Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
Die Laplace-Transformierte der L¨ osung u des Anfangswertproblems u 0 + pu = f (t ), u(0) = a
ist
U(s) = 1
s + p (F (s) + a) .
Die L¨ osung kann also durch Faltung mit der inversen Transformation ϕ(t ) = exp(−pt ) von Φ(s ) = (s + p) −1 berechnet werden,
u = aϕ
|{z}
u
h+ ϕ ? f
| {z }
u
p,
bzw. durch direkte R¨ ucktransformation von U(s).
Laplace-Transformation der Differentialgleichung sU(s ) − a + pU(s) = F (s ) −→ U(s) = 1
s + p (F (s) + a) Darstellung von u durch inverse Laplace-Transformation
ϕ(t) = exp(−pt ) −→ L Φ(s) = 1/(s + p)
= ⇒
F (s) s + p
L
−1−→ ϕ ? f a
s + p
L
−1−→ aϕ
Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 2-1
Beispiel:
Anfangswertproblem
u 0 − u = exp(t), u(0) = 0 Laplace-Transformation
sU(s) − u(0) − U(s) = 1 s − 1 und nach Aufl¨ osen nach U
U (s ) = 1
(s − 1) 2 = − d ds
1 s − 1
Formel f¨ ur die inverse Transformation einer abgeleiteten Funktion
− d
ds −→ Multiplikation mit t
u(t) = t exp(t)
Anfangswertproblem
u 0 − 3u = t exp(2t) , u(0) = a Laplace-Transformation
sU(s) − a − 3U(s) = 1
(s − 2) 2 ⇔ U(s) = 1 s − 3
1
(s − 2) 2 + a
Partialbruchzerlegung von U U(s) = a + 1
s − 3 − 1
s − 2 − 1 (s − 2) 2 inverse Laplace-Transformation der elementaren Terme
u(t) = (a + 1) exp(3t) − exp(2t) − t exp(2t)
Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 4-1
Beispiel:
Anfangswertproblem
u 0 + u = cos(2t) , u(0) = 3 Laplace-Transformation
sU(s ) − 3 + U (s ) = s
s 2 + 4 ⇔ U(s) = 1 s + 1
s s 2 + 4 + 3
R¨ ucktransformation der elementaren Terme Φ(s) = 1
s + 1
L
−1−→ ϕ(t) = e −t , Ψ(s) = s s 2 + 4
L
−1−→ ψ(t) = cos(2t) Faltungsregel ΦΨ L
−1
