Skalierung und Fourier-Transformation

(1)

Skalierung und Fourier-Transformation

F¨ ur a 6= 0 gilt

f (ax ) 7−→

^F

f ˆ (y/a)/|a| .

Skalierung der Fourier-Transformation 1-1

(2)

Beweis:

g (x) = f (ax ), ˜ x = ax , d x ˜ = a dx

ˆ g (y) =

∞

Z

−∞

f (ax )e

^−iyx

dx = 1 a

s∞

Z

−s∞

f (˜ x)e

^−i˜^{x y/a}

d x ˜ = 1

|a| f ˆ (y/a)

mit s = sign(a)

Umkehrung der Integrationsgrenzen f¨ ur a < 0 (s = −1) Z

−∞

∞

. . . d x ˜ = − Z

∞

−∞

. . . d x ˜

(3)

Beweis:

g (x) = f (ax ), ˜ x = ax , d x ˜ = a dx

ˆ g (y) =

∞

Z

−∞

f (ax )e

^−iyx

dx = 1 a

s∞

Z

−s∞

f (˜ x)e

^−i˜^{x y/a}

d x ˜ = 1

|a| f ˆ (y/a) mit s = sign(a)

Umkehrung der Integrationsgrenzen f¨ ur a < 0 (s = −1) Z

−∞

∞

. . . d x ˜ = − Z

∞

−∞

. . . d x ˜

(4)

Beweis:

g (x) = f (ax ), ˜ x = ax , d x ˜ = a dx

ˆ g (y) =

∞

Z

−∞

f (ax )e

^−iyx

dx = 1 a

s∞

Z

−s∞

f (˜ x)e

^−i˜^{x y/a}

d x ˜ = 1

|a| f ˆ (y/a)

mit s = sign(a)

Umkehrung der Integrationsgrenzen f¨ ur a < 0 (s = −1) Z

−∞

∞

. . . d x ˜ = − Z

∞

−∞

. . . d x ˜

(5)

Beispiel:

Fourier-Transformierte der Funktion

f (x) = e

^−a(x−b)²

verwende

g (x) = e

^−x²^/2

7−→

^F

g ˆ (y ) =

√

2πe

^−y²^/2

Skalierung von g (x) mit √

2a, d.h. h(x) = g ( √ 2ax) h(x ) = e

^−ax²

, ˆ h(y) = p

π/a e

^−y²^/(4a)

Verschiebung um b nach rechts, d.h. f (x) = h(x − b)

f ˆ (y ) = p

π/a e

^−iby

e

^−y²^/(4a)

(6)

Beispiel:

Fourier-Transformierte der Funktion

f (x) = e

^−a(x−b)²

verwende

g (x) = e

^−x²^/2

7−→

^F

g ˆ (y ) =

√

2πe

^−y²^/2

Skalierung von g (x) mit √

2a, d.h. h(x) = g ( √ 2ax) h(x ) = e

^−ax²

, ˆ h(y) = p

π/a e

^−y²^/(4a)

Verschiebung um b nach rechts, d.h. f (x) = h(x − b)

f ˆ (y ) = p

π/a e

^−iby

e

^−y²^/(4a)

(7)

Beispiel:

Fourier-Transformierte der Funktion

f (x) = e

^−a(x−b)²

verwende

g (x) = e

^−x²^/2

7−→

^F

g ˆ (y ) =

√

2πe

^−y²^/2

Skalierung von g (x) mit √

2a, d.h. h(x) = g ( √ 2ax) h(x) = e

^−ax²

, ˆ h(y) = p

π/a e

^−y²^/(4a)

Verschiebung um b nach rechts, d.h. f (x) = h(x − b) f ˆ (y ) = p

π/a e

^−iby

e

^−y²^/(4a)

(8)

Beispiel:

Fourier-Transformierte der Funktion

f (x) = e

^−a(x−b)²

verwende

g (x) = e

^−x²^/2

7−→

^F

g ˆ (y ) =

√

2πe

^−y²^/2

Skalierung von g (x) mit √

2a, d.h. h(x) = g ( √ 2ax) h(x) = e

^−ax²

, ˆ h(y) = p

π/a e

^−y²^/(4a)

Verschiebung um b nach rechts, d.h. f (x) = h(x − b)

f ˆ (y ) = p

π/a e

^−iby

e

^−y²^/(4a)