ u

u − 1 = ± e

mit einer Integrationskonstante c

∈ R

Aufl¨ osen nach u behauptete Formel f¨ ur u mit c = ∓ e

Ahnlichkeitsdifferentialgleichung ¨

Eine Differentialgleichung

y

= f (y/x) ,

bei der die rechte Seite nur vom Quotienten y /x abh¨ angt, l¨ asst sich durch die Substitution

xz(x) = y (x), z + xz

= f (z) in die separable Differentialgleichung

z

= 1

x (f (z ) − z )

¨ uberf¨ uhren.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Ahnlichkeitsdifferentialgleichung¨ 16-1

Beispiel:

Anfangswertproblem

y

= y

+ x

yx , y(1) = 2 K¨ urzen durch x

rechte Seite in homogener Form

y

/x

+ 1

y/x = f (y /x) Substitution xz = y

z

= 1

x (f (z ) − z ) = 1 x

z

+ 1 z − z

= 1

xz

Separation der Variablen

zz

= 1 x Integration

1

2 z

= ln | x | + c

Ber¨ ucksichtigung des Anfangswertes y(1) = z(1) = 2 = ⇒ c = 2 und y = xz = x p

2 ln | x | + 4

(z = −√ . . . entspricht nicht dem vorgegebenen Anfangswert.)

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Ahnlichkeitsdifferentialgleichung¨ 17-2

Exakte Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

q(x, y)y

+ p(x, y) = 0 heißt exakt, wenn eine Stammfunktion F existiert mit

p = F

, q = F

⇔ (p, q)

= grad F .

Die L¨ osungen lassen sich dann implizit als Niveaulinien darstellen, F (x, y) = c ,

wobei die Konstante c durch eine Anfangsbedingung festgelegt werden

kann.

Man schreibt eine exakte Differentialgleichung oft auch in der Form pdx + qdy = 0 ,

um die symmetrische Behandlung der Variablen x und y hervorzuheben.

In Anlehnung an die Theorie der Arbeitsintegrale ist bei stetig differenzierbaren Funktionen p und q die Integrabilit¨ atsbedingung

p

= q

notwendig f¨ ur die Existenz von F . Sie ist hinreichend, falls das betrachtete Definitionsgebiet einfach zusammenh¨ angend ist.

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Exakte Differentialgleichung 18-2

Beweis:

Existenz der Stammfunktion, Kettenregel = ⇒ d

dx F (x, y(x)) = F

(x, y(x)) + F

(x, y(x))y

(x) , d.h. die Niveaulinien entsprechen L¨ osungen:

F = c = ⇒ p + qy

= 0 Vertauschbarkeit partieller Ableitungen = ⇒

p

= F

= F

= q

,

d.h. die Notwendigkeit der Integrabilit¨ atsbedingung

F¨ ur ein einfach zusammenh¨ angendes Parametergebiet ist eine Stammfunktion F als Arbeitsintegral darstellbar:

F (x, y) = Z

C

p dx + q dy, C : (x

, y

) → (x, y)

mit einem Weg C , der einen fest gew¨ ahlten Punkt (x

, y

) mit (x, y ) verbindet

Die Wegunabh¨ angigkeit ist durch die Integrabilit¨ atsbedingung garantiert.

Parametrisierung

C : [a, b] 3 t 7→ (u(t ), v (t)) explizite Form f¨ ur F :

F (x, y ) =

b

Z

a

p(u (t), v(t))u

(t) + q(u(t), v(t))v

(t) dt

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Exakte Differentialgleichung 19-2

Beispiel:

exakte Differentialgleichung (6x − 2y)

| {z }

q

y

+ 7x + 6y

| {z }

p

= 0 pr¨ ufe die Integrabilit¨ atsbedingung:

q

= 6 = p

X

p und q auf ganz R

definiert = ⇒ Existenz einer Stammfunktion Konstruktion durch achsenparallele Integration

q = F

= ⇒

F = Z

6x − 2y dy = 6xy − y

+ ϕ(x) Einsetzen in p = F

= ⇒

7x + 6y = 6y + ϕ

(x), ϕ(x) = 7

x

+ C

allgemeine L¨ osung F (x, y) = 7

2 x

+ 6xy − y

= c ⇔ y = 3x ± q

− c + 25x

/2

(0, 0)

y = (3 −

√ 2)x y = (3 +

√

2)x

x y

Niveaulinien von F :

Hyperbeln mit Hauptachsenrichtungen (2, 1)

und ( − 1, 2)

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Exakte Differentialgleichung 20-2

Integrierender Faktor

Wird eine Differentialgleichung

p(x , y)dx + q(x , y)dy = 0

durch Multiplikation mit einer Funktion a(x, y) exakt, d.h. ist (ap)

= (aq)

,

so bezeichnet man a als integrierenden Faktor.

Beispiel:

y

|{z}

p

+ x(2xy − 1)

| {z }

q

y

= 0 nicht exakt, denn p

= 1 6 = 4xy − 1 = q

Multiplikation mit dem integrierenden Faktor 1/x

exakte Differentialgleichung

y/x

| {z }

˜ p

+ (2y − 1/x)

| {z }

˜ q

y

= 0, p ˜

= 1/x

= ˜ q

Implizite Darstellung der L¨ osung

F (x, y) = y

− y/x = c Best¨ atigung durch ¨ Uberpr¨ ufung der Identit¨ at

grad F = (y /x

, 2y − 1/x)

= ( ˜ p, q) ˜

X

Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Integrierender Faktor 22-1

Beispiel:

Die Differentialgleichung

h

= − ω

h + f

beschreibt die Auslenkung einer Feder unter einer Kraft f .

h(t)

allgemeine L¨ osung f¨ ur f (t) = − g

h(t ) = c

sin(ωt) + c

cos(ωt) − 1 ω

g

Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen z.B.: h(0) = 0, h

(0) = g = ⇒

h(t) = g

ω

(ω sin(ωt) + cos(ωt) − 1)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 23-2

Linearer Oszillator

Die Auslenkung u(t) eines linearen Oszillators bei periodischer Anregung wird durch die Differentialgleichung

u

+ ω

u = c cos(ωt), ω

> 0 , beschrieben.

Die allgemeine L¨ osung setzt sich aus einer freien und einer erzwungenen Schwingung zusammen, u = u

+ u

, wobei

u

(t) = a cos(ω

t) + b sin(ω

t) und

u

(t ) = c

ω

− ω

(cos(ω

t) − cos(ωt)), ω 6 = ω

,

sowie

u

(t) = c

2ω t sin(ωt) im Resonanzfall ω = ω

.

Die Konstanten a, b k¨ onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden:

a = u(0), b = u

(0)/ω

.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 24-2

Beweis:

cos(ω

t), sin(ω

t ) erf¨ ullen die homogene Differentialgleichung u

+ ω

u = 0 .

Linearkombination L¨ osung u

der Differentialgleichung mit c = 0 Direktes Nachrechnen L¨ osung u

der Differentialgleichung

ω 6 = ω

: d

dt

cos(ωt) + ω

cos(ωt ) = (ω

− ω

) cos(ωt) Multiplikation mit c /(w

− w

) rechte Seite c cos(ωt ) addiere (c/(ω

− ω

)) cos(ω

t )

partikul¨ are L¨ osung mit doppelter Nullstelle bei t = 0:

u

= c cos(ω

t) − cos(ωt)

ω = ω

:

Grenz¨ ubergang ω

→ ω

ω

lim

c cos(ω

t) − cos(ωt) ω

− ω

L’Hospital

= lim

ω0→ω

c − t sin(ω

t)

− 2ω

(Differentiation nach ω

)

doppelte Nullstelle der partikul¨ aren L¨ osungen bei t = 0

= ⇒ Bestimmung von a und b aus den Anfgangswerten von u

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 25-2

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

+ 4u = 3 cos t ist ω

= 2, ω = 1 und c = 3.

allgemeine L¨ osung:

u(t) = a cos(ω

t) + b sin(ω

t )

| {z }

uh

+ c cos(ω

t) − cos(ωt) ω

− ω

| {z }

up

= a cos(2t) + b sin(2t) + 3

1 − 4 (cos(2t) − cos t)

mit a, b ∈ R

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

− 3

− 2

− 1 0 1 2 3

u

t

Anfangswerte

u(0) = 0, u

(0) = 2 abgebildete (2π)-periodische L¨ osung

u(t) = sin(2t) − cos(2t ) + cos t mit a = u (0) = 0 und b = u

(0)/ω

= 2/2 = 1

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 26-2

Beispiel:

F¨ ur die Differentialgleichung

u

+ u = 2 cos t ist ω

= ω = 1 (Resonanz), c = 2.

allgemeine L¨ osung

u = a cos(ωt) + b sin(ωt)

| {z }

uh

+ c 2ω t sin t

| {z }

up

= a cos t + b sin t + t sin t

mit a, b ∈ R

0 2π 4π 6π 8π 10π 12π

−30

−20

−10 0 10 20 30

u

t

Anfangswerte

u(0) = 3, u

(0) = 0 abgebildete L¨ osung

u (t) = 3 cos t + t sin t mit a = u (0) = 3 und b = u

(0)/ω = 0

Resonanz lineares Wachstum

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Linearer Oszillator 27-2

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Die L¨ osung der Differentialgleichung

u

(t ) + pu

(t) + qu(t ) = 0

mit p, q ∈ R hat je nach Typ der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

λ

+ pλ + q

folgende Form:

zwei reelle Nullstellen λ

6 = λ

:

u(t) = a exp(λ

t) + b exp(λ

t)

eine doppelte Nullstelle λ:

u(t ) = a exp(λt) + bt exp(λt)

zwei komplex konjugierte Nullstellen − p/2 ± %i:

u(t ) = exp − pt

2

(a cos(%t) + b sin(%t))

Die Konstanten a, b k¨ onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 28-2

Beweis:

Einsetzen des Ansatzes u(t) = exp(λt) in die Differentialgleichung λ

exp(λt ) + pλ exp(λt ) + q exp(λt) = 0

= ⇒ charakteristisches Polynom λ

+ pλ + q = 0 (i) zwei verschiedene Nullstellen λ

:

linear unabh¨ angige L¨ osungen

exp(λ

t), j = 1, 2

f¨ ur λ = − p/2 ± %i, reelle L¨ osungen durch Bilden von Linearkombinationen:

1

2 (exp(( − p/2 + %i)t) + exp(( − p/2 − %i)t)) = exp( − pt /2) cos(%t) 1

2i (exp(( − p/2 + %i)t) − exp(( − p/2 − %i)t)) = exp( − pt /2) sin(%t)

(ii) doppelte Nullstelle λ:

2λ + p = 0 (charakteristisches Polynom ableiten) zweite, linear unabh¨ angige L¨ osung t exp(λt):

d dt

(t exp(λt)) + p d

dt (t exp(λt)) + qt exp(λt)

= [2λ exp(λt) + λ

t exp(λt)] + [p exp(λt) + pλt exp(λt)] + [qt exp(λt)]

= (2λ + p) + (λ

+ pλ + q)t

exp(λt) = 0

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 29-2

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

− 2u

− 8u = 0, u(0) = 2, u

(0) = 2 charakteristisches Polynom

λ

− 2λ − 8 mit den Nullstellen

λ

= − 2, λ

= 4 allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung

a exp( − 2t) + b exp(4t)

mit a, b ∈ R

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem 2 = u(0) = a + b 2 = u

(0) = − 2a + 4b

= ⇒ a = b = 1, d.h.

u(t) = exp( − 2t ) + exp(4t)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 30-2

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

− 2u

+ u = 0, u(0) = 1, u

(0) = 0 charakteristisches Polynom

λ

− 2λ + 1 mit der doppelten Nullstelle

λ

= 1 allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung

(a + bt ) exp(t)

mit a, b ∈ R

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem u (0) = 1 = a

u

(0) = 0 = a + b

= ⇒ a = 1, b = − 1, d.h.

u (t) = (1 − t) exp(t)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 31-2

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ ur lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

F¨ ur bestimmte rechte Seiten f kann eine partikul¨ are L¨ osung u der Differentialgleichung

u

(t) + pu

(t) + qu(t) = f (t)

durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden.

Einige gebr¨ auchliche F¨ alle sind Polynome:

f (t) =

n

X

j=0

c

t

→ u(t) =

n

X

j=0

u

t

, falls q 6 = 0 .

Falls q = 0, muss u mit t multipliziert werden. Ist zus¨ atzlich p = 0, so

Exponentialfunktionen:

f (t) = exp(λt) → u(t) = c exp(λt) , falls λ

+ pλ + q 6 = 0.

Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct

) ersetzt werden.

Trigonometrische Funktionen:

f (t) = exp(αt)(c

sin(ωt) + c

cos(ωt))

→ u(t) = exp(αt)(a sin(ωt) + b cos(ωt))

Sind α ± iω Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss u mit t multipliziert werden.

Treten gemischte Terme auf, so ist die Superposition der entsprechenden Ans¨ atze m¨ oglich.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare

Differentialgleichungen zweiter Ordnung 32-2

Beispiel:

Differentialgleichung

u

− 3u

− 4u = t + exp(2t) + cos(3t ) charakteristisches Polynom

λ

− 3λ − 4 = (λ + 1)(λ − 4) mit den Nullstellen λ

= − 1 und λ

= 4

keine Sonderf¨ alle, da λ

6 = 0, 2, ± 3i Standardansatz

u(t) = [a + bt] + [c exp(2t)] + [e cos(3t) + f sin(3t)]

Einsetzen in die Differentialgleichung u

− 3u

− 4u =

[ − 3b − 4a − 4bt] + [(4c − 6c − 4c ) exp(2t )]

+[( − 9e − 9f − 4e) cos(3t) + ( − 9f + 9e − 4f ) sin(3t)] = [ − 3b − 4a − 4bt] + [ − 6c exp(2t)]

+[( − 13e − 9f ) cos(3t) + (9e − 13f ) sin(3t )]

Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite t + exp(2t) + cos(3t )

− 4a − 3b = 0

− 4b = 1

− 6c = 1

− 13e − 9f = 1 9e − 13f = 0

= ⇒ b = − 1/4, a = 3/16, c = − 1/6, e = − 13/250, f = − 9/250

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare

Differentialgleichungen zweiter Ordnung 33-2

partikul¨ are L¨ osung u

(t ) = 3

16 − 1 4 t − 1

6 exp(2t) − 13

250 cos(3t ) − 9

250 sin(3t) L¨ osung der homogenen Differentialgleichung

u

(t) = α exp( − t) + β exp(4t)

allgemeine L¨ osung u = u

+ u

Beispiel:

Anfangswertproblem

u

− 2u

+ u = exp(t), u (0) = 0, u

(0) = 3 charakteristisches Polynom

λ

− 2λ + 1 = (λ − 1)

mit der doppelten Nullstelle λ = 1

Sonderfall Ansatz

u(t) = (a + bt + ct

) exp(t)

Einbeziehung der allgemeinen L¨ osung der homogenen Differentialgleichung durch die Koeffizienten a und b

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare

Differentialgleichungen zweiter Ordnung 34-1

Anfangsbedingungen

u(0) = 0 = a, u

(0) = 3 = a + b , d.h. a = 0, b = 3 und u(t) = (3t + ct

) exp(t)

Einsetzen in die Differentialgleichung

exp(t) = [2c + 2(3 + 2ct ) + (3t + ct

)]

− 2[(3 + 2ct) + (3t + ct

)] + [3t + ct

] exp(t)

= 2c exp(t)

= ⇒ c = 1/2, d.h.

u(t) = (3t + t

/2) exp(t)

l¨ ost das Anfangswertproblem

Ged¨ ampfte harmonische Schwingung

Die Differentialgleichung

u

+ 2ru

+ ω

u = c cos(ωt)

mit r > 0 modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 35-1

Kraft f

D¨ampfer c

Masse m

Feder k

2r = c

m , ω

= k m

Widerstand R

V Kondensator C

Spule L

2r = R

L , ω

= 1

LC

Je nach Typ der L¨ osungen u

der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man

starke D¨ ampfung (r > ω

):

u

= a exp(λ

t) + b exp(λ

t) mit λ

= − r ± q

r

− ω

kritische D¨ ampfung (r = ω

):

u

= (a + bt) exp( − rt)

schwache D¨ ampfung (r < ω

):

u

= exp( − rt) (a cos(λt) + b sin(λt)) mit λ =

q

ω

− r

.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 35-3

Eine partikul¨ are L¨ osung ist

u

(t) = c

cos(ωt + δ) mit der Amplitude

c

= c / q

(ω

− ω

)

+ (2r ω)

und der Phase

δ = arg(ω

− ω

− i2rω)

Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung erh¨ alt man durch Addition von u

:

u = u

+ u

.

u

t u

t u

t

u

t u

t u

t

Das qualitative Verhalten von L¨ osungen kann sehr unterschiedlich sein.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 35-5

Beweis:

(i) L¨ osung der homogenen Differentialgleichung:

Der Typ der L¨ osungen ist durch das charakteristische Polynom λ

+ 2r λ + ω

bestimmt.

(ii) Partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung:

Einsetzen von

u

= Re c

exp(iωt + iδ) Re c

exp(iδ)( − ω

+ 2rωi + ω

) exp(iωt)

= c cos(ωt) cos(ωt) = Re exp(iωt) = ⇒

ω

− ω

+ 2rωi = c

c

exp( − iδ) , d.h.

c

= c

, δ = arg ω

− ω

+ 2r ωi

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 5u

+ 6u = 2 cos t 2r = 5, ω

= √

6, ω = 1, c = 2) starke D¨ ampfung: r > ω

Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ

+ 5λ + 6:

λ

= − 5 ± 1 2

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 37-1

partikul¨ are L¨ osung

u

= c

cos(ωt + δ) mit

c

= c

q

(ω

− ω

)

+ (2rω)

= 2

p (6 − 1)

+ (5 · 1)

= 2 5 √

2 δ = arg(ω

− ω

− 2rωi) = arg((6 − 1) − (5 · 1)i) = − π

4 d.h.

u = u

+ u

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t) + 2 5 √

2 cos(t − π/4)

Anfangsbedingungen

u(0) = 6

5 , u

(0) = 6 5 u (t) = − 3 exp( − 3t) + 4 exp( − 2t) + 2

5 √

2 cos(t − π/4)

0 π 2π 3π 4π

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t u

starke D¨ ampfung schneller ¨ Ubergang in eine harmonische Schwingung

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 37-3

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 2ω

u

+ ω

u = 0 kritische D¨ ampfung: r = ω

u

= (a + bt ) exp( − ω

t) starkes Anfangswachstum m¨ oglich

u

a=u(0) u(t_∗)

ω

= 1

u(t ) = (a + bt ) exp( − t) maximal f¨ ur t

=

und

| u(t

) |

| u(0) | = b a exp

a b − 1

→ ∞ f¨ ur a/b → 0

(hohe Spannungen beim Ausschalten von Stromkreisen!)

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 38-2

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 2u

+ 50u = e

schwache D¨ ampfung: 1 = r < ω

= √

50

charakteristisches Polynom λ

+ 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ

= − 1 ± 7i

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

= e

(a cos(7t) + b sin(7t))

partikul¨ are L¨ osung

u

= ce

Einsetzen in die Differentialgleichung

c = 1

Real- und Imagin¨ arteil von u = u

+ u

f¨ ur a = 1/10 , b = 0 , ω = 3 schwache D¨ ampfung langsames Abklingen des homogenen L¨ osungsanteils

Re u Im u

0 π 2π 3π 4π

− 0.1

− 0.05 0 0.05 0.1 0.15

t u

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ged¨ampfte harmonische Schwingung 39-2

Betrag der komplexen Amplitude

| c | = 1

| (ω

− ω

) + 2ωi | = 1

p (50 − ω

)

+ (2ω)

maximal f¨ ur ω

= √

48, denn W = ω

, 0 = d

dW (50 − W )

+ 4W = − 2(50 − W ) + 4 = ⇒ W = 48 relativ kleiner D¨ ampfungskoeffizient 2r = 2

= ⇒ Resonanzfrequenz ω

nahe bei ω

= √

50

Phasenebene

Die L¨ osungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, u

= f (u, u

) ,

k¨ onnen als Kurven

t 7→ (u(t), v (t)), v = u

,

in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verl¨ auft f¨ ur eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u

, v

) genau eine L¨ osungskurve.

Punkte (u

, 0) mit f (u

, 0) = 0 sind kritische Punkte der

Differentialgleichung, die konstanten L¨ osungen u (t) = u

entsprechen.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 40-1

u u^′

Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so ist u

= v

= dv /dt = (dv /du)(du/dt ) und man erh¨ alt eine Differentialgleichung erster Ordnung

dv

du v = f (u, v) ,

Beispiel:

Phasenebenen f¨ ur die Bewegungsgleichung eines ged¨ ampften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung

u u^′

u^′′=−sinu−u^′

u u^′

u^′′=−u−u^′

kleine Auslenkungen von u gute ¨ Ubereinstimmung

globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte f¨ ur die Pendelgleichung

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 41-1

Energieerhaltung

Die Differentialgleichung

u

+ Φ

(u) = 0

beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld.

F¨ ur die L¨ osung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie konstant:

E = 1

2 v

+ Φ(u), v = u

.

Die L¨ osungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten

Energieniveaus E .

Beispiel:

Differentialgleichung f¨ ur die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ

= − sin ϑ

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ Gesamtenergie E = 1

2 (ϑ

)

− cos ϑ bzw. ϑ

= ± p

2(E + cos ϑ)

ϑ(t)

ϑ ϑ^′

E >1 E= 1 E <1

0 π 2π 3π 4π

−3

−2

−1 0 1 2 3

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 43-1

Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene F¨ alle

E < 1: L¨ osungen periodisch, da cos ϑ 6 = − 1 (maximaler Wert ϑ

= arccos( − E ))

Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ

T = 4

ϑmax

Z

0

dt

d ϑ d ϑ , dt

d ϑ = (ϑ

)

= 1

p 2(cos ϑ − cos ϑ

) (E = − cos ϑ

)

E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ

wird nie null; das Pendel schwingt

¨ uber.

E = 1: Das Pendel n¨ ahert sich dem instabilen h¨ ochsten Punkt,

ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen.

Beispiel:

auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = − γ mM

r

m und M : Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante

r : Abstand zum Erdmittelpunkt

Bewegungsgleichung nach dem “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung r

= − γ M

r

Anfangsbedingungen

r (0) = R, r

(0) = v R und v: Flugh¨ ohe und Geschwindigkeit bei “Burnout”

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 44-1

E < 0

E > 0

r r

L¨ osungskurven f¨ ur verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km (Erdradius)

konstante Energieniveaus

E = 1

2 (r

)

− γM

r

E < 0: maximale Flugh¨ ohe

r

= − γM E E ≥ 0: Flugh¨ ohe unbeschr¨ ankt

kritische Startgeschwindigkeit v

(fett gezeichnete L¨ osungskurve) 1

2 v

− γM

R = E = 0 d.h. v

=

q 2γ

(r

(t) → 0 f¨ ur t → ∞ )

Differentialgleichungen zweiter Ordnung Phasenebene 44-3

System von Differentialgleichungen erster Ordnung

Die Standardform eines Systems von Differentialgleichungen ist u

(t) = f (t, u(t))

mit der Anfangsbedingung u(t

) = a. Dabei ist u = (u

, . . . , u

)

und f : R × R

→ R

.

H¨ angt die Funktion f nicht explizit von t ab, so spricht man von einem

autonomen System.

Beispiel:

Lorenz-System

u

= − αu

+ αu

u

= − u

u

+ βu

− u

u

= u

u

− γu

geeignete Parameterwahl “Strange Attractor”,

d.h. Konvergenz beschr¨ ankter L¨ osungskurven gegen eine fraktale Menge

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform System von Differentialgleichungen erster Ordnung 46-1

u2

u1

−15 −5 5 15

−40

−20 0 20 40

u3

u1

−15 −5 5 15 0

10 20 30 40 50

u3

u2

−30 −10 10 30 0

10 20 30 40 50

verschiedene Perspektiven des Attractors f¨ ur α = 10, β = 28 und γ = 8/3

Transformation eines Differentialgleichungssystems auf Standardform

F¨ ur eine Differentialgleichung n-ter Ordnung

y

(t) = g (t, y (t), . . . , y

(t)) setzt man

u(t) = (y (t), . . . , y

(t)) und erh¨ alt ein ¨ aquivalentes System erster Ordnung:

u

= u

.. . u

= u

u

= g (t, u(t)) .

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform System von Differentialgleichungen erster Ordnung 47-1

F¨ ur ein System von Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung verf¨ ahrt man analog.

Durch Einf¨ uhren einer weiteren zus¨ atzlichen Variablen u

(t) = t und der trivialen Differentialgleichung u

= 1 ließe sich auch die explizite

Abh¨ angigkeit der rechten Seite von t eliminieren, und man erhielte das autonome System

(u

, . . . , u

)

= g (u

, u

◦ u

, . . . , u

◦ u

) .

Diese Umformung ist jedoch weniger gebr¨ auchlich.

Beispiel:

Die Differentialgleichung

ϕ

= f (t) − r ϕ

− sin ϕ

beschreibt eine erzwungene Schwingung eines Pendels, wobei r > 0 den Reibungskoeffizienten und f (t) die ¨ außere Kraft bezeichnet.

Substitution (u

, u

) = (ϕ, ϕ

) System erster Ordnung:

u

= u

u

= f (t) − ru

− sin u

Einf¨ uhren der weiteren Variable u

(t) = t und der zus¨ atzlichen trivialen Gleichung

u

= 1 autonomes System

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform System von Differentialgleichungen erster Ordnung 48-1

Beispiel:

Drei-K¨ orper Problem:

Differentialgleichungen f¨ ur die Bahnkurven t → P

(t) ∈ R

von Himmelsk¨ orpern unter dem Einfluß von Gravitationskr¨ aften

P

= γm

(P

− P

) | P

− P

|

+ γ m

(P

− P

) | P

− P

|

P

= γm

(P

− P

) | P

− P

|

+ γ m

(P

− P

) | P

− P

|

P

= γm

(P

− P

) | P

− P

|

+ γ m

(P

− P

) | P

− P

|

mit γ = 3.993N km

kg

der Gravitationskonstante und m

den Massen

der K¨ orper

x ₁ x 2

x 3

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform System von Differentialgleichungen erster Ordnung 49-2

Transformation auf Standardform durch Einf¨ uhren von zus¨ atzlichen Variablen



 u

u

u



 = P

,



 u

u

u



 = P

,



 u

u

u



 = P



 u

u

u



 = P

,



 u

u

u



 = P

,



 u

u

u



 = P

System von 18 Differentialgleichungen erster Ordnung zus¨ atzliche Differentialgleichungen f¨ ur die Hilfsvariablen

u

= u

, j , k = 1, 2, 3

Satz von Peano

F¨ ur eine in einer offenen Umgebung D von (t

, a) ∈ R × R

stetige Funktion f hat das Anfangswertproblem

u

(t) = f (t, u (t)), u (t

) = a

mindestens eine stetig differenzierbare L¨ osung (u

, . . . , u

)

in einer Umgebung (t

, t

) von t

.

Wie in der Abbildung illustriert ist, verl¨ auft die L¨ osungskurve bis zum Rand von D. Ist die u-Komponente von D unbeschr¨ ankt, ist dabei insbesondere der Fall | u (t) | → ∞ m¨ oglich.

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Satz von Peano 50-1

(t

, a) u

t

t t

D

Beispiel:

(i) Keine eindeutige L¨ osung:

u

= 2 p

| u | , u(0) = 0 L¨ osungen

u

=

0, x ≤ τ (x − τ )

, x ≥ τ f¨ ur beliebiges τ ≥ 0 bzw. (Symmetrie)

u

=

0, x ≥ τ

− (τ − x )

, x ≤ τ f¨ ur τ ≤ 0

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Satz von Peano 51-1

(ii) Kleines Existenzintervall:

u

= u

, u(0) = 1 L¨ osung

u(t) = 1

1 − t

singul¨ ar f¨ ur t → 1

Eindeutigkeit der L¨ osung von Differentialgleichungssystemen

Ist f (t , u) in einer Umgebung [t

− δ, t

+ δ] × D von (t

, a) ∈ R × R

Lipschitz-stetig bzgl. (u

, . . . , u

)

, d.h. gilt

| f (t, u) − f (t, u) ˜ | ≤ L | u − u ˜ | , f¨ ur | t − t

| ≤ δ und u, u ˜ ∈ D, dann ist eine L¨ osung des Anfangswertproblems

u

(t) = f (t, u (t)), u (t

) = a mit Werten in D eindeutig.

In Verbindung mit dem Satz von Peano garantiert also die

Lipschitz-Stetigkeit von f die lokale Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf einem Intervall (t

− δ

, t

+ δ

) mit 0 < δ

≤ δ.

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Eindeutigkeit der L¨osung 52-1

Beweis:

betrachte f¨ ur zwei L¨ osungen u und ˜ u die Differenz u

(t) − u ˜

(t) = f (t, u(t)) − f (t, u ˜ (t))

Integration, Lipschitz-Bedingung f¨ ur | t − t

| ≤ ∆ = min(δ, 1/(2L)) = ⇒

| u (t) − u ˜ (t) | = Z

f (s, u(s )) − f (s , u(s)) ˜ ds

≤ | t − t

|

| {z }

≤1/(2L)

L max

|s−t0|≤∆

| u(s) − u ˜ (s) |

| {z }

=M

Bilden des Maximums der linken Seite ¨ uber t ∈ I = [t

− ∆, t

+ ∆]

= ⇒ M ≤ M/2 und somit M = 0, d.h. u = ˜ u auf I

Iteration des Arguments mit t ← t ± ∆ = ⇒ Behauptung

Beispiel:

(i) Lokale Existenz:

u

= tu

, u(0) = 1 bestimme eine Lipschitz-Konstante L f¨ ur f (t, u) = tu

f (t, u) − f (t , u) = ˜ t(u

− u ˜

) = [t(u + ˜ u)] (u − u) ˜

= ⇒ Abh¨ angigkeit von L von dem Betrag der L¨ osung δ = 2, D = [0, 4], d.h. (t, u ), (t, u) ˜ ∈ [ − 2, 2] × [0, 4]

L = max[. . .] = 2 · (2 · 4) = 16 Die L¨ osung (bestimmt durch Separation der Variablen)

u(t) = 1 1 − t

/2 ist eindeutig; wird jedoch f¨ ur t = √

2 singul¨ ar, d.h. sie existiert nur auf einem Teilintervall von [ − 2, 2].

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Eindeutigkeit der L¨osung 54-1

(ii) Globale Existenz:

u

= sin(tu), u(0) = 1 Mittelwertsatz = ⇒

f (t, u) − f (t, u) = [cos(s ˜ ) t] (u − u) ˜

= ⇒ L = max[. . .] = T ist Lipschitz-Konstante auf dem Bereich [ − T , T ] × R

| u

(t) | ≤ 1 = ⇒

| u(t) | ≤ 1 + | t |

Satz von Peano (Existenz bis zum Rand des Stetigkeitsbereichs) = ⇒ Existenz im gesamten Interval ( − T , T )

T beliebig Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf R

Ableitung nach Anfangsbedingungen

Das Anfangswertproblem

u

= f (t , u), u(t

) = a ,

l¨ asst sich f¨ ur stetig differenzierbares f nach (a

, . . . , a

)

partiell ableiten.

Man erh¨ alt die Matrix-Differentialgleichung

u

= f

(t, u)u

, u

(t

) = E ,

mit der Jacobi-Matrix u

= (∂u/∂a

, . . . , ∂u/∂a

) und E der (n × n) Einheitsmatrix.

Durch Taylor-Entwicklung folgt f¨ ur die L¨ osung v zu einem benachbarten Anfangswert v (t

) = a + ∆a

v (t) = u(t) + u

(t)∆a + O((∆a)

) .

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Ableitung nach Anfangsbedingungen 55-1

Beispiel:

Differentialgleichungen f¨ ur die Bahnkurve eines antriebslosen Raumschiffs in Polarkoordinaten

r

= u u

= v

r − γ r

v

= − uv

r γ : Gravitationskonstante

r : Abstand vom Erdmittelpunkt

u, v: radiale und tangentiale Geschwindigkeitskomponente station¨ arer Orbit:



 r

u

v



 =



 0 0 0



 = ⇒



 r u v



 =



 r

0 p γ/r





St¨ orung der Anfangswerte:

p

= (r

, 0, p

γ/r

) → p ˜

N¨ aherung f¨ ur die resultierende Bahnkurve





˜ r(t)

˜ u(t)

˜ v(t)



 =



 r

0 p γ/r



 + J(t)





∆r(0)

∆u(0)

∆v(0)





| {z }

d(t)

Jacobi-Matrix J bestimmt durch die L¨ osung des Anfangswertproblems

J

=















0 1 0

γ

r

0 2 p

γ/r

r

0 −

p γ/r

r

0















| {z }

A

J , J(0) = E ,

Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in

Standardform Ableitung nach Anfangsbedingungen 56-2

Berechnung von A durch Einsetzen der ungest¨ orten L¨ osung in die Ableitung der rechten Seite:

A =





0 1 0

−

+ 2

0

uv

r²

−

−





√

γ/r0)

(Bei einem station¨ aren Orbit h¨ angt A nicht von t ab.) Berechnung von d (t) durch L¨ osen eines linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten:

d

(t) = J

(t) d (0) = A J(t) d (0) = A d (t), d (0) =





∆r (0)

∆u (0)

∆v (0)





Lineares Differentialgleichungssystem

Ein lineares Differentialgleichungssystem u

= A(t)u + b(t)

mit stetiger Koeffizientenmatrix A und stetigem Vektor b besitzt eine eindeutige L¨ osung (u

, . . . , u

)

f¨ ur jeden Anfangswert u(t

).

Insbesondere besitzt das homogene System u

= A(t)u n linear unabh¨ angige L¨ osungen v, w , . . ., d ie man in einer Fundamentalmatrix

Γ = (v, w , . . .) zusammenfassen kann.

Lineare Differentialgleichungssysteme und

Stabilit¨at Lineares Differentialgleichungssystem 57-1