Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
30. September 2016H¨ohere Mathematik III (MB)
28. ¨ Ubung : Fourier-Transformation
28.1 Sind folgende Funktionen Fourier-transformierbar ? f(t) = 1
1 +t2, f(t) = e−t, f(t) =e−t2 28.2 Gesucht ist die Fourier-Transformierte F(ω) von
f(t) =e2t, t≤0, f(t) =e−t, t >0. 28.3 Berechnen Sie die Fourier-TransformierteF(ω) von
f(t) = 1− |t|, t∈[−1,1], f(t) = 0, t /∈[−1,1]. Wie ist das Abklingverhalten des Amplitudenspektrums ? 28.4 Ermitteln Sie die inverse Fourier-Transformierte f(t) von
F(ω) =e−a|ω|, a >0.
28.5 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte Fε(ω) des Rechteckimpulses fε(t) = 1
2ε, |t| ≤ε, f(t) = 0, |t|> ε, ε >0. Was passiert f¨urε →0 ?
28.6 Zeigen Sie mittels geeigneter Substitution, dass F eictf(at)
= 1 aF
ω−c a
gilt, wenn F(f) =F und a, c∈R, a6= 0. 28.7 Bestimmen Sie F(g) f¨ur den Rechteckimpuls
g(t) = 1, 0< t <1, g(t) = 0 sonst. Stellen Sie die Funktion
f(t) =−2, −1< t <0, f(t) = 3, 0< t <2, f(t) = 0, sonst dar als Linearkombination von verschobenen Rechteckimpulsen der Form g, und bestimmen Sie die Fourier-Transformierte von f unter Nutzung der Regeln.
Ermitteln Sie das Abklingverhalten des Amplitudenspektrums.
28.8 Mit der Definition von a(ω) und b(ω) zeige man
a(−ω) = a(ω), b(−ω) = −b(ω) sowie F(−ω) = F(ω).
28.9 Berechnen Sie die Faltung f =g∗g f¨ur den Rechteckimpuls g aus Aufgabe 28.7.
Bestimmen Sie F(f) mit dem Faltungssatz.
Vergleichen Sie mit Aufgabe 28.3 unter Verwendung des Verschiebungssatzes.
28.10 Begr¨unden Sie, warum a(ω) = 1π R∞
−∞f(τ) cos ωτ dτ f¨ur ungerades f(t) verschwindet.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
