Die L¨ osungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, u

Phasenebene

Die L¨ osungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, u

= f (u, u

) ,

k¨ onnen als Kurven

t 7→ (u(t), v (t)), v = u

,

in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verl¨ auft f¨ ur eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u

, v

) genau eine L¨ osungskurve.

Punkte (u

, 0) mit f (u

, 0) = 0 sind kritische Punkte der

Differentialgleichung, die konstanten L¨ osungen u (t) = u

entsprechen.

u

Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so ist u

= v

= dv /dt = (dv /du)(du/dt ) und man erh¨ alt eine Differentialgleichung erster Ordnung

dv

du v = f (u, v) ,

die die L¨ osungskurven in der Phasenebene unmittelbar beschreibt.

Phasenebene 1-2

Beispiel:

Phasenebenen f¨ ur die Bewegungsgleichung eines ged¨ ampften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung

u u^′

u^′′=−sinu−u^′

u u^′

u^′′=−u−u^′

kleine Auslenkungen von u gute ¨ Ubereinstimmung

globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte

f¨ ur die Pendelgleichung

Die Differentialgleichung

u

+ Φ

(u) = 0

beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld.

F¨ ur die L¨ osung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie konstant:

E = 1

2 v

+ Φ(u), v = u

.

Die L¨ osungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten Energieniveaus E .

Phasenebene 3-1

Beispiel:

Differentialgleichung f¨ ur die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ

= − sin ϑ

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ Gesamtenergie E = 1

2 (ϑ

)

− cos ϑ bzw. ϑ

= ± p

2(E + cos ϑ)

ϑ(t)

ϑ ϑ^′

E >1 E= 1 E <1

0 π 2π 3π 4π

−3

−2

−1 0 1 2 3

E < 1: L¨ osungen periodisch, da cos ϑ 6 = − 1 (maximaler Wert ϑ

= arccos( − E ))

Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ

T = 4

ϑmax

Z

0

dt

d ϑ d ϑ , dt

d ϑ = (ϑ

)

= 1

p 2(cos ϑ − cos ϑ

) (E = − cos ϑ

)

E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ

wird nie null; das Pendel schwingt

¨ uber.

E = 1: Das Pendel n¨ ahert sich dem instabilen h¨ ochsten Punkt, ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen.

Phasenebene 4-2

Beispiel:

auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = − γ mM

r

m und M : Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante

r : Abstand zum Erdmittelpunkt

Bewegungsgleichung nach dem “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung r

= − γ M

r

Anfangsbedingungen

r (0) = R, r

(0) = v

R und v: Flugh¨ ohe und Geschwindigkeit bei “Burnout”

E < 0

r r

L¨ osungskurven f¨ ur verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km (Erdradius)

konstante Energieniveaus

E = 1

2 (r

)

− γM r

Phasenebene 5-2

E < 0: maximale Flugh¨ ohe

r

= − γM E E ≥ 0: Flugh¨ ohe unbeschr¨ ankt

kritische Startgeschwindigkeit v

(fett gezeichnete L¨ osungskurve) 1

2 v

− γM

R = E = 0 d.h. v

=

q

2γ

(r

(t) → 0 f¨ ur t → ∞ )