Differenzialgleichungen (1) L¨osungen+ Pr¨ufungsvorbereitung Aufgabe 1.1 (a) A(t

Differenzialgleichungen (1) L¨osungen+ Pr¨ufungsvorbereitung

Aufgabe 1.1

(a) A(t₁) = G

1 +aGe^−cGt1 =A₁

G= 20 cm²,c= 0.02, t₁ = 10 h, A₁ = 8 cm²; a= ? G=A₁+A₁aGe^−cGt

G−A₁ GA1

=ae^−cGt

a= G−A₁ GA₁ ·e^cGt a≈4.095

A(t) = 20

1 + 81.897·e^−0.4t

(b) A(t₂) = G

1 +aGe^−cGt2 =A₂

G= 20 cm²,c= 0.02, a= 4.095, A₂ = 0.1 cm²; t₂ = ? A₂+A₂·aGe^−cGt =G

e^−cGt = G−A₂ A₂·aG

−cGt= lnG−A2

A₂·aG cGt= lnA2·aG G−A₂ t = 1

cG ·lnA₂·aG G−A₂ t ≈ −2.22 h

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Aufgabe 1.2

(a) • Die Existenz einer S¨attigungsgrenze: Mehr Menschen als in einer Population bzw. auf der Welt k¨onnen nicht angesteckt werden.

• Ein selbsthemmender Effekt: Die Zunahme der an Grippe Erkrankten bewirkt fr¨uher oder sp¨ater eine Abnahme der Anzahl der Neuifizierten.

(b) y(0) = G

1 +aG =y0

G= 100 000 Einwohner, y₀ = 100 Einwohner; a=?

G=y₀+y₀aG a= G−y₀

y₀G a= 0.0099

y(t1) = G

1 +aGe^−cGt1 =y1

G= 10⁵EW, a= 0.00999,t₁ = 1 Woche,y₁ = 250 EW; c=?

G=y1+y1aGe^−cGt1 G−y₁

y₁aG = e^−cGt1 lnG−y₁

y₁aG =−cGt₁ ln y₁aG

G−y₁ =cGt₁ c= 1

Gt₁ ln y1aG G−y₁ c≈9.178·10⁻⁶

y(5) = 10⁵

1 + 0.00999·10⁵e^{−9.178·10−6·105·5}

= 10⁵

1 + 999e^−4.589 ≈8966 Personen

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