Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y⁰=py+q

mit der allgemeinen L¨osung

y =y_p+y_h.

Dabei ist yp eine partikul¨are (oder spezielle) L¨osung und y_h die allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung (q(x) = 0).

Bezeichnet

P(x) = Z

p(x)dx eine Stammfunktion von p, so gilt

y_h=cexp(P(x)), mit einer beliebig w¨ahlbaren Konstanten c ∈R, und

y_p=

x

Z

x0

exp(P(x)−P(s))q(s)ds

ist eine partikul¨are L¨osung mityp(x0) = 0.

F¨ur die allgemeine L¨osungy=y_p+y_h zu der Anfangsbedingung y(x₀) =y₀ ist

c =y0exp(−P(x0)).

Beweis:

Ist y_h eine L¨osung der homogenen Differentialgleichung y_h⁰ =py_h

und P eine Stammfunktion von p, so gilt

[y_hexp(−P)]⁰=y_h⁰exp(−P)−y_hpexp(−P) = 0.

=⇒ [· · ·] =c mit einer Konstanten c, also yh=cexp(P) wie behauptet

Ansatz f¨ur eine partikul¨are L¨osung

y_p=C(x) exp(P(x)) (Variation der Konstanten)

Einsetzen von y_p in die Differentialgleichung

C⁰exp(P) +Cpexp(P) =pCexp(P) +q

C⁰ =qexp(−P) und damit

yp(x) =





x

Z

x0

exp(−P(s))q(s)ds



exp(P(x))

Beispiel:

Es soll die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung y⁰ = 2x

1 +x²

| {z }

p

y+ x³

|{z}q

sowie die L¨osung zu dem Anfangswerty(0) = 4 bestimmt werden.

Stammfunktion von p

P(x) = ln(1 +x²)

allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung y⁰ =py y_h(x) =ce^P(x) =c(1 +x²)

partikul¨are L¨osung:

y_p(x) = Z x

0

e^{ln(1+x2)−ln(1+s2)}s³ds

= (1 +x²) 1

2x²−1

2ln(1 +x²)

allgemeine L¨osung

y =yp+y_h= (1 +x²) x²

2 −ln(1 +x²)

2 + c

mit c ∈R

Anfangswerty(0) = 4 =⇒ c = 4