Differenzialgleichungen (1) Lösungen+ Übungen Aufgabe 1.1 (a) N (30) = N (0) · e

(1)

Differenzialgleichungen (1) L¨osungen+ Ubungen¨

Aufgabe 1.1

(a) N(30) =N(0)·e^30α = 329 N(90) =N(0)·e^90α = 2684

N(90)

N(30) = e^90α

e^30α = 2684 329 e^60α = 2684/329 60α= ln(2684/329)

α= 0.03498

δ = ln 2/α= 19.81 Minunten

(b) N(300) =N(90)·e^α·210 = 4 162 322 Bakterien Aufgabe 1.2

Verdoppelungszeit: δ = ln 2/α ⇒ α= ln 2/δ N(t) = 10²·e^αt = 10²·e^{ln 2/δ·t}= 10⁶

e^{ln 2/δ·t}= 10⁴ ln 2/δ·t= 4 ln 10

t= 4δln 10

ln 2 = 130.2 Minuten

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Aufgabe 1.3 dP

dt = 1

5P − 1

5175P² = 1

5175P (1035−P) (t in Tagen) L¨osung der DGL mit c= 5175⁻¹ und G= 1035: (FTB, S. 67) P(t) = 1035

1 +a·1035e^−1/5·t P(0) = 1035

1 + 1035a·e⁰ = 10 ⇒ a= 41/414 ≈0.099 P(t) = 1035

1 + 102.5e^−0.2t

• 1 + 102.5e^−0.2t monoton fallend ⇒ P(t) monoton wachsend

• lim

t→∞P(t) = 1035

• P(12) = 100 Fruchtfliegen

• P(t) =G/2

1035

1 + 102.5e^−0.2t = 1035 2 102.5e^−0.2t= 1

−0.2t=−ln 102.5 t= 23.15 Tage P(23.15)≈518 Fruchtfliegen Aufgabe 1.4

N(t) = N₀·e^−λt (t in Jahren)

Nach einem Jahr (t= 1) ist noch 100%−2.3% = 97.7% der Masse vorhanden:

N₀·e^−λ·1 = 0.977N₀ e^−λ = 0.977

−λ= ln 0.977

λ=−ln 0.977≈0.0233 Halbwertszeit: t_1/2 = ln(2)/λ≈29.8 a

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Aufgabe 1.5

N(t) = N₀·e^−λt (t in Stunden) Halbwertszeit: t_0.5 = ln(2)/λ

λ= ln(2)/t_0.5 = 0.05567

(a) N(10) = 0.573 (57.3%) (b) N0·e^−λ·t= 0.95N0

e^−λt = 0.95

−λt= ln 0.95

t=−ln 0.95/λ≈0.921 h Aufgabe 1.6

Halbwertszeit: τ = log(2)/λ ⇒ λ= log(2)/τ N₀·e^−λ·t= 0.0001N₀

e^−λ·t= 0.0001

−λ·t= ln 0.0001

λt=−ln 0.0001 = ln 0.0001⁻¹ = ln 10 000 t= ln 10 000

λ = ln 10 000·τ

ln 2 ≈13.3τ (a) Strontium-90: 13.3·28 a = 372 a (b) Radium-226: 13.3·1620 a = 21 546 a

(c) Plutonium-239: 13.3·24 360 a = 323 988 a Aufgabe 1.7

dv =−λ·v·dt dv

dt =−λ·v

˙

v =−λ·v

Ansatz: v(t) =Ce^−λt

Kontrolle: ˙v(t) =−λCe^−λt =−v(t) (ok) Anfangswertproblem: v₀ =v(0) =C Insgesamt: v(t) =v0e^−λt

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Aufgabe 1.8 dI =−λ·I·dx dI

dx =−λ·I I˙=−λ·I

Ansatz: I(x) = Ce^−λx

Kontrolle: ˙I(x) =−λCe^−λx=−I(x) (ok) Anfangswertproblem: I₀ =I(0) =C

Insgesamt: I(x) = I₀e^−λx λ = 1.4 m⁻¹:

x I(x)/I₀ 1 m 24.66%

2 m 6.08%

3 m 1.50%

4 m 0.37%

λ = 2.0 m⁻¹: x I(x)/I₀ 1 m 13.53%

2 m 1.83%

3 m 0.25%

4 m 0.03%

Halbwertslänge: Wassertiefe, bei der das Licht 50% seiner Intensität (gegenüber der Was- seroberfläche) verloren hat.

x_0.5 = ln(2)/1.4 m⁻¹ = 0.4951 m x0.5 = ln(2)/2 m⁻¹ = 0.3466 m

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