8.2 Diskrete Fourier-Transformation

8.2 Diskrete Fourier-Transformation

8.2.1 Schnelle Fourier-Transformation

Fourier-Matrix

W _n =



 

 

 



w _n ^0·0 · · · w n ^{0 · (n − 1)}

... ...

w n ^{(n − 1) · 0} · · · w ⁽ⁿ n ^{− 1) · (n − 1)}



 

 

 



, w _n = exp(2πi/n)

unit¨ar nach Normierung: W _n ^{− 1} = W _n ^∗ /n

Diskrete Fourier-Transformation

f = W n c ⇔ c = 1 n W _n ^∗ f d.h.

f _j =

n−1 X

k=0

c _k w _n ^jk ⇔ c _k = 1 n

X n−1 j=0

f _j w ^−kj _n

mit w _n = exp(2πi/n)

Transformation c 7→ f entspricht Auswertung des trigonometrischen Polynoms

p(x) =

n − 1

X

k=0

c k e ^ikx

an den Punkten x j = 2πj/n, d.h. f j = p(x j )

inverse Transformation f 7→ c entspricht Riemann-Summe f¨ur die Fourier-Koeffizienten, d.h.

h f, e k i ^2π = 1 2π

Z 2π 0

f (x)e ^{− ikx} dx ≈ 1 n

n − 1

X

j=0

f (x j )e ^{− ikx}

mit x j = 2πj/n

Schnelle Fourier-Transformation

Berechnung der diskreten Fourier-Transformation,

f j =

n − 1

X

k=0

c k w ^jk _n , w n = exp(2πi/n) ,

f¨ur n = 2 ^`

f = FFT(c) n = length(c)

if n = 1, f = c, return

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else

g = FFT(c ₀ , c ₂ , . . . , c _n−2 ) , h = FFT(c ₁ , c ₃ , . . . , c _n−1 ) p =

1, w n , w ² _n , . . . , w n ^{n/2 − 1}

f = (g + p . ∗ h, g − p . ∗ h) end

Operationenzahl: 2n`

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