Nichtlineare Optimierung

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Nichtlineare Optimierung

Sommersemester 18 Tübingen, 29.06.2018

Übungsaufgaben 9

Problem 1.Der k-te Schritt des innere-Punkte-Verfahrens lautet: seiω^k ∈X˚(PD), bestimme eine Lö- sung ∆ω^k:= (∆x^k,∆λ^k,∆s^k)der Newton-Gleichung mit rechter Seite

0,0,−XXX^kSSS^ke+σ_kµ_keT

,

wobeiµ_k := ^hxk_n^,ski ≤undσ_k∈[0,1], ∈(0,1). Seiω^k+1 :=ω^k+t_k∆ω^k, wobeit_k >0die Schrittweite bezeichnet, dieω^k+1 ∈X˚(PD)sicherstellt. Es gelte nun

µ_k+1≤ 1− δ n^α

µ_k (k∈N)

für gewisse positive Konstantenδ, α, undω⁰∈X˚(PD)erfülle

µ0≤ 1 ^κ, für einκ >0. Zeigen Sie, daß eine ZahlK= Θ n^α|log()|

∈Nexistiert, sodaß µk≤ ∀k≥ K.

Problem 2.Betrachte die folgende Umgebung des zentralen Pfadest7→ xt, λt, st

N₂(θ) :=n

(x, λ, s)∈X˚(PD):

XXXSSSe−µe

2 ≤θµo

θ∈(0,1) ,

mitµ:= ^hx,si_n . Eine weitere Umgebung des zentralen Pfades ist(`∈(0,1)) N−∞(`) :=n

(x, λ, s)∈X˚(PD): x_is_i≥`µ ∀i= 1,· · · , no . Zeigen Sie, daß (x, λ, s)∈ N₂(θ)impliziert, daß(x, λ, s)∈ N_−∞(1−θ).

Abgabe: 06.07.2018.

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