Verschiebung und Skalierung bei Laplace-Transformation

(1)

Verschiebung und Skalierung bei Laplace-Transformation

Bezeichnet man, wie in der Abbildung illustriert, mit u( · − a) die um a nach rechts verschobene Funktion, so gilt f¨ ur die Laplace-Transformation

u(t − a) −→

^L

exp( − as)U(s) .

0 a >0

u(t) u(t−a)

t u

Umgekehrt ist

exp(at)u(t) −→

^L

U (s − a) .

(2)

F¨ ur die Laplace-Transformation einer skalierten Funktion gilt

u(at) −→

^L

a

⁻¹

U (s /a) .

(3)

Beweis:

(i) Verschiebung:

∞

Z

0

u (t − a) exp( − st) dt =

∞

Z

−a

u (τ ) exp( − s (τ + a)) d τ

u (t) = 0 f¨ ur t ≤ 0 = ⇒ Transformationsregel (ii) Multiplikation mit einer Exponentialfunktion:

∞

Z

0

exp(at)u(t) exp( − st) ds =

∞

Z

0

u(t) exp( − (s − a)t) ds = U(s − a)

(iii) Skalierung:

Substitution τ = at, dt = a

⁻¹

d τ und − st = − (s /a)τ Behauptung

(4)

Beispiel:

F¨ ur 0 ≤ t ≤ 1 wird die links abgebildete Funktion durch

u

₀

(t) = t

|{z}

ϕ

− (t − 1)

₊

| {z }

ψ

− (t − 1)

⁰₊

| {z }

χ

, x

₊^j

=

x

^j

f¨ ur x ≥ 0 0 sonst

beschrieben, wie rechts in der Abbildung illustriert ist.

t u

0 1 2 3

1

t u

0 1 2 3

1

ϕ ψ

χ

(5)

Laplace-Transformation nach der Verschiebungsregel:

U

0

(s ) = 1

s

²

− exp( − s)

s

²

− exp( − s )

s = 1 − exp( − s ) − s exp( − s) s

²

Regel f¨ ur die Laplace-Transformation 1-periodischer Funktionen Transformation der S¨ agezahnfunktion

U (s ) = U

₀

(s )

1 − exp( − s ) = 1

s

²

− exp( − s ) s(1 − exp( − s ))

= 1 − (1 + s ) exp( − s )

s

²

(1 − exp( − s))

(6)

Beispiel:

Laplace-Transformation des Standardimpulses (links)

U (s ) = Z

1

0

e

^−st

dt =

− e

^−st

s

1

0

= 1 − e

^−s

s

u

a b t 1

u

0 1 t 1

u

0 d t 1

Skalierung v(t) = u(t/d )

V (s) = d 1 − e

^−ds

ds = 1 − e

^−ds

s

(7)

Verschiebung w (t) = v (t − a) mit d = b − a

Laplace-Transformierte der allgemeinen Impulsfunktion (rechts)

W (s) = e

^−as

1 − e

^−(b−a)s

s = exp( − as ) − exp( − bs) s

Ubereinstimmung mit der direkten Berechnung ¨

W (s) = Z

b

a

e

^−st

dt =

− e

^−st

s

b a