Nichtlineare Optimierung

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Nichtlineare Optimierung

Sommersemester 18 Tübingen, 13.07.2018

Übungsaufgaben 11

Problem 1.Betrachte das Problem:

min f(x) u.d.N. h(x) = 0.

Seienf, hj ∈C³ für1≤j≤m. Sei(x^∗, λ^∗)ein KKT-Punkt, mit (i)

∇h₁(x^∗),· · · ,∇h_m(x^∗) linear unabhängig, (ii) ∀y∈ T_X(x^∗)\ {0},

y,∇²_xxL(x^∗, λ^∗)y

>0.

Zeigen Sie, daß die Lagrange-Newton Iteration konvergiert für alle Startdaten(x⁰, λ⁰) mitkx⁰ −x^∗k hinreichend klein, und∇²L(x⁰, λ⁰)regulär. Die Konvergenzrate ist quadratisch.

Problem 2.SeiQQQ∈R^n×n_spd , c∈Rⁿ, γ ∈R. Wir definierenf :Rⁿ7→Rvia

f(x) = 1 2

x, QQQx +

c, x +γ

Seien außerdem

a_i : 1≤i≤m ∪

b_j : 1≤j≤p ⊂Rⁿund

α_i: 1≤i≤m ∪

β_j : 1≤j ≤p ⊂R gegeben. Betrachte

minf(x) u.d.N.

(b_j, x

=β_j (1≤j≤p) ai, x

≤αi (1≤i≤m)

Wir wollen zeigen, daß die ’aktive-Mengen’-Strategie wohldefiniert ist.

(i) Seik∈N. Angenommen,

ai :i∈ A_k ∪

bj : 1≤j ≤p sind linear unabhängig. Dann besitzt die lineare Gleichung









QQQ B_k^T A^T_k

B 0 0

A 0 0

















∆x^k λ^k µA_k









=









−∇f(x^k) 0 0









genau eine Lösung.

(ii) Sei

ai :i∈ A_k ∪

bj : 1≤j ≤p linear unabhängig. Dann ist es auch

ai :i∈ A_k+1 ∪ bj : 1≤j≤p .

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Abgabe: 20.07.2018.

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