Verschiebung bei Fourier-Transformation

(1)

Verschiebung bei Fourier-Transformation

Eine Verschiebung der Variablen entspricht nach Fourier-Transformation bzw. R¨ ucktransformation einer Multiplikation mit einer

Exponentialfunktion:

f (x − a) 7−→

^F

exp(−iay ) ˆ f (y)

exp(iax )f (x) 7−→

^F

f ˆ (y − a) .

(2)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ

g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:

h(x) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

Verschiebung bei Fourier-Transformation 2-1

(3)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a

ˆ g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:

h(x) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

(4)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ

g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y)

(i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen: h(x) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

(5)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ

g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:

h(x) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

(6)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ

g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:

h(x ) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

(7)

Beweis:

(i) Verschiebung:

g (x) = f (x − a), ˜ x = x − a ˆ

g (y) =

∞

Z

−∞

f (x − a)e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (˜ x)e

^−iy(˜^x+a)

d x ˜ = e

^−iya

f ˆ (y) (i) Multiplikation mit Exponentialfunktionen:

h(x ) = e

^iax

f (x)

h(y ˆ ) =

∞

Z

−∞

(e

^iax

f (x))e

^−iyx

dx =

∞

Z

−∞

f (x)e

^−i(y−a)x

dx

= f ˆ (y − a)

(8)

Beispiel:

Impuls-Funktion χ(x) =

( 1, |x| ≤ 1/2

0, sonst , χ(y ˆ ) = sinc(y/2) = sin(y/2) y /2

Fourier-Transformation von χ(x − j ):

e

^−ijy

sinc(y /2) Fourier-Transformation von exp(2πijx)χ(x)

ˆ

χ(y − 2πj ) = sin(y/2 − πj )

y /2 − πj = (−1)

^j

sin(y/2) y/2 − πj

(9)

Beispiel:

Impuls-Funktion χ(x) =

( 1, |x| ≤ 1/2

0, sonst , χ(y ˆ ) = sinc(y/2) = sin(y/2) y /2

Fourier-Transformation von χ(x − j ):

e

^−ijy

sinc(y /2)

Fourier-Transformation von exp(2πijx)χ(x) ˆ

χ(y − 2πj ) = sin(y/2 − πj )

y /2 − πj = (−1)

^j

sin(y/2)

y/2 − πj

(10)

Beispiel:

Impuls-Funktion χ(x) =

( 1, |x| ≤ 1/2

0, sonst , χ(y ˆ ) = sinc(y/2) = sin(y/2) y /2

Fourier-Transformation von χ(x − j ):

e

^−ijy

sinc(y /2) Fourier-Transformation von exp(2πijx)χ(x)

ˆ

χ(y − 2πj ) = sin(y/2 − πj )

y /2 − πj = (−1)

^j

sin(y/2) y/2 − πj

(11)

Fourier-Transformation eines trigonometrischen Polynoms p(x) = X

j∈Z

c

j

e

^2πijx

eingeschr¨ ankt auf [−1/2, 1/2]

(pχ)(x) 7−→

^F

sin(y/2) X

j∈Z

c

_j

(−1)

^j

y /2 − πj