Nichtlineare Optimierung

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Nichtlineare Optimierung

Sommersemester 18 Tübingen, 27.04.2018

Übungsaufgaben 2

Problem 1. SeienQQQ∈R^n×n_spd undc∈Rⁿgegeben. Betrachte die quadratische Funktion f(x) := 1

2

x, QQQx

− c, x

. (1)

i) Zeige, daß f sein Minimum an der Stellex^∗∈Rⁿ genau dann annimmt, wennQQQx^∗ =c.

ii) Berechne

(x_k, r_k, α_k) : 0≤k≤4 mithilfe des Gradientenverfahrens für die Funktionf aus (1), mit

QQQ=

"

3 2 2 6

#

, c= 2

−8

!

, mit x₀ = −2

−2

! .

Problem 2.

i) Seif ∈ C¹(Rⁿ). Wähle einx ∈ Rⁿ mit∇f(x) 6= 0. Seid^∗ ∈Sⁿ⁻¹ :=

x ∈ Rⁿ :kxk₂ = 1 eine Lösung von

d∈minSⁿ⁻¹

∇f(x), d .

Zeige, daß d^∗=−_k∇f^∇f_(x)k^(x)

2 die einzige Lösung ist.

ii) Betrachte das verallgemeinerte Gradientenverfahren

xk+1 =xk+αkrk, mit rk=−∇f(xk), k∈N, wobei wiederf ∈C¹(Rⁿ). Bestimme die Schrittweiteα_k∈Rvia

f x_k+α_kr_k

= min

σ≥0f x_k+σr_k . Zeige, daß r_k+1⊥r_kfür allek∈N.

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Problem 3.Seif ∈ C¹(Rⁿ). In der Vorlesung wurden zulässige Suchrichtungen bzw. Schrittweiten definiert. Betrachte nun zulässige Suchrichtungen

r_k:k∈N0 und zulässige Schrittweiten

α_k:k∈ N0 für eine gegebene Folge

xk:k∈N0 . Seix^∗ ∈Rⁿein Häufungspunkt von

xk :k∈N0 . Zeige, daß x^∗ ein stationärer Punkt vonf ist.

Abgabe: 04.05.2018.

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