Aufgabe XIII.2 Bestimmen Sie alle L¨osungen der Differentialgleichung y0(t) =ey(t)sint

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis II Blatt XIII vom 08. Juli 2010

Aufgabe XIII.1

Bestimmen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems

y⁰(t) =−2y(t), y(t0) =y0∈R. Zeigen Sie, dass die L¨osung eindeutig ist.

Aufgabe XIII.2

Bestimmen Sie alle L¨osungen der Differentialgleichung y⁰(t) =e^y(t)sint.

Aufgabe XIII.3

Betrachten Sie eine sogenannte homogene Differentialgleichung y⁰=fy

x

,

wobeif eine bekannte Funktion sei.

a) F¨uhren Sie eine neue Funktion u = ^y_x ein und schreiben Sie obige Gleichung in eine Differentialgleichung f¨uruum. Zeigen Sie, dass sich diese Differentialgleichung dann durch Separation der Variablen l¨osen l¨asst.

b) Bestimmen Sie L¨osungen der folgenden homogenen Differentialgleichungen:

i) y⁰(x) = x−y(x) x+y(x), ii) y⁰(x) = y(x)

x −exp

y(x)

x

,

iii) y⁰(x) = y(x)(2x²−y²(x))

2x³ .