7.1 Spezielle skalare Differentialgleichungen
7.1.1 Differentialgleichungen erster Ordnung
Differentialgleichung erster Ordnung
y0 =f(x, y), y=y(x) Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Richtungsfeld
Visulisierung der durch die Differentialgleichung
y0(x) =f(x, y(x))
bestimmten Steigungen von L¨osungskurven, festgelegt durch Anfangsbedingung y(x0) =y0
(x0, y0)
x y
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
y0 =py+q allgemeine L¨osung
y=yp+yh mit
yh =cexp(P(x)), P(x) = Zx
x0
p(s)ds
der allgemeinen L¨osung der der homogenen Differentialgleichung (q(x) = 0) und einer partikul¨aren L¨osung yp =
Zx
x0
exp(P(x)−P(s))q(s)ds
Anfangsbedingung y(x0) = y0 c=y0
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Bernoullische Differentialgleichung
u0+pu=quk, k6= 0,1, Substitution
y=u1−k, y0 = (1−k)u−ku0 lineare Differentialgleichung
1
1−ky0 =−py+q
Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
y0 =py+q, p∈R Ans¨atze f¨ur partikul¨are L¨osungen yp
• q(x) = Pn
j=0cjxj → yp =Pn j=0djxj
• q(x) = cexp(λx), λ6=p,→ yp = c
λ−p exp(λx)
• q(x) = cexp(px) → yp =cxexp(px)
• q(x) = acos(ωx) +bsin(ωx)→ yp =ccos(ωx) +dsin(ωx) allgemeine L¨osung
y=yp+cexp(px) Separable Differentialgleichung
y0 =p(x)g(y)
| {z }
f(x,y(x))
L¨osung durch Bilden von Stammfunktionen Z dy
g(y) = Z
p(x)dx
Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Homogene Differentialgleichung
y0 =f(y/x) Substitution
xz(x) = y(x), z+xz0 =f(z) separable Differentialgleichung
z0 = 1
x(f(z)−z)
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Exakte Differentialgleichung
q(x, y)y0 +p(x, y) = 0 mit
p=Fx, q=Fy ⇔ (p, q)t = gradF notwendig: Integratibilit¨atsbedingung py =qx
hinreichend bei einfach zusammenh¨angendem Definitionsgebiet implizite Darstellung der L¨osungen
F(x, y) =c
Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Integrierender Faktor
Multiplikation der Differentialgleichung
p(x, y)dx+q(x, y)dy = 0
mit einer Funktion a(x, y), die auf eine exakte Differentialgleichung f¨uhrt, d.h.
(ap)y = (aq)x
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