Übungsblatt zur Analysis II Aufgabe 67: Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y0=y2, y(0

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Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 30.06.2014

12. Übungsblatt zur Analysis II

Aufgabe 67: Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y⁰=y², y(0) = 1.

Existiert die Lösungy(x)für alle x∈R?

Hinweis: Bestimmen Sie die Stammfunktion beider Seiten der Gleichung _y^y₂⁰ = 1 (Verfahren der ‘Trennung der Variablen‘).

Aufgabe 68: Reduzieren Sie die Bernoulli’ Differentialgleichung y⁰ =a(x)y+b(x)y^m

mithilfe der Transformationz(x) =y^q für ein geeignetesq auf eine lineare Differentialgleichung.

Aufgabe 69: Lösen Sie das Anfangswertproblem für die Differentialgleichung beschränkten Wachstums, y⁰ = (2−y)y, y(0) = 1.

Hinweis: Aufgabe 68.

Aufgabe 70: Für die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung y⁰⁰+ay⁰+by= 0

habe das charakteristische Polynom eine doppelte Nullstelleλ. Zeigen Sie, daß danne^λxundxe^λxLösungen der Differentialgleichung sind.

Aufgabe 71: Bestimmen Sie zunächst die Lösung des linearen Anfangswertproblems

y⁰= 2 0

1 2

y, y(0) = 1

1

.

Zeigen Sie dann, daß die i-te Lösungskomponente der linearen Differentialgleichung

y⁰ =







λ 0 0 ... 0

1 λ 0 ... 0 0 . .. ... ... ...

... . .. ... ... 0 0 . . . 0 1 λ





 y

von der Gestalt y_i(x) =p_i(x)e^λx, mit p_i einem Polynom vom Grad kleiner alsi, ist.

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Aufgabe 72: Zeigen Sie für das Anfangswertproblem der linearen inhomogenen Differentialgleichung y⁰ =Ay+b(x), y(0) =y₀ (A∈R^n×n, b(x)∈Rⁿ)

die Variation-der-Konstanten-Formel:

y(x) =e^xAy0+ Z x

0

e^(x−ξ)Ab(ξ)dξ.

Abgabe in der Vorlesungspause am 07.07.2014.

Besprechung in den Übungen vom 09.07.-11.07.2014.