Nichtlineare Optimierung

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Nichtlineare Optimierung

Sommersemester 18 Tübingen, 09.06.2018

Übungsaufgaben 7

Problem 1.Betrachten Sie das Optimierungsproblem:

min x1+x2 u.d.N.

(x₁+x₂ ≥1 x1 ≥0, x2 ≥0

a) Welche Lösungen hat das Problem?

b) Formulieren Sie das Problem als lineares Programm in Normalform.

Problem 2.SeienA∈R^m×n, b∈R^m, undc∈Rⁿgegeben. Wir definieren den primal-dualen Polyeder X :=n

(x, λ, s)∈Rⁿ×R^m×Rⁿ:Ax=b, A^Tλ+s=c, x, s≥0o ,

und den strikten primal-dualen Polyeder X˚:=

n

(x, λ, s)∈Rⁿ×R^m×Rⁿ:Ax=b, A^Tλ+s=c, x, s >0 o

.

LetX˚6=∅. Zeigen Sie, daß M(α)beschränkt ist für alleα≥0, wobei M(α) :=

n

(x, s)∈Rⁿ×Rⁿ: hx, si ≤α und ∃λ∈R^m: (x, λ, s)∈Xo .

Problem 3.Seix∈Rⁿzulässig für das primale Problem

minhc, xi u.d.N. Ax=b, x≥0 (P)

und(λ, s)∈R^m×Rⁿsei zulässig für das duale Problem

maxhb, λi u.d.N. A^Tλ+s=c, s≥0. (D) Angenommen, es geltehx, si ≤für ein >0. Zeigen Sie, daß dann die folgenden Abschätzungen gelten:

i) hc, x^∗i ≤ hc, xi ≤ hc, x^∗i+, ii) hb, λi −≤ hb, λi ≤ hb, λ^∗i,

für alle primalen Lösungenx^∗ ∈Rⁿund alle dualen Lösungen(λ^∗, s^∗)∈R^m×Rⁿ. Abgabe: 15.06.2018.

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