Differentiation bei Fourier-Transformation

Differentiation bei Fourier-Transformation

Bei der Fourier-Transformation entspricht die Ableitung einer Multiplikation mit der transformierten Variablen und umgekehrt:

f ⁰ (x ) 7−→ ^F iy f ˆ (y) xf (x ) 7−→ ^F i f ˆ ⁰ (y ) .

Differentiation bei Fourier-Transformation 1-1

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f :

f c ⁰ (y ) =

∞

Z

−∞

f ⁰ (x)e ^−iyx dx =

part. Int. 0 −

∞

Z

−∞

f (x) d dx e ^−iyx

| {z }

−iye

dx = iy f ˆ (y)

(ii) Differentiation von ˆ f :

i ˆ f ⁰ (y) = i

∞

Z

−∞

f (x) d

dy e ^−iyx dx = i

∞

Z

−∞

f (x)(−ix)e ^−iyx dx = ˆ g (y )

mit g (x) = xf (x)

Abschw¨ achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Differentiation bei Fourier-Transformation 2-1

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f (x) = e ^−x

^/2 , f ˆ (y ) = √

2π e ^−y

^/2

f ⁰ (x) = −xe ^−x

^/2 = −xf (x) Transformationsregeln = ⇒

f ⁰ (x) 7−→ ^F iy f ˆ (y )

−xf (x) 7−→ ^F −i ˆ f ⁰ (y) identisches Resultat:

−i ˆ f ⁰ (y) = −i √

2π(−y) e ^−y

^/2 = iy f ˆ (y ) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x ² /2) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation bei Fourier-Transformation 3-1

Beispiel:

f (x) = e ^−|x| , f ˆ (y) = 2 1 + y ² Anwendung der Transformationsregeln:

f ⁰ (x) = − sign(x )e ^−|x| 7−→ ^F iy f ˆ (y) = 2iy 1 + y ² xe ^−|x| 7−→ ^F i ˆ f ⁰ (y) = − 4iy

(1 + y ² ) ² explizite Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−|x|) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation bei Fourier-Transformation 4-1