Faltung und Laplace-Transformation
F¨ur die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen
(u?v)(t) = Zt
0
v(t−r)u(r)dr
gilt
L(u?v) = (Lu)(Lv).
Beweis:
Vertauschen der Integrationsgrenzen
(u?v)(t) −→L
∞
Z
0 t
Z
0
v(t−r)u(r) exp(−st)dr dt
=
∞
Z
0
∞
Z
r
v(t−r)u(r) exp(−s(t−r)) exp(−sr)dt dr
=
∞
Z
0
∞
Z
0
v(τ)u(r) exp(−sτ) exp(−sr)dτdr
= U(s)V(s)
Beispiel:
Laplace-Transformation der Faltung von u = exp(at) und v = exp(bt) (u?v)(t)−→L U(s)V(s) = 1
s−a 1
s −b = 1 a−b
1
s−a − 1 s−b
inverse Laplace-Transformation
(u?v)(t) = exp(at)−exp(bt) a−b Ubereinstimmung mit der direkten Berechnung:¨
(u?v)(t) = Z t
0
exp(a(t−r)) exp(br)dr
= exp(at)hexp((b−a)r) b−a
it
Beispiel:
Mit Hilfe der abgebildeten B-Splinesbj kann eine Basis f¨ur die st¨uckweisen Polynome vom Grad ≤j gebildet werden.
b0
b1
b2
b3
b4
t
0 1 2 3 4 5 6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
rekursive Definition durch Faltung ausgehend von der charakteristischen Funktion b0 des Intervalls [0,1]:
bj+1(t) = (bj ?b0)(t) =
t
Z
0
bj(t−r)b0(r)dr =
1
Z
0
bj(t−r)dr dennbj(s) = 0 f¨urs =t−r ≤0
Laplace-Transformation der B-Splines:
b0(t) −→L 1−exp(−s)
s ,
bj(t) −→L
1−exp(−s) s
j+1
=s−(j+1)
j+1
X
k=0
ckexp(−ks) mit
R¨ucktransformation mit Hilfe der Verschiebungsregel bj(t) =
j+1
X
k=0
ck
1
j!(t−k)j+ mit den sogenannten abgebrochenen Potenzen
(t−k)j+=
0 : t <k (t−k)j : t ≥k
