Verschiebung bei Fourier-Transformation
Eine Verschiebung der Variablen entspricht nach Fourier-Transformation bzw. R¨ ucktransformation einer Multiplikation mit einer
Exponentialfunktion:
f (x − a) 7−→
Fexp(−iay ) ˆ f (y) exp(iax )f (x) 7−→
Ff ˆ (y − a) .
Verschiebung bei Fourier-Transformation 1-1
Beweis:
(i) Verschiebung:
g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ
g (y) =
∞
Z
−∞
f (x − a)e
−iyxdx =
∞
Z
−∞
f (˜ x)e
−iy(˜x+a)d x ˜ = e
−iyaf ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:
h(x ) = e
iaxf (x)
h(y ˆ ) =
∞
Z
−∞
(e
iaxf (x))e
−iyxdx =
∞
Z
−∞
f (x)e
−i(y−a)xdx
= f ˆ (y − a)
Verschiebung bei Fourier-Transformation 2-1
Beispiel:
Impuls-Funktion χ(x) =
( 1, |x| ≤ 1/2
0, sonst , χ(y ˆ ) = sinc(y/2) = sin(y/2) y /2
Fourier-Transformation von χ(x − j ):
e
−ijysinc(y /2) Fourier-Transformation von exp(2πijx)χ(x)
ˆ
χ(y − 2πj ) = sin(y/2 − πj )
y /2 − πj = (−1)
jsin(y/2) y/2 − πj
Verschiebung bei Fourier-Transformation 3-1
Fourier-Transformation eines trigonometrischen Polynoms p(x) = X
j∈Z
c
je
2πijxeingeschr¨ ankt auf [−1/2, 1/2]
(pχ)(x) 7−→
Fsin(y/2) X
j∈Z
c
j(−1)
jy /2 − πj
Verschiebung bei Fourier-Transformation 3-2