Nichtlineare Optimierung

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Aaron Beschle

Nichtlineare Optimierung

Sommersemester 18 Tübingen, 20.04.2018

Übungsblatt 1

Problem 1. Betrachte die quadratische Funktionf :Rⁿ→R, mit f(x) := 1

2

x, QQQx +

c, x +γ,

wobei QQQ∈R^n×n_Sym,c∈Rⁿundγ ∈R. Zeige, daß

i) f konvex genau dann ist, wennQQQpositiv semi-definit ist.

ii) f strikt konvex genau dann ist, wennQQQpositiv definit ist.

Problem 2. Sei f : Rⁿ → Rstetig differenzierbar, und x^∗ ∈ Rⁿ ein lokales Minimum von f entlang jeder Gerade, die durch den Punktx^∗geht.

i) Zeige, daß ∇f(x^∗) = 0.

ii) Finde ein Beispiel, für dasx^∗kein lokales Minimum vonfist, obwohl es die obigen Eigenschaften besitzt.

Problem 3.Betrachte die quadratische Funktionf :Rⁿ→R, f(x) := 1

2

x, QQQx +

c, x

, (1)

mit QQQ∈ R^n×n_Spd undc∈ Rⁿ. Seid∈ Rⁿ eine Suchrichtung inx ∈ Rⁿ, undσ^∗ ≥0 sei die Schrittweite, sodaß

f(x+σ^∗d) = min

σ≥0f(x+σd). i) Diskutiere, warumσ^∗ >0.

ii) Zeige, daß die Wahlσ=σ^∗ sicherstellt, daß

f(x+σd)−f(x)≤σ γ

∇f(x), d

(2) für alleγ ∈(0,¹₂]. Diese Ungleichung (2) ist bekannt als Armijo’s Regel.

Seite 1/2

Problem 4.Seif :Rⁿ→Reine konvexe Funktion. Betrachte die Methode des steilsten Abstiegs, x_k+1=x_k−α_k∇f(x_k).

i) Zeige, daß für alley∈Rⁿgilt

kx_k+1−yk²≤ kx_k−yk²−2α_k f(x_k)−f(y)

+ α_kk∇f(x_k)k2

.

ii) Angenommen, es gilt

∞

X

k=0

α_k=∞, α_kk∇f(x_k)k²→0 (k↑ ∞).

Zeige, daß dann gilt

lim inf

k→∞ f(x_k) = inf

x∈Rⁿ

f(x). Hinweis:Argumentiere mit Widerspruch und verwendei).

Abgabe: 27.04.2018.

Seite 2/2