Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Nichtlineare

Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades des Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) an der

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik

vorgelegt von Martin Saal

Tag der mündlichen Prüfung: 21. Juli 2014 Referenten:

Prof. Dr. Reinhard Racke (Universität Konstanz) Prof. Dr. Robert Denk (Universität Konstanz)

Danksagung

Während der Entstehung dieser Arbeit am Fachbereich Mathematik und Statistik in den ver- gangenen drei Jahren habe ich von vielen Seiten Unterstützung erhalten.

Ein großer Dank gebührt meinem Betreuer und Doktorvater Herr Prof. Dr. Reinhard Racke.

Von meinem ersten Studiensemester an hat er mich durch seine engagierte Lehre für die Mathe- matik begeistert und mich bereits auf dem Weg zum Diplom unterstützt. Nach meinem Abschluß gab er mir die Möglichkeit, in Konstanz als Assistent für ihn tätig zu sein und in diesem Rah- men mein Diplomthema in Form dieser Dissertation weiter zu vertiefen. Dabei wurden mir alle Freiheiten gelassen, meine eigenen Ideen zu verfolgen und ich konnte mich stets auf seine Hil- fe bei meinem bisherigen wissenschaftlichen Werdegang verlassen. Nicht zuletzt die angenehme persönliche Atmosphäre in der Zusammenarbeit haben die Zeit hier zu einer schönen Erfahrung gemacht.

Auch bei Prof. Dr. Robert Denk möchte ich mich für die gute Zusammenarbeit in den letz- ten Jahren und die Übernahme des Koreferats bedanken. Durch die vielen Gespräche hat auch er einen großen Beitrag am Gelingen dieser Arbeit und an meinem Entschluss, weiterhin wissen- schaftlich tätig zu sein.

Meine Kollegen und Freunde in der Arbeitsgruppe, Marco Ritter, Karin Borgmeyer, Dr. Mi- chael Pokojovy, Dr. Johannes Schnur, Dr. Tim Seger, Dr. Thilo Moseler, Dr. Mario Kaip, Dr.

Tobias Nau, Dr. Patrick Kurth, Max Nendel und Alexander Schöwe, haben mir nicht nur im- mer wieder bei mathematischen Problemen geholfen, sondern gemeinsam für ein Arbeitsklima gesorgt, in dem ich mich jederzeit wohl gefühlt habe.

Ebenso zu diesem Klima beigetragen hat Frau Gerda Baumann, wofür ich mich hier herzlich bedanken möchte.

Nicht zuletzt gilt mein Dank meinen Eltern Heike und Josef Saal, die mir das Studium ermöglicht haben und mich auch in der Zeit danach nach Kräften unterstützt haben.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 7

I Gewöhnliche Integro-Differentialgleichungen 13

I.1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für große Anfangswerte . . . 14

I.2 Monotonieresultate . . . 23

I.3 Lösungen mit endlicher Existenzzeit . . . 26

I.4 Globale Existenz und Langzeit-Verhalten für kleine Daten . . . 31

I.4.1 Exponentielle Stabilität . . . 31

I.4.2 Polynomiale Stabilität . . . 41

II Partielle Integro-Differentialgleichungen 49 II.1 Lokale Existenzsätze . . . 51

II.1.1 Semilineare Gleichung . . . 51

II.1.1.1 Lokale Existenz fürT = 0 . . . 54

II.1.1.2 Fortsetzbarkeit einer Lösung . . . 64

II.1.2 Quasilineare Gleichung . . . 68

II.1.2.1 Lokale Existenz fürT = 0 . . . 69

II.1.2.2 Fortsetzbarkeit einer Lösung . . . 80

II.2 Globale Existenzsätze . . . 94

II.2.1 Semilineare Gleichung . . . 94

II.2.1.1 Globale Lösbarkeit für große Daten . . . 94

II.2.1.2 Gedämpftes lineares System mit kleinen Daten . . . 98

II.2.1.3 Ungedämpftes lineares System im Ganzraum . . . 106

II.2.2 Quasilineare Gleichung . . . 119

II.2.2.1 Lineare Kernfunktionen . . . 119

II.2.2.2 Ungedämpftes lineares System . . . 122

A Fixpunktsätze 133

B Halbgruppentheorie 135

C Sobolevräume 137

D Ungleichungen 139

Einleitung

Im Zentrum dieser Arbeit stehen Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung in der Zeit, deren Integralanteil eine Nichtlinearität in Form einer Faltung

Zt 0

m(ϕ(t−s))g(ϕ(s)) ds (1)

ist, wobeim, g gegebene Funktionen sind undϕdie gesuchte Lösung ist. Es handelt sich hierbei um eine weitgehend unbehandelte Art der Nichtlinearität, da sich die bisherige Untersuchung nichtlinearer Integro-Differentialgleichungen auf die Fälle konzentriert, in denenm nicht vonϕ abhängt ([3],[15],[22]).

Die Motivation eine solche Nichtlinearität zu betrachten, ergibt sich aus der Theorie glasbildender Systeme im Bereich der Physik der weichen kondensierten Materie. Ein Zugang zur Beschreibung dieser Systeme ist die sogenannte Moden-Kopplungstheorie, wie sie in [13] ausführlich dargestellt wird. Ein zentrales Resultat dieser Theorie ist die Herleitung der Moden-Kopplungsgleichung

λϕ(t) + ˙¨ ϕ(t) +ϕ(t) +

t

Z

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ(s) ds= 0

über den Mori-Zwanzig Formalismus. Hierbei istλ >0konstant und die matrixwertige Funktion m wird durch die zugrunde liegenden physikalischen Eigenschaften des Systems festgelegt. Sie wird oft als Polynom zweiten Grades angenommen ([12],[17]), aber auch lineare Funktionen ([11]) oder Polynome und Monome von höherem Grad ([4]) können physikalisch sinnvoll sein.

Die Moden-Kopplungsgleichung ist ein System gewöhnlicher Integro-Differentialgleichungen für die Korrelationsfunktion ϕ, deren Komponenten über den Kern m gekoppelt sind. Diese Korre- lationsfunktion spiegelt die mikroskopische Dynamik des betrachteten physikalischen Systems in einem statistischen Mittel wieder.

In dieser Anwendung sind die Anfangswerte ϕ(0) = 1 und ϕ(0) = 0˙ gegeben und wesentlich ist die Betrachtung des Langzeitverhaltens von ϕ. Konvergiert der Korrelator gegen Null, so ver- bleibt das Fluid in der flüssigen Phase, andernfalls findet ein Glasübergang statt ([27]).

Fürλ= 0 ergibt sich eine alternative Moden-Kopplungsgleichung für die Korrelationsfunktion, zu der erste mathematische Ergebnisse in [14] bewiesen wurden. Dort wird insbesondere die a- priori bekannte Monotonie von Lösungen ausgenutzt, die wir jedoch nicht für λ > 0 erwarten können. Weitere Resultate, auch zu nicht monotonen Lösungen, für den Fallλ= 0finden sich in [18].

Neuere Erweiterungen des Moden-Kopplungsansatzes führen auf zusätzliche Abhängigkeiten des Integraden der Nichtlinearität von den Parametern tund ssowie auf komplexwertige Probleme

([2],[9]) und werfen daher die Frage auf, welche Methoden allgemein geeignet sind, um Gleichun- gen dieser Art zu behandeln. Ein Beispiel für diese Art Kern ist ein in [2] vorgestelltes System aus zwei Gleichungen mit

m(x, t−s) =

m^s_||(x1, x2, t−s) 0

0 m^s_⊥(x1, x2, t−s)

. Hierbei sind

m^s_||(x1, x2, t−s) = v₁^sx¯1+v²_sx2

1−ik_||F^ex Φ(t−s) und

m^s_⊥(x₁, x₂, t−s) = v₁^sx₂+v²_sRe(x₁)

1 + (k⊥F^ex)² Φ(t−s).

Die FunktionΦist dabei bekannt undv₁^s, v²_s, k_||, k⊥, F^ex sind Konstanten.

In [26] werden Ergebnisse zu der Moden-Kopplungsgleichung 2. Ordnung in R^d präsentiert. Es wird dort die lokale Wohlgestelltheit gezeigt und auch die globale Existenz von Lösunge bewiesen, wenn die Kernfunktion m maximal linear schnell wächst. Darüberhinaus wird durch Ausnutzen der Dämpfung des linearen Systems das Langzeitverhalten von Lösungen zu kleinen Daten ge- wonnen, wenn m(x) =O(x^α)mit α >1gilt.

Aufbauend hierauf werden wir Verallgemeinerungen der Moden-Kopplungsgleichung mit λ >0 betrachten, um zu untersuchen, welche grundsätzlichen Resultate bei einer Faltung von obiger Form möglich sind. Hierbei erweitern wir die obigen Ergebnisse auf C^d und allgemeine lineare Systeme. Darüberhinaus befassen wir uns auch mit dem Langzeitverhalten fürα = 1, was häufig von Seiten der Physik für mgegeben ist.

Ein Zurückgreifen auf die bekannten Ergebnisse zu Integro-Differentialgleichungen, wie sie in den oben genannten Quellen ([3],[15],[22]) zu finden sind, ist dabei nicht direkt möglich, da wir hierzu Informationen wie das Abklingverhalten oder das Vorzeichen der Ableitung von m(ϕ(t)) benötigen.

Ergebnisse zur Moden-Kopplungsgleichung zweiter Ordnung mit polynomialen Kernen werden in [16] aufgelistet und mit physikalischen Argumenten begründet. So ist zu erwarten, dass sich Lösungen durch den Anfangswertϕ(0)beschränken lassen, wenn dieser und die Koeffizienten des Polynoms positiv sind und ϕ(0) = 0˙ ist.

Auch für partielle Integro-Differentialgleichungen ist eine solche Nichtlinearität bisher kaum be- handelt worden. Wir werden hier als Modellgleichung eine Klein-Gordon-Gleichung mit entspre- chender Faltung,

λu_tt(t, x) +u(t, x)−∆u(t, x) +

t

Z

0

m(u(t−s, x))g(u_s(s, x)) ds= 0, u(0) =u₀,

u_t(0) =u₁, u|_∂Ω= 0,

(2)

betrachten.

Hintergrund für die Beschäftigung mit einer solchen Art von Gleichung ist, dass die Moden- Kopplungsgleichung durch die Fouriertransformation einer partiellen Differentialgleichung und anschließende physikalisch begründete Näherungsbildung entsteht. Daher kann das physikalische

System auch durch eine partielle Gleichung beschrieben werden, deren Modellierung Gegenstand aktueller Forschungen ist.

Die einzigen Resultate finden sich in [19] fürλ= 0und in [26]. In Letzterem wird zu einer solchen Gleichung mitλ >0 die lokale Wohlgestelltheit im Rahmen der L²-Theorie für den Ganzraum- fall mit einem Faedo-Galerkin Verfahren gezeigt. In dieser Arbeit werden wir dieses Ergebnis im Rahmen derL^p-Theorie zunächst mit anderen Methoden auf beschränkte Gebiete mit homoge- nen Dirichlet-, Neumann-, und Robin-Randbedingungen sowie allgemeinere lineare Operatoren erweitern. Anschließend nutzen wir die Struktur der Faltung aus, um globale Existenzsätze zu gewinnen.

Um Möglichkeiten aufzuzeigen, wie die zeitliche Glättung der Faltung ein Behandeln von hohen Ortsableitungen im Integralterm ermöglicht, werden wir die Nichtlinearität durch

Z t 0

m(u(t−s, x))∆g(u(s, x)) ds (3)

ersetzen und im Ganzraum die lokale Wohlgestelltheit fürp= 2 beweisen. Auch für diese Nicht- linearität erhalten wir die globale Existenz von Lösungen unter gewissen Forerdungen anm,g und die Daten.

In Kapitel I werden wir gewöhnliche Integro-Differentialgleichungen mit einem linearen Anteil zweiter Ordnung und der Nichtlinearität (1) betrachten. Wir transformieren sie auf ein System erster Ordnung

˙

x(t) =−Ax(t) +

t

Z

0

M(x(t−s))G(x(s)) ds+F(t), t≥0, (4)

x(0) =x₀ (5)

und beweisen zunächst die lokale Wohlgestelltheit unter der Annahme, dass m und g lokal Lipschitz-stetig sind für beliebigex0 ∈Cⁿ und stetigeF.

Wir nutzen dann dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass zu beliebigen Daten globale Lösungen exis- tieren, wenn die Funktionenmundg durch lineare Funktionen beschränkt sind. Diese Resultate können wir auch auf die Gleichung erster Ordnung übertragen.

Abgrenzend hierzu werden wir Beispiele dafür angeben, dass ohne eine solche Abschätzung an beide Funktionen keine globale Existenz erwartet werden kann. Dazu betrachten wir die Glei- chung

λϕ(t) + ˙¨ ϕ(t) +ϕ(t) + Z t

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ(s) ds= 0, ϕ(0) =ϕ₀,

˙

ϕ(0) =ϕ₁

und geben zu ε > 0 beliebig Funktionen m mit m(x) = O(|x|^1+ε) an, zu denen für genügend große Anfangswerte ein Blow-Up in endlicher Zeit entsteht.

Als Vorbereitung gehen wir auf Kriterien fürm und die Anfangswerte ein, die monoton fallende Lösungen garantieren. Die grundlegende Forderung ist, dassm(ϕ₀)<−1und ist undmmonoton wächst.

Die globale Existenz von Lösungen zu (4) und deren Konvergenz gegen 0 für kleinen Daten schließt das Kapitel ab. Hierbei betrachten wir wieder das System erster Ordnung und benö- tigen ein exponentiell stabiles lineares System, also eine Matrix deren Eigenwerte alle negative Realteile haben. Für G(x) = x und Funktionen M mit M(x) = O(x^α) erhalten wir im Fall α >1exponentiell stabile Lösungen und fürα= 1polynomial stabile Lösungen, wenn die Daten hinreichend klein sind.

In Kapitel II werden wir zunächst die partiellen Integro-Differentialgleichungen auf lokale Wohl- gestelltheit untersuchen.

In Gleichung (2) ersetzen wir dabei den ∆-Operator durch einen allgemeinen elliptischen Ope- rator L und führen eine Transformation auf ein System erster Ordnung durch, dass dann die Form

V_t(t) +AV(t) + Zt

0

m(V(t−s))g(V(s)) ds=F(t), t >0, V(0) = (v_1,0, v_2,0)

(6)

hat. Erzeugt der so entstehende Operator A : D(A) ⊂ W^1,p(Ω)×L^p(Ω) → W^1,p(Ω)×L^p(Ω) eine Halbgruppe, so können wir die Existenz von lokalen Lösungen mit Werten inD(A^k), wobei kp > d für die Einbettung W^k,p(Ω) ,→ C_b⁰(Ω) ist, nachweisen. Das Resultat umfasst dabei sowohl beschränkte wie auch unbeschränkte GebieteΩ⊂R^d und homogene Randwerte, die eine Anwendung der Theorie der elliptischen Regularität erlauben. Damit ist insbesondere die Wahl von Dirichlet-, Neumann- und Robin-Randbedingungen für glatte beschränkte Gebiete und den Halbraum möglich. Die Funktionen m und g müssen hinreichend oft stetig differenzierbar sein und die Kompatibilitätsbedingung m(V)g(W) ∈ D(A^k) für V, W ∈ D(A^k) erfüllen. Für den Ganzraumfall sowie für2p > dmit Dirichlet-Randbedingungen zeigen wir, dass diese Forderung bereits durch die Regularität der Funktionen mund g erfüllt ist.

Nach Ersetzen der Nichtlinearität in (2) durch (3) erhalten wir die Gleichung u_tt(t, x) +u(t, x)−∆u(t, x) +

Zt 0

m(u(t−s, x))∆g(u(s, x)) ds= 0 u(0) =u₀,

u_t(0) =u₁

(7)

und zeigen hierfür ebenfalls die lokale Wohlgestelltheit, aber beschränken uns dabei auf den Ganzraumfall und p= 2. Dazu definieren wir eine Folge von Lösungen zu einer geeigenten linea- risierten Version der Gleichung und zeigen die Konvergenz gegen eine Lösung des nichtlinearen Problems.

Anschließend werden wir uns mit der Frage beschäftigen, unter welchen zusätzlichen Forderun- gen die Fortsetzung der lokalen Lösung zu einer globalen Lösung möglich ist.

Als erstes Ergebnis bekommen wir für beide betrachteten Nichtlinearitäten globale Lösungen auch zu großen Daten, wenn die Funktionen mund g linear sind.

Die Annahme, dass die vonAerzeugte Halbgruppe zusätzlich noch exponentiell stabil ist, erlaubt

uns ein analoges Resultat zur Existenz und Asymptotik einer Lösung von (6) für kleine Daten wie bei der gewöhnlichen Gleichung.

Im Ganzraumfall werden wir durch ein Ausnutzen der Abklingeigenschaften in Form von L^p- L^q-Abschätzungen des linearen Anteils von (2) und (7) schließlich noch für diese ungedämpfte Gleichung die globale Existenz einer Lösung zeigen, wenn m = O(x^α) und g = O(x^β) sind, wobei sowohlα >1 wie auch β > 1 in Abhängigkeit von der Raumdimension ausreichend groß sein müssen. Hierbei werden wir die Beschränktheit dieser Lösung in L² und die polynomiale Konvergenz vonku(t)k_∞ gegen Null bekommen.

Im Anhang geben wir die von uns genutzten Notationen an und listen die benötigten Hilfssätze auf.

Gewöhnliche

Integro-Differentialgleichungen

Wir untersuchen in diesem Kapitel gewöhnliche Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung zum einen auf Wohlgestelltheit und zum anderen werden wir, wenn möglich, Eigenschaften der Lösung angeben.

Dabei gehen wir von dem System aus Integro-Differentialgleichungen λϕ(t) + ˙¨ ϕ(t) +ϕ(t) +

t

Z

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ(s) ds=f(t), t≥0, ϕ(0) =ϕ0,

˙

ϕ(0) =ϕ1

(I.1)

mitλ >0, m∈C⁰(C^d,C^d×d) und gegebenen Datenϕ0, ϕ1 und f aus.

Falls wir nicht die spezielle Struktur von Gleichung (I.1) benötigen, werden wir mit dem System erster Ordnung

˙

x(t) =−Ax(t) +

t

Z

0

M(x(t−s))G(x(s)) ds+F(t), t≥0, x(0) =x0

(I.2)

mit A ∈ C^n×n, M ∈ C⁰(Cⁿ,C^n×n), G ∈ C⁰(Cⁿ,Cⁿ) und Anfangswert x₀ ∈ Cⁿ sowie rechter SeiteF ∈C⁰([0,∞),Cⁿ) arbeiten.

Es stellt eine Verallgemeinerung von (I.1) dar, denn mittels der Transformation x(t) =

x₁(t) x2(t)

:=

ϕ(t)

˙ ϕ(t)

und den Definitionen

A:=

0 −id

1

λid ¹_λid

, wobeiiddie Einheitsmatrix inC^d×d bezeichnet, und

M(x(t−s)) :=−1 λ

0 0 0 m(x₁(t−s))

, G(x(s)) :=

x1(s) x₂(s)

sowieF(t) = (0, f(t))und x₀ := (ϕ₀, ϕ₁) kann (I.1) in die Form (I.2) gebracht werden.

Fassen wir die Faltung als Inhomogenität des linearen Systems auf, so können wir durch die Variation der Konstanten Formel das System (I.2) in die Integralgleichung

x(t) =e^−Atx0+e^−At

t

Z

0

e^As

s

Z

0

M(x(s−r))G(x(r)) drds+e^−At

t

Z

0

e^AsF(s) ds, t≥0 (I.3) überführen.

Für Lösungen von (I.3) giltx(0) =x0 und durch Differenzieren erhalten wir wiederum (I.2), also sind die beiden Systeme äquivalent und wir können die für unsere Methoden jeweils praktischere Formulierung verwenden.

I.1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für große Anfangswerte

In [26] wird die lokale Existenz einer Lösung von (I.1) mit g(x) = x zu beliebigen gegebenen ϕ₀, ϕ₁ ∈ R^d und stetigem f bewiesen, wenn m ∈ C¹(R^d,R^d×d) ist. Haben wir darüber hinaus eine Wachstumsschranke für den Integranden von der Form|m(x)y| ≤c(1 +|x|)|y|für einc >0 (x, y∈R^d beliebig), so existiert eine globale Lösung.

Die Beweise hierzu nutzen aus, dass das Problem semilinearen Charakter hat und dass die Nicht- linearität als Faltungsterm vorliegt, was es uns erlaubt, das Ergebnis auf das System (I.2) zu übertragen.

Wir werden zunächst zeigen, dass die Gleichung mit Anfangsgeschichte

˙

x(t) =−Ax(t) +

t

Z

0

M(x(t−s))G(x(s)) ds+F(t), T ≤t,

x(t) = Φ(t), 0≤t≤T

(I.4)

für T ≥ 0 und Φ ∈ C⁰([0, T],Cⁿ) beliebig lokal wohlgestellt ist. Hieraus folgt zum einen mit T = 0 und Φ(0) = x₀ die lokale Lösbarkeit von (I.2) und zum anderen erhalten wir direkt die Fortsetzbarkeit einer lokalen Lösungen zu (I.2), wenn sie in ihrem Existenzintervall beschränkt ist.

Theorem 1. Seien T ≥0, A∈C^n×n und M ∈C⁰(Cⁿ,C^n×n), G∈C⁰(Cⁿ,Cⁿ) lokal Lipschitz- stetig.

Dann existiert zu

Φ∈C⁰([0, T],Cⁿ) und F ∈C⁰([T,∞),Cⁿ)

ein∆T >0 mit∆T =c(1 +T)⁻¹, wobei c >0 unabhängig vonT ist, und eine eindeutige lokale Lösung

x∈C¹([T, T + ∆T],Cⁿ) von (I.4).

Beweis. Wir konstruieren eine Folge von Lösungen zu einer linearisierten Version von (I.4) und zeigen dann, dass diese Folge in einem Intervall[T, T+ ∆T]gleichmäßig beschränkt ist. Hiermit wird dann die Konvergenz gegen eine Lösung der nichtlinearen Gleichung bewiesen, wenn ∆T hinreichend klein ist.

Um eine geeignete Linearisierung zu erhalten, definieren wir zu einer Funktionh∈C⁰([T,∞),Cⁿ) die auf[0,∞) erweiterte Funktion

h_E(t) :=

(Φ(t), 0≤t < T, h(t), T ≤t.

Isth(T) = Φ(T), so gilt h_E ∈C⁰([0,∞),Cⁿ).

Wir setzenx⁽⁰⁾(t) := Φ(T) für t≥T und betrachten nun die Folge x^(l)

l⊂C¹([T,∞),Cⁿ), die durch

˙

x^(l)(t) =−Ax^(l)(t) +

t

Z

0

M

x^(l−1)_E (t−s)

G

x^(l−1)_E (s)

ds+F(t), t≥T, x^(l)(T) = Φ(T)

(I.5)

definiert wird.

Die Gleichung besitzt eine eindeutige Lösung in C¹([T,∞),Cⁿ), wenn der Faltungsterm eine Funktion inC⁰([T,∞),Cⁿ)darstellt, wozux^(l−1)_E ∈C⁰([0,∞),Cⁿ)hinreichend ist. Dies ist nach Wahl vonx⁽⁰⁾ fürl= 0 gegeben und folgt jetzt induktiv für allel∈N.

Ebenfalls induktiv zeigen wir nun, dass ein∆T >0existiert mit sup

t∈[T ,T+∆T]

x^(l)(t)

2≤2 sup

t∈[0,T]

|Φ(t)|²

| {z }

=:cΦ

+2|F(T)|². (I.6)

Erfülltx^(l−1) die Abschätzung, so gilt auch

x^(l−1)_E (t)

2 ≤2(c²_Φ+|F(T)|²). Damit erhalten wir

t

Z

0

M

x^(l−1)_E (t−s)

G

x^(l−1)_E (s)

ds

≤t sup

|x|²,|y|²≤2(c²_Φ+|F(T)|²)

|M(x)| |G(y)|=:tcM G.

Wir schränken∆T >0 so ein, dass sup

t∈[T+∆T]

|F(t)| ≤2|F(T)|

gilt.

Multiplikation von (I.5) mitx¯^(l)(t)liefert mit c_A:= sup

x∈Cⁿ,|x|=1

|Ax| ≥0für T ≤t≤T + ∆T 1

2 d dt

x^(l)(t)

2 ≤c_A x^(l)(t)

2

+tc_{M G} x^(l)(t)

+|F(t)|

x^(l)(t)

≤

c_A+1 2

x^(l)(t)

2

+1 2t

c²_{M G}+

x^(l)(t)

2 +1

2|F(t)|²

≤

cA+1 2 +1

2(T + ∆T)

x^(l)(t)

2

+1

2(T + ∆T)c²_{M G}+ 2|F(T)|².

Integration von T bis tergibt

x^(l)(t)

2 ≤ x^(l)(T)

2

+ (2cA+ 1 + (T + ∆T))

t

Z

T

x^(l)(s)

2

ds +

(T+ ∆T)c²_{M G}+ 4|F(T)|²

(t−T)

≤ |Φ(T)|²+ (2c_A+ 1 + (T + ∆T))

t

Z

T

x^(l)(s)

2

ds+

(T+ ∆T)c²_{M G}+ 4|F(T)|²

∆T.

Aus Lemma 96 folgt jetzt

x^(l)(t)

2 ≤

|Φ(T)|²+

(T+ ∆T)c²_{M G}+ 4|F(T)|²

∆T

e^{(2cA+1+(T+∆T))∆T}.

Wir nehmen nun ∆T = δ(1 +T)⁻¹ mit einer Konstanten δ > 0 an und zeigen, dass durch passende Wahl vonδ die Ungleichung (I.6) gilt.

Zum einen ist hiermit∆T ≤δ und zum anderen (T+ ∆T)∆T =

T+ δ 1 +T

δ

1 +T ≤(T+δ) δ 1 +T =δ

T

1 +T + δ 1 +T

≤(1 +δ)δ.

Dies liefert x^(l)(t)

2 ≤

|Φ(T)|²+

(1 +δ)c²_{M G}+ 4|F(T)|² δ

e^{(2cA+1)(1+δ)δ}

und wählen wir nun δ hinreichend klein, so ist (I.6) erfüllt. δ hängt damit nur von c_A, F und Φ ab und ist unabhängig vonT.

Um die Konvergenz zu erhalten, betrachten wir die Funktionw^(l) :=x^(l)−x^(l−1). Fürl ≥2 ist damit

˙

w^(l)(t) =−Aw^(l)(t) +

t

Z

0

M

x^(l−1)_E (t−s) G

x^(l−1)_E (s)

−M

x^(l−2)_E (t−s) G

x^(l−2)_E (s)

ds, t≥T, w^(l)(T) =0

und Multiplikation mitw¯^(l)(t) führt zu d

dt w^(l)(t)

2

≤(2c_A+ 1) w^(l)(t)

2

+ Zt 0

M

x^(l−1)_E (t−s) G

x^(l−1)_E (s)

−M

x^(l−2)_E (t−s) G

x^(l−2)_E (s) ds

2

. (I.7)

Wegen der gleichmäßigen Beschränktheit der Folge und der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von M sowieGexistiert eine Konstante Lmit

G

x^(l−1)_E (s)

−G

x^(l−2)_E (s)

≤L

x^(l−1)_E (s)−x^(l−2)_E (s)

und M

x^(l−1)_E (t−s)

−M

x^(l−2)_E (t−s) ≤L

x^(l−1)_E (t−s)−x^(l−2)_E (t−s) , daher folgt

t

Z

0

M

x^(l−1)_E (t−s) G

x^(l−1)_E (s)

−M

x^(l−2)_E (t−s) G

x^(l−2)_E (s) ds

≤

t

Z

0

M

x^(l−1)_E (t−s)

−M

x^(l−2)_E (t−s)

G

x^(l−1)_E (s)

ds +

t

Z

0

G

x^(l−1)_E (s)

−G

x^(l−2)_E (s) M

x^(l−2)_E (t−s) ds

≤2Lc_{M G} Zt

0

x^(l−1)_E (s)−x^(l−2)_E (s) ds

= 2LcM G t

Z

T

w^(l−1)(s) ds

≤2Lc_{M G}∆T sup

t∈[T,T+∆T]

w^(l−1)(s) . Einsetzen in (I.7) und Integration vonT bis tergibt

w^(l)(t)

2 ≤(2cA+ 1)

t

Z

0

w^(l)(s)

2

ds+ ∆T(2LcM G∆T)² sup

t∈[T ,T+∆T]

w^(l−1)(s)

2

, was mit Lemma 96

w^(l)(t)

2

≤(2Lc_{M G}∆T)²∆T e^{(2cA+1)(t−T)} sup

t∈[T ,T+∆T]

w^(l−1)(s)

2

liefert. Aus dieser Ungleichung folgt sup

t∈[T ,T+∆T]

w^(l)(t)

2 ≤

(2Lc_{M G}∆T)²∆T e^{(2cA+1)(t−T)}l

sup

t∈[T ,T+∆T]

w⁽¹⁾(s)

2

≤

(2Lc_{M G}δ)²δe^(2cA+1)δl

sup

t∈[T ,T+∆T]

w⁽¹⁾(s)

2

und wählen wirδ zusätzlich zu unseren bisherigen Einschränkungen klein genug, dass zu einem c_δ∈(0,1)beliebig

(2LcM Gδ)²δe^(2cA+1)δ≤c_δ gilt, so bekommen wir füri > j >1

sup

t∈[T ,T+∆T]

x⁽ⁱ⁾(t)−x^(j)(t) ≤

i

X

l=j+1

sup

t∈[T,T+∆T]

x^(l)(t)−x^(l−1)(t) ≤

i

X

l=j+1

c^l_δ sup

t∈[T ,T+∆T]

w⁽¹⁾(s)

2

−→0 (i, j→ ∞).

Daher konvergiert die Folge gegen ein x∈C⁰([T, T+ ∆T],Cⁿ) und aus

sup

t∈[T,T+∆T]

t

Z

0

M

x⁽ⁱ⁾_E (t−s) G

x⁽ⁱ⁾_E (s)

−M

x^(j)_E (t−s) G

x^(j)_E (s) ds

≤

i

X

l=j+1

t

Z

0

M

x^(l)_E (t−s) G

x^(l)_E (s)

−M

x^(l−1)_E (t−s) G

x^(l−1)_E (s) ds

≤2Lc_{M G}∆T

i

X

l=j+1

sup

t∈[T ,T+∆T]

w^(l)(s)

−→0 (i, j→ ∞)

erhalten wir die Konvergenz der Faltung und auch der Ableitung, da sup

t∈[T ,T+∆T]

x˙⁽ⁱ⁾(t)−x˙^(j)(t)

≤c_A sup

t∈[T ,T+∆T]

x⁽ⁱ⁾(t)−x^(j)(t)

+ sup

t∈[T ,T+∆T]

t

Z

0

M

x⁽ⁱ⁾_E (t−s) G

x⁽ⁱ⁾_E (s)

−M

x^(j)_E (t−s) G

x^(j)_E (s) ds

gilt. Somit istx∈C¹([T, T + ∆T],Cⁿ) und erfüllt (I.4).

Um die Eindeutigkeit einer Lösung zu zeigen, seienx, y Lösungen undw:=x−y.

Analog zur vorherigen Rechnung ist dann d

dt|w(t)|²≤2c_A|w(t)|²+

t

Z

0

M(x_E(t−s))G(x_E(s))−M(y_E(t−s))G(y_E(s)) ds

|w(t)|

≤2cA|w(t)|²+ 2LcM G t

Z

T

|w(s)|ds|w(t)|.

Integration von T bis tergibt mit w(T) = 0

|w(t)|² ≤2c_A

t

Z

T

|w(s)|² ds+ 2Lc_{M G}

t

Z

T s

Z

T

|w(r)| |w(s)|drds

≤2c_A

t

Z

T

|w(s)|² ds+Lc_{M G}

t

Z

T s

Z

T

|w(r)|²+|w(s)|² drds

≤(2c_A+Lc_{M G}∆T)

t

Z

T

|w(s)|² ds,

woraus w≡0mit dem Lemma 96 folgt.

Die Existenzzeit einer lokalen Lösung hängt zwar nach diesem Satz von dem Startzeitpunkt T ab, wir erhalten aber trotzdem, dass eine gleichmäßige a-priori Schranke für die Lösung zur Fortsetzung ausreicht.

Lemma 2. Seien die Voraussetzungen von Satz 1 erfüllt und x ∈ C¹([T, T + ∆T],Cⁿ) die demnach existierende lokale Lösung zu (I.4).

Dann kannx eindeutig zu einer Lösung

x∈C¹([T, T + ∆T+δ],Cⁿ) für einδ >0 fortgesetzt werden.

Ist C >0 eine Konstante mit

|x(t)| ≤C (I.8)

fürt∈ [T, T + ∆T], so existiert die Fortsetzung mindestens in dem Intervall [T, T(C)], in dem (I.8) gilt.

Beweis. Zu einer Lösung x∈C¹([T, T + ∆T],Cⁿ) von (I.4) betrachten wir die Gleichung

˙

y(t) =−Ay(t) +

t

Z

0

M(y(t−s))G(y(s)) ds+F(t), T+ ∆T ≤t,

y(t) =x(t), 0≤t≤T + ∆T

mitx(t) = Φ(t) in[0, T].

Nach Theorem 1 existiert hierzu einδ=c0(1 +T+ ∆T)⁻¹>0, wobeic0 von C, nicht aber von xoder T, abhängt, und eine Lösungy∈C¹([T + ∆T, T + ∆T+δ],Cⁿ).

Daxeine Lösung in [T, T+ ∆T]ist, gilt

˙

x(T + ∆T) =−Ax(T+ ∆T) +

T+∆T

Z

0

M(x(T + ∆T−s))G(x(s)) ds+F(T + ∆T)

=−Ay(T+ ∆T) +

T+∆T

Z

0

M(y(T+ ∆T −s))G(y(s)) ds+F(T+ ∆T)

= ˙y(T+ ∆T) und damit ist

˜ x(t) =

(x(t), T ≤T + ∆T,

y(t), T+ ∆T < t≤T+ ∆T+δ

stetig differenzierbar in[T, T+ ∆T +δ]und dort eine Lösung zu (I.4). Die Eindeutigkeit dieser Fortsetzung folgt wie im Beweis von Theorem 1.

Ist nun die Abschätzung (I.8) in einem Intervall [T, T(C)] erfüllt, so können wir die Lösung sukzessiv auf Intervalle[T, T_n]mit

T_n:=T+

n

X

i=1

δ_i, δ_i =c₀(1 +Ti−1)⁻¹

und T₀ := T fortsetzen, solange Tn−1 ≤ T(C) ist. Die Konstante c₀ hängt hierbei von C aus (I.8), aber nicht vonT_n oderx, ab.

Es gilt δn≥c0(1 +T(C))⁻¹ für alle nund damit

T_n≥c₀(1 +T(C))⁻¹n.

Also gibt es ein kleinstes n0 mit Tn0 ≥ T(C) und wir können die Lösung bis zu diesem Tn0

fortsetzen.

Mit diesem Fortsetzungsresultat können wir für Funktionen M und G, die durch eine linear wachsende Funktion beschränkt sind, die Existenz einer globalen Lösung zu beliebigen Daten nachweisen.

Theorem 3. Seien A ∈ C^n×n und M ∈ C⁰(Cⁿ,C^n×n), G ∈ C⁰(Cⁿ,Cⁿ) lokal Lipschitz-stetig mit

|M(x)G(y)| ≤c(1 +|x|+|y|+|x| |y|) für ein c >0 und allex, y∈Cⁿ.

Dann existiert zux0 ∈CⁿundF ∈C⁰([0,∞),Cⁿ)beliebig eine globale Lösungx∈C¹([0,∞),Cⁿ) von (I.2).

Beweis. Wir werden zeigen, dass eine Lösung x∈C¹([0, T],Cⁿ) von (I.2) zu T >0 beliebig im Intervall[0,2T]beschränkt ist und somit nach Lemma 2 fortgesetzt werden kann. Iterativ liefert dies die Beschränktheit in [0,2^NT] (N ∈ N) und da aus Theorem 1 die Existenz einer lokalen Lösung folgt, existiert eine globale Lösung.

Mitc_T bezeichnen wir die Supremums-Norm der lokalen Lösung in[0, T], c_T := sup

t∈[0,T]

|x(t)|.

Multiplikation von (I.2) mit x(t)¯ ergibt mit c_A:= sup_x∈Cn,|x|=1|Ax|für T ≤t≤2T

1 2

d

dt|x(t)|² ≤cA|x(t)|²+|x(t)|

t

Z

0

|M(x(t−s))G(x(s))|ds+|x(t)| |F(t)|

≤c_A|x(t)|²+c|x(t)|

t

Z

0

1 +|x(t−s)|+|x(s)|+|x(t−s)| |x(s)|ds+|x(t)| |F(t)|

≤

c_A+1 2

|x(t)|²+c|x(t)|

t

Z

0

1 + 2|x(s)|+|x(t−s)| |x(s)|ds+1

2|F(t)|².

Durch Aufteilen des Integrals bekommen wir wegent≤2T

t

Z

0

|x(t−s)| |x(s)|ds=

T

Z

0

|x(t−s)| |x(s)|ds+

t

Z

T

|x(t−s)| |x(s)|ds

≤cT T

Z

0

|x(t−s)|ds+cT t

Z

T

|x(s)|ds

≤2cT t

Z

0

|x(s)|ds.

Einsetzen dieser Abschätzung und Integration führt nun zu 1

2|x(t)|²≤ 1

2|x₀|²+

c_A+1 2

Z^t

0

|x(s)|² ds+1 2

t

Z

0

|F(s)|² ds

+c

t

Z

0 s

Z

0

|x(s)|+ 2(1 +cT)|x(s)| |x(r)|drds

≤ 1

2|x₀|²+

c_A+1 2

Z^t

0

|x(s)|² ds+1 2

t

Z

0

|F(s)|² ds

+c

t

Z

0 s

Z

0

1

2(1 +|x(s)|²) + (1 +c_T)(|x(s)|²+|x(r)|²) drds

≤ 1

2|x₀|²+

cA+1 2

Z^t

0

|x(s)|² ds+1 2

t

Z

0

|F(s)|² ds

+c 4t²+c

t

Z

0

1

2s|x(s)|²+ (1 +c_T)s|x(s)|² ds+c

t

Z

0 t

Z

0

(1 +c_T)|x(r)|² drds

≤ 1

2|x₀|²+

c_A+1 2 +5

2t+ 2c_Tt Z^t

0

|x(s)|² ds+ 1 2

t

Z

0

|F(s)|² ds+c 4t²

≤ 1

2|x₀|²+

cA+1

2 + 5T + 4cTT Z^t

0

|x(s)|² ds+1 2

2T

Z

0

|F(s)|² ds+cT²,

woraus mit Lemma 96 die gleichmäßige Beschränktheit vonx in[T,2T]folgt.

Beispiel 4 (lineare Funktionen).

Sind

m(x) =

d

X

i=1

C_ix_i, g(x) =x

mit Matrizen C_i ∈ C^d×d, so existiert nach Theorem 3 zu ϕ₀, ϕ₁ ∈ C^d und f ∈ C⁰([0,∞),C^d) beliebig eine globale Lösung zu (I.1).

Beispiel 5 (Gleichung erster Ordnung).

Wir können unsere Resultate auch auf die in [18] behandelte Gleichung

˙

ϕ(t) +ϕ(t) + Zt

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ(s) ds=f(t), t≥0, ϕ(0) =ϕ₀

(I.9)

anwenden, wenn die Funktionen m und f differenzierbar sind. Durch Ableiten erhalten wir die Gleichung zweiter Ordnung

¨

ϕ(t) + (id +m(ϕ0)) ˙ϕ(t) +

t

Z

0

m⁰(ϕ(t−s)) ˙ϕ(t−s) ˙ϕ(s) ds= ˙f(t), t≥0, ϕ(0) =ϕ0,

˙

ϕ(0) =−ϕ(0) +f(0),

die wir mitx= (ϕ,ϕ)˙ wieder auf ein System erster Ordnung

˙

x(t) =−

0 −id 0 id +m(ϕ₀)

x(t)−

t

Z

0

0 0

0 m⁰(x₁(t−s))x₂(t−x)

| {z }

=−Mb (x(t−s))

x1(s) x₂(s)

| {z }

=G(x(s))b

ds+ 0

f˙(t)

x(0) =

ϕ0

−ϕ₀+f(0)

bringen können. Im Gegensatz zu (I.9) tritt hier keine Ableitung mehr im Faltungsterm auf, dieses System hat nun die Form (I.2).

Ist m differenzierbar und m⁰ lokal Lipschitz-stetig, so existiert nach Theorem 1 für alleϕ₀ ∈C^d und f ∈C¹([0,∞),C^d) eine eindeutige lokale Lösung ϕ∈C²([0, T],C^d) von (I.9).

Ist außerdemm⁰ beschränkt, gilt alsom⁰ ∈C_b⁰(C^d,C^d×d), so existiert nach Theorem 3 eine globale Lösung. Die Beschränktheit von m⁰ ist äquivalent dazu, dass m durch eine linear wachsende Funktion beschränkt ist. Dies erweitert das Ergebnis aus [18] zur globalen Existenz von Lösungen zu beliebigen Daten, dort wird die Beschränktheit von m gefordert.

Wir zeigen nun noch, dass wir die schwächste polynomiale Wachstumsschranke gefunden haben, unter der wir zu beliebigen Daten globale Lösungen erhalten.

Wenn wir in [18, Theorem 7] die Funktion F(x) =x+x|x|^ε−2 mitε >0 beliebig wählen, ist F(x) =x+x|x|^ε−2≤x−1

fürx <1 erfüllt und es gilt

−1

Z

−∞

F⁰(x)√

−x (−F(x))³² dx=

−1

Z

−∞

(1 + (1 +ε)|x|^ε)p

|x|

(2 +|x|+|x|^1+ε)³² dx

≤

−1

Z

−∞

(1 +|x|^ε)p

|x|

(|x|+|x|^1+ε)³² dx

=

−1

Z

−∞

1

|x|p

1 +|x|^εdx

≤

−1

Z

−∞

1

|x|^1+ε/2 dx

<∞.

Also existiert zu ϕ₀ = 1,f = 0 und m(x) =F(x) keine globale Lösung von (I.9).

Wir werden in Abschnitt I.3 mit anderen Methoden als in [18] auch für die Gleichung zweiter Ordnung ein solches Ergebnis herleiten.

Bemerkung 6. Auch für FunktionenM und G, die zusätzlich stetig von den Parameternt und sabhängen, gelten die Aussage von Theorem 1 und Theorem 3.

Beispiel 7. Die in [11] angegebenen Funktionenm^s_||, m^s_⊥:C²×[0,∞)→C erfüllen die notwen- dige Abschätzung, sie lauten

m^s_||(x1, x2, t−s) = v^s₁x¯1+v_s²x2

1−ik_||F^ex Φ(t−s) und

m^s_⊥(x1, x2, t−s) = v^s₁x2+v_s²Re(x1)

1 + (k⊥F^ex)² Φ(t−s)

mit einer bekannten Funktion Φ und Konstanten v₁^s, v_s², F^ex, k||, k⊥. In unserer Schreibweise ist dann

M(x, t−s) =

m^s_||(x1, x2, t−s) 0

0 m^s_⊥(x₁, x₂, t−s)

und G(x) =x.

I.2 Monotonieresultate

Wir betrachten zum∈C¹(R^d,R),ϕ0, ϕ1 ∈R^dundf ∈C⁰([0,∞),R^d)im Folgenden das System gekoppelter Integro-Differentialgleichungen

λϕ¨_k(t) + ˙ϕ_k(t) +ϕ_k(t) +

t

Z

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ_k(s) ds=f_k(t) (1≤k≤d), ϕ(0) =ϕ₀,

˙

ϕ(0) =ϕ₁.

(I.10)

Die Gleichungen für die Komponenten vonϕsind hier übermgekoppelt, es handelt sich um eine in der Anwendung häufig vorkommende Form des Integro-Differentialgleichungssystems (I.1).

Partielle Integration führt für 1≤k≤dundm0:=m(ϕ(0)) zu

λϕ¨_k(t) + ˙ϕ_k(t) +ϕ_k(t) +m₀ϕ_k(t)−m(ϕ(t))ϕ_0k+

t

Z

0

ϕ_k(s)(∇m)(ϕ(t−s)) ˙ϕ(t−s) ds=f_k(t).

Es gilt

(∇m)(ϕ(t−s)) ˙ϕ(t−s) =

d

X

l=1

∂lm(ϕ(t−s)) ˙ϕl(t−s) sowie

m(ϕ(t))ϕ_0k =m0ϕ_0k+ϕ_0k

t

Z

0 d

X

l=1

∂_lm(ϕ(t−s)) ˙ϕ_l(t−s) ds und daher ist (I.10) äquivalent zu

λϕ¨_k(t) + ˙ϕ_k(t) +ϕ_k(t) +m₀(ϕ_k(t)−ϕ_0k) +

d

X

l=1 t

Z

0

(ϕ_k(s)−ϕ_0k)∂_lm(ϕ(t−s)) ˙ϕ_l(t−s) ds=f_k(t), ϕ(0) =ϕ₀,

˙

ϕ(0) =ϕ₁.

(I.11)

Dieses umgeformte Gleichungssystem erlaubt es uns nun, a-priori Aussagen über das Mo- notonieverhalten der Komponenten einer Lösung zu beweisen, wenn die Funktion m monoton wachsend ist und m₀ <−1ist.

Theorem 8. Seien m ∈ C¹(R^d,R), ϕ₀, ϕ₁ ∈ R^d, f ∈ C⁰([0,∞),R^d) und ϕ die lokale Lösung von (I.10) zu diesen Daten. Gilt

ϕ_0k≥0, ϕ_1k≤0 und f_k≤0 (1≤k≤d) sowie

m(ϕ₀)<−1 und ∂_lm(x)≥0 fürx_k≤ϕ_0k (1≤k, l≤d),

so ist jede Komponenteϕ_k der lokalen Lösung ϕvon (I.10) in ihrem Existenzintervall monoton fallend.

Beweis. Sei zunächst1≤k≤dbeliebig. Für den Fallϕ˙k(t) = 0für allet, also fürϕ0k=ϕ1k= 0 und f_k≡0, ist die Behauptung klar.

Ansonsten gilt entweder ϕ_1k = ˙ϕ_k(0)<0 oder ϕ˙_k(0) = 0 undλϕ¨_k(0) =−ϕ_k(0) +f_k(0)<0, es existiert also ein t^k₀ >0 mit ϕ˙_k(t)<0für t∈(0, t^k₀).

Angenommen,ϕist nicht in jeder Komponente monoton fallend. Dann gibt es ein kleinstest1 >0 mitϕ˙_l(t)≤0(0≤t≤t₁,1≤l≤d) sowie eine Komponenteϕ_kfür dieϕ˙_k(t₁) = 0undϕ¨_k(t₁)≥0

ist.

Umstellen von (I.11) nachϕ˙_k(t₁)ergibt

˙

ϕ_k(t₁) =f_k(t₁)−λϕ¨_k(t₁)−(1 +m₀)ϕ_k(t₁) +m₀ϕ_0k

−

d

X

l=1 t1

Z

0

(ϕ_k(s)−ϕ_0k)∂_lm(ϕ(t₁−s)) ˙ϕ_l(t₁−s) ds

≤ −(1 +m₀)ϕ_k(t₁) +m₀ϕ_0k−

d

X

l=1 t1

Z

0

(ϕ_k(s)−ϕ_0k)∂_lm(ϕ(t₁−s)) ˙ϕ_l(t₁−s) ds.

(I.12)

In(0, t₁)istϕ˙_k(t)≤0und nicht konstant, da(0, t^k₀)⊂(0, t₁)ist. Dies liefert unsϕ_k(t₁)−ϕ_0k<0 und es folgt fürϕk(t1)≥0

−(1 +m₀)ϕ_k(t₁) +m₀ϕ_0k=−ϕ_k(t₁)−m₀(ϕ_k(t₁)−ϕ_0k)<0.

Wegen1 +m₀≤0 haben wir fürϕ_k(t₁)<0 ebenfalls

−(1 +m0)ϕ_k(t1) +m0ϕ_0k <0.

Außerdem gilt∂_lm(ϕ(t₁−s))≥0 und daher

d

X

l=1 t1

Z

0

(ϕ_k(s)−ϕ_0k)∂_lm(ϕ(t₁−s)) ˙ϕ_l(t₁−s) ds≥0.

Einsetzen in (I.12) führt nun zu

˙

ϕk(t1)<0,

was im Widerspruch zuϕ˙_k(t₁) = 0steht, die Funktion ϕist also in jeder Komponente monoton fallend.

Durch Differenzieren der Integro-Differentialgleichung können wir auch die Monotonie der Ableitungskomponenten folgern, wenn zusätzlich die Summe der Anfangswerteϕ₀+ϕ₁ nur po- sitive Einträge besitzt.

Lemma 9. Gilt zusätzlich zu den Voraussetzungen von Theorem 8 noch f ∈C¹([0,∞),R^d) ϕ_0k+ϕ_1k>0 und f˙_k(t)≤0 (1≤k≤d),

so ist auch ϕ˙_k monoton fallend für 1≤k≤d.

Beweis. Es gilt λϕ¨_k(0) =−ϕ_0k−ϕ_1k<0. Differenzieren von (I.10) liefert für1≤k≤d λ...

ϕ_k(t) + ¨ϕ_k(t) + (1 +m₀) ˙ϕ_k(t) +

t

Z

0 d

X

l=1

∂_lm(ϕ(t−s)) ˙ϕ_l(t−s) ˙ϕ_k(s) ds= ˙f_k(t).

Angenommen es existiert eint >0mit ϕ¨k(t) = 0und ...

ϕk(t)≥0. Seit0 das kleinste tmit dieser Eigenschaft. Dann sind wegen der Monotonie der ϕ_k die Ableitungen ϕ˙_k ≤ 0 (1 ≤ k≤ d) und somit

λ...

ϕ_k(t0) + ¨ϕ_k(t0) =−(1 +m0) ˙ϕ_k(t0)−

t0

Z

0 d

X

l=1

∂_lm(ϕ(t0−s)) ˙ϕ_l(t0−s) ˙ϕ_k(s) ds+ ˙f_k(t0)<0, was im Widerspruch zu0≥λ...

ϕ_k(t₀) + ¨ϕ_k(t₀) steht. Also mussϕ¨_k(t)≤0 für alletgelten.

Bemerkung 10. Unter den Voraussetzungen von Lemma 9 ist die Funktionϕ˙_k monoton fallend und wegen ϕ_0k+ϕ_1k >0 ist insbesondere der Fall ϕ˙_k(t) = 0 für allet ausgeschlossen. Wie im Beweis von Theorem 8 existiert also ein t^k₀ ≥0 mit ϕ˙k(t^k₀) <0. Daher ist ϕk nicht nach unten beschränkt, denn es gilt für t≥t^k₀

ϕ_k(t) =ϕ_k(t^k₀) +

t

Z

t^k₀

˙

ϕ_k(s) ds≤ϕ_k(t^k₀) + (t−t^k₀) ˙ϕ_k(t^k₀)→ −∞ (t→T^∗)

für ein T^∗∈(0,∞].

Wenn|m(x)| ≤c(1+|x|)für einc >0erfüllt ist, existiert nach Theorem 3 eine globale Lösung.

Sind nun die Voraussetzungen von Theorem 8 erfüllt, so genügt es, wenn die Ungleichung nur im Bereich der möglichen Werte gilt. In diesem Fall ist also T^∗=∞.

Korollar 11. Seien m∈C¹(R^d,R), ϕ0, ϕ1 ∈R^d, f ∈C⁰([0,∞),R^d). Gilt ϕ_0k≥0, ϕ_1k≤0 und f_k≤0 (1≤k≤d) sowie

m(ϕ(0))<−1, ∂_lm(x)≥0 und |m(x)| ≤c(1 +|x|) (x_k≤ϕ_0k, 1≤k, l≤d) für ein c >0, so existiert eine globale Lösung von (I.10).

Beweis. Wir ersetzen die Funktion m in (I.10) durch eine Funktion m˜ mit m(x) =˜ m(x) für x_k ≤ ϕ_0k (1 ≤ k ≤ d) und stetig differenzierbar sowie beschränkt auf x_k > ϕ_0k (1 ≤ k ≤ d) fortgesetzt.

Zu diesemm˜ existiert nach Theorem 3 eine globale Lösungϕvon (I.10). Da die Voraussetzungen von Theorem 8 erfüllt sind, ist ϕ monoton fallend und nimmt dementsprechend nur Werte im Gebiet {x∈R^d|x_k≤ϕ_0k,1≤k≤d}an.

Also istm(ϕ(t)) =˜ m(ϕ(t))für alletund somit istϕeine Lösung von (I.10) mit der ursprüngli- chen Funktion m.

I.3 Lösungen mit endlicher Existenzzeit

Wir werden nun zeigen, dass ohne eine Abschätzung der Form|m(x)| ≤c(1+|x|)im Allgemeinen keine globale Lösbarkeit für beliebige Daten von (I.10) erwartet werden kann.

Hierzu betrachten wir zum∈C¹(R^d,R),ϕ0, ϕ1∈R^d undf ∈C¹([0,∞),R^d)wieder das System (I.10) gekoppelter Integro-Differentialgleichungen

λϕ¨_k(t) + ˙ϕ_k(t) +ϕ_k(t) +

t

Z

0

m(ϕ(t−s)) ˙ϕ_k(s) ds=f_k(t) (1≤k≤d), ϕ(0) =ϕ0,

˙

ϕ(0) =ϕ₁.

Für monotone Lösungen, also unter den Voraussetzungen von Lemma 9, leiten wir eine Abschät- zung her, aus der die Existenz eines Blow-Ups zu gewissen Funktionen m folgt.

Lemma 12. Seien m ∈ C¹(R^d,R), ϕ₀, ϕ₁ ∈R^d, f ∈ C¹([0,∞),R^d) und ϕ die lokalen Lösung von (I.10) zu diesen Daten. Gilt

ϕ_0k ≥0, ϕ_1k ≤0, ϕ_0k+ϕ_1k>0 und f_k≤0,f˙_k≤0 (1≤k≤d) sowie

m(ϕ₀)<−1 und ∂_lm(x)≥0 (x_k≤ϕ_0k1≤k, l ≤d), so existiert für jedesc >0 eint₀ >0 mitϕ_k(t₀)≤ −c (1≤k≤d) und

(t−t0+λ)|ϕ_k(t)| ≥λc+|ϕ_1k|

t

Z

t0

s

Z

0 r

Z

0

|1 +m(ϕ(v))|dvdrds. (I.13)

Beweis. Da die Voraussetzungen von Lemma 9 erfüllt sind, sindϕk undϕ˙kmonoton fallend und nach Bemerkung 10 existiert für jedesc >0ein t0 mit

ϕk(t0)≤ −c− 1

2λϕ0k. (I.14)

Setzen wirϕ_k(t) =ϕ_0k+

t

R

0

˙

ϕ_k(s) dsin (I.10) ein, erhalten wir

λϕ¨_k(t) + ˙ϕ_k(t) +ϕ_0k+

t

Z

0

(1 +m(ϕ(t−s))) ˙ϕ_k(s) ds=f_k(t).

Integration liefert

λϕ˙_k(t)−λϕ_1k+ϕ_k(t)−ϕ_0k+tϕ_0k+

t

Z

0 s

Z

0

(1 +m(ϕ(s−r))) ˙ϕ_k(r) drds=

t

Z

0

f_k(s) ds und wegenf_k(t)≤0sowieϕ_1k ≤0folgt

λϕ˙_k(t) +ϕ_k(t) =λϕ_1k+ϕ_0k(1−t) +

t

Z

0

f_k(s) ds−

t

Z

0 s

Z

0

(1 +m(ϕ(s−r))) ˙ϕ_k(r) drds

≤ϕ0k(1−t)−

t

Z

0 s

Z

0

(1 +m(ϕ(s−r))) ˙ϕk(r) drds.

Erneutes integrieren vont₀ bistergibt λϕk(t) +

t

Z

t0

ϕk(s) ds≤ϕ0k t

Z

t0

(1−s) ds+λϕk(t0)−

t

Z

t0

s

Z

0 r

Z

0

(1 +m(ϕ(r−v))) ˙ϕk(v) dvdrds

≤ϕ0k t

Z

t0

(1−s) ds−λc−ϕ0k

2 −

t

Z

t0

s

Z

0 r

Z

0

(1 +m(ϕ(r−v))) ˙ϕk(v) dvdrds,