Differentiation und Fourier-Transformation

Differentiation und Fourier-Transformation

Bei der Fourier-Transformation entspricht die Ableitung einer Multiplikation mit der transformierten Variablen und umgekehrt:

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y) xf(x) 7−→^F ifˆ⁰(y).

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen

keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f:

fc⁰ (y) =

∞

Z

−∞

f⁰(x)e^−iyxdx =

part. Int.0−

∞

Z

−∞

f(x) d dx e^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iyfˆ(y)

(ii) Differentiation von ˆf:

i ˆf ⁰(y) = i

∞

Z

−∞

f(x) d

dy e^−iyxdx = i

∞

Z

−∞

f(x)(−ix)e^−iyxdx = ˆg(y)

mit g(x) =xf(x)

Abschw¨achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Differentiation der Fourier-Transformation 2-1

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration

(i) Differentiation von f:

fc⁰ (y) =

∞

Z

−∞

f⁰(x)e^−iyxdx =

part. Int.0−

∞

Z

−∞

f(x) d dx e^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iyfˆ(y)

(ii) Differentiation von ˆf:

i ˆf ⁰(y) = i

∞

Z

−∞

f(x) d

dy e^−iyxdx = i

∞

Z

−∞

f(x)(−ix)e^−iyxdx = ˆg(y)

mit g(x) =xf(x)

Abschw¨achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f:

fc⁰ (y) =

∞

Z

−∞

f⁰(x)e^−iyxdx =

part. Int.0−

∞

Z

−∞

f(x) d dx e^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iyfˆ(y)

(ii) Differentiation von ˆf:

i ˆf ⁰(y) = i

∞

Z

−∞

f(x) d

dy e^−iyxdx = i

∞

Z

−∞

f(x)(−ix)e^−iyxdx = ˆg(y)

mit g(x) =xf(x)

Abschw¨achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Differentiation der Fourier-Transformation 2-3

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f:

fc⁰ (y) =

∞

Z

−∞

f⁰(x)e^−iyxdx =

part. Int.0−

∞

Z

−∞

f(x) d dx e^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iyfˆ(y)

(ii) Differentiation von ˆf:

i ˆf ⁰(y) = i

∞

Z

−∞

f(x) d

dy e^−iyxdx = i

∞

Z

−∞

f(x)(−ix)e^−iyxdx = ˆg(y)

mit g(x) =xf(x)

Abschw¨achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f:

fc⁰ (y) =

∞

Z

−∞

f⁰(x)e^−iyxdx =

part. Int.0−

∞

Z

−∞

f(x) d dx e^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iyfˆ(y)

(ii) Differentiation von ˆf:

i ˆf ⁰(y) = i

∞

Z

−∞

f(x) d

dy e^−iyxdx = i

∞

Z

−∞

f(x)(−ix)e^−iyxdx = ˆg(y)

mit g(x) =xf(x)

Abschw¨achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Differentiation der Fourier-Transformation 2-5

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f(x) = e^−x2/2, fˆ(y) =√

2πe^−y2/2

f⁰(x) =−xe^−x2/2 =−xf(x) Transformationsregeln =⇒

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y)

−xf(x) 7−→^F −i ˆf⁰(y) identisches Resultat:

−i ˆf⁰(y) =−i√

2π(−y) e^−y2/2 = iyfˆ(y) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x²/2) mit beliebigen Polynomen p

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f(x) = e^−x2/2, fˆ(y) =√

2πe^−y2/2

f⁰(x) =−xe^−x2/2 =−xf(x)

Transformationsregeln =⇒

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y)

−xf(x) 7−→^F −i ˆf⁰(y) identisches Resultat:

−i ˆf⁰(y) =−i√

2π(−y) e^−y2/2 = iyfˆ(y) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x²/2) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation der Fourier-Transformation 3-2

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f(x) = e^−x2/2, fˆ(y) =√

2πe^−y2/2

f⁰(x) =−xe^−x2/2 =−xf(x) Transformationsregeln =⇒

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y)

−xf(x) 7−→^F −i ˆf⁰(y)

identisches Resultat:

−i ˆf⁰(y) =−i√

2π(−y) e^−y2/2 = iyfˆ(y) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x²/2) mit beliebigen Polynomen p

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f(x) = e^−x2/2, fˆ(y) =√

2πe^−y2/2

f⁰(x) =−xe^−x2/2 =−xf(x) Transformationsregeln =⇒

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y)

−xf(x) 7−→^F −i ˆf⁰(y) identisches Resultat:

−i ˆf⁰(y) =−i√

2π(−y) e^−y2/2 = iyfˆ(y)

mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x²/2) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation der Fourier-Transformation 3-4

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f(x) = e^−x2/2, fˆ(y) =√

2πe^−y2/2

f⁰(x) =−xe^−x2/2 =−xf(x) Transformationsregeln =⇒

f⁰(x) 7−→^F iyfˆ(y)

−xf(x) 7−→^F −i ˆf⁰(y) identisches Resultat:

−i ˆf⁰(y) =−i√

2π(−y) e^−y2/2 = iyfˆ(y) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−x²/2) mit

Beispiel:

f(x) = e^−|x|, fˆ(y) = 2 1 +y²

Anwendung der Transformationsregeln:

f⁰(x) =−sign(x)e^−|x| 7−→^F iyfˆ(y) = 2iy 1 +y² xe^−|x| 7−→^F i ˆf ⁰(y) =− 4iy

(1 +y²)² explizite Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−|x|) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation der Fourier-Transformation 4-1

Beispiel:

f(x) = e^−|x|, fˆ(y) = 2 1 +y² Anwendung der Transformationsregeln:

f⁰(x) =−sign(x)e^−|x| 7−→^F iyfˆ(y) = 2iy 1 +y² xe^−|x| 7−→^F i ˆf ⁰(y) =− 4iy

(1 +y²)² explizite Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−|x|) mit beliebigen Polynomen p

Beispiel:

f(x) = e^−|x|, fˆ(y) = 2 1 +y² Anwendung der Transformationsregeln:

f⁰(x) =−sign(x)e^−|x| 7−→^F iyfˆ(y) = 2iy 1 +y² xe^−|x| 7−→^F i ˆf ⁰(y) =− 4iy

(1 +y²)²

explizite Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−|x|) mit beliebigen Polynomen p

Differentiation der Fourier-Transformation 4-3

Beispiel:

f(x) = e^−|x|, fˆ(y) = 2 1 +y² Anwendung der Transformationsregeln:

f⁰(x) =−sign(x)e^−|x| 7−→^F iyfˆ(y) = 2iy 1 +y² xe^−|x| 7−→^F i ˆf ⁰(y) =− 4iy

(1 +y²)² explizite Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x) exp(−|x|) mit beliebigen Polynomen p