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7.1.1 Differentialgleichungen erster Ordnung

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Academic year: 2021

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7.1 Spezielle skalare Differentialgleichungen

7.1.1 Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichung erster Ordnung

y0 =f(x, y), y=y(x) Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Richtungsfeld

Visulisierung der durch die Differentialgleichung

y0(x) =f(x, y(x))

bestimmten Steigungen von L¨osungskurven, festgelegt durch Anfangsbedingung y(x0) =y0

(x0, y0)

x y

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

y0 =py+q allgemeine L¨osung

y=yp+yh mit

yh =cexp(P(x)), P(x) = Zx

x0

p(s)ds

der allgemeinen L¨osung der der homogenen Differentialgleichung (q(x) = 0) und einer partikul¨aren L¨osung yp =

Zx

x0

exp(P(x)−P(s))q(s)ds

Anfangsbedingung y(x0) = y0 c=y0

135

(2)

Bernoullische Differentialgleichung

u0+pu=quk, k6= 0,1, Substitution

y=u1k, y0 = (1−k)uku0 lineare Differentialgleichung

1

1−ky0 =−py+q

Methode der unbestimmten Koeffizienten f¨ur lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

y0 =py+q, p∈R Ans¨atze f¨ur partikul¨are L¨osungen yp

• q(x) = Pn

j=0cjxj → yp =Pn j=0djxj

• q(x) = cexp(λx), λ6=p,→ yp = c

λ−p exp(λx)

• q(x) = cexp(px) → yp =cxexp(px)

• q(x) = acos(ωx) +bsin(ωx)→ yp =ccos(ωx) +dsin(ωx) allgemeine L¨osung

y=yp+cexp(px) Separable Differentialgleichung

y0 =p(x)g(y)

| {z }

f(x,y(x))

L¨osung durch Bilden von Stammfunktionen Z dy

g(y) = Z

p(x)dx

Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Homogene Differentialgleichung

y0 =f(y/x) Substitution

xz(x) = y(x), z+xz0 =f(z) separable Differentialgleichung

z0 = 1

x(f(z)−z)

136

(3)

Exakte Differentialgleichung

q(x, y)y0 +p(x, y) = 0 mit

p=Fx, q=Fy ⇔ (p, q)t = gradF notwendig: Integratibilit¨atsbedingung py =qx

hinreichend bei einfach zusammenh¨angendem Definitionsgebiet implizite Darstellung der L¨osungen

F(x, y) =c

Anfangsbedingung y(x0) = y0 Festlegung der Integrationskonstante Integrierender Faktor

Multiplikation der Differentialgleichung

p(x, y)dx+q(x, y)dy = 0

mit einer Funktion a(x, y), die auf eine exakte Differentialgleichung f¨uhrt, d.h.

(ap)y = (aq)x

137

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