Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen
F¨ur die Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen gilt u(t) =tnexp(at)−→L U(s) = n!
(s −a)n+1, Re(s)>Re(a). Mit a=λ+iω erh¨alt man insbesondere die Laplace-Transformation von trigonometrischen Funktionen:
exp(λt) cos(ωt) −→L s−λ (s −λ)2+ω2 exp(λt) sin(ωt) −→L ω
(s −λ)2+ω2.
Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen 1-1
Beweis:
Un(s) =
∞
Z
0
tnexp(−(s−a)t)dt partielle Integration
Un(s) = −
∞
Z
0
ntn−1
− 1 s−a
exp(−(s−a)t)dt = n
s−aUn−1(s)
= · · ·
= n!
(s−a)nU0(s) mit
U0(s) =
∞
Z
0
exp(−(s−a)t)dt = 1 s−a
Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen 2-1
f¨ur a=λ+ iω,
u(t) = exp(at)−→L U(s) = 1
s−λ−iω = (s−λ) + iω (s−λ)2+ω2 Bilden von Real- und Imagin¨arteil
Laplace-Transformation der trigonometrischen Funktionen
Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen 2-2
Beispiel:
Illustration der Transformationsregel f¨ur die Grundfunktionen tneat, eλtcos(ωt), eλtsin(ωt) anhand einiger Beispiele
u(t) U(s)
2t3−1 12
s4 −1 s e4t(t−5) 1
(s−4)2 − 5 s−4 2 sin(3t) cos(3t) 6
s2+ 36 e−tcos(7t) s+ 1
(s + 1)2+ 49
Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen 3-1
