10.3 Diskrete Fourier-Transformation

10.3 Diskrete Fourier-Transformation

Fourier-Matrix

W n =



 

 

 



w _n ^{0 · 0} · · · w n ^0·(n−1)

... ...

w n ^(n−1)·0 · · · w (n−1)·(n−1) n



 

 

 



, w n = exp(2πi/n)

unit¨ar nach Normierung: W _n ^{− 1} = W _n ^∗ /n Diskrete Fourier-Transformation

f = W _n c ⇔ c = 1 n W _n ^∗ f d.h.

f j =

n−1 X

k=0

c k w _n ^jk ⇔ c k = 1 n

X n−1 j=0

f j w ^−kj _n

mit w n = exp(2πi/n)

Transformation c 7→ f entspricht Auswertung des trigonometrischen Polynoms p(x) =

X n−1 k=0

c _k e ^ikx an den Punkten x j = 2πj/n, d.h. f j = p(x j )

inverse Transformation f 7→ c entspricht Riemann-Summe f¨ur die Fourier-Koeffizienten, d.h.

h f, e k i 2π = 1 2π

Z 2π 0

f (x)e ^{− ikx} dx ≈ 1 n

n − 1

X

j=0

f (x j )e ^{− ikx}

mit x j = 2πj/n

Schnelle Fourier-Transformation

Berechnung der diskreten Fourier-Transformation, f j =

n − 1

X

k=0

c k w ^jk _n , w n = exp(2πi/n) , f¨ur n = 2 ^`

f = FFT(c) n = length(c)

if n = 1, f = c, return else

155

g = FFT(c 0 , c 2 , . . . , c n − 2 ) , h = FFT(c 1 , c 3 , . . . , c n − 1 ) p =

1, w _n , w ² _n , . . . , w n ^n/2−1

f = (g + p . ∗ h, g − p . ∗ h) end

Operationenzahl: 2n`

Trigonometrische Interpolation

Berechnung des trigonometrischen Polynoms

p(x) = c m cos(mx) + X

| k | <m

c k e ^ikx , 2m = n = 2 ^` ,

das die Daten

f j = f (x j ), x j = 2πj/n, j = 0, . . . , n − 1 , interpoliert, mit der inversen schnellen Fourier-Transformation:

(c 0 , . . . , c m , c ₋ m+1 , . . . , c ₋ 1 ) = IFFT(f )

Zyklische Gleichungssysteme

zyklische Matrix

A =



 

 

 

 

 

 

a 0 a n − 1 · · · a 1

a 1 a 0 a 2

... ...

a n − 1 a n − 2 · · · a 0



 

 

 

 

 

 

Eigenwerte

λ j = X n−1

k=0

a k w ^−kj _n , w n = exp(2πi/n) Diagonalisierung durch die Fourier-Matrix

1

n W _n ^∗ AW n = diag(λ), λ = W _n ^∗ a

L¨osung zyklischer Gleichungssystems Ax = b mit diskreter Fourier-Transformation x = W n diag(λ) ^{− 1} (W _n ^∗ b/n)

156