Laplace-Transformation periodischer Funktionen
Ist u eine T -periodische Funktion, d.h. u (t) = u(t + T ), so folgt f¨ ur die Laplace-Transformierte
U (s ) = R T
0 exp(−st)u(t) dt 1 − exp(−Ts) .
Laplace-Transformation periodischer Funktionen 1-1
Beweis:
U (s ) =
∞
Z
0
u(t) exp(−st) dt =
∞
X
j =0 (j+1)T
Z
jT
u(t) exp(−st) dt
| {z }
I
jPeriodizit¨ at von u = ⇒
I j =
T
Z
0
u(t) exp(−s(t + jT )) dt = exp(−jTs)
T
Z
0
u(t) exp(−st) dt
| {z }
I
0Formel f¨ ur die geometrische Reihe
U(s) = I 0
∞
X
j=0
exp(−jTs) = I 0
1 − exp(−Ts)
Laplace-Transformation periodischer Funktionen 2-1
Beispiel:
Laplace-Transformation des Einheitsimpulses u:
U (s ) =
1
Z
0
exp(−st ) dt = 1 − exp(−s ) s
u
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
1
2-periodische Fortsetzung
U(s) = ˜ U (s)
1 − exp(−2s) = 1 s (1 + exp(−s))
Laplace-Transformation periodischer Funktionen 3-1
