Nichtlineare Optimierung 1. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2011-2012
Prof. Dr. Stefan Ulbrich 21.10.2011
Hannes Meinlschmidt
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Landau-Notation)
In der Vorlesung wurden die Landau-Symbole folgendermaßen definiert: Für eine Funktiong:Rn→Rmgilt g(s) =O(kskk)fürs→0 ⇐⇒ lim sup
s→0
kg(s)k kskk <∞, bzw.
g(s) =o(kskk)fürs→0 ⇐⇒ lim
s→0
kg(s)k kskk =0.
(a) Beweisen oder widerlegen Sie, jeweils fürs∈Runds→0:
i. s=O(ksk2), ii. s2=o(ksk), iii. sin(s) =O(ksk),
iv. 1=o(ksk).
(b) Wie lässt sich g = O(kskk) bzw. g = o(kskk) für s → 0 anschaulich in Bezug auf Wachstum der Funktion g interpretieren? Könnte man auch etwas anderes alss→0betrachten?
(c) Diskutieren Sie die Schreibweise g(s) = O(kskk) und formulieren Sie sie mathematisch exakter. Welche Falle entsteht durch das Gleichheitszeichen in der Definition der Landau-Symbole (Stichwort Transitivität)? Betrach- ten Sie ausserdem die Definition der Ableitung bzw. die erste Taylorentwicklung einer differenzierbaren Funktion
f :Rn→R, also
f(x+s) =f(x) +∇f(x)Ts+o(ksk).
Für welche Art von Objekt stehto(ksk)hier und wie ist die Gleichung im Hinblick darauf zu verstehen?
(d) Gilt für Funktionen f,gmitf(s) =O(kskk)undg(s) =O(kskk)auch(f+g)(s) =O(kskk), bzw. für Funktionenf,g mit f(s) =o(kskk)und g(s) =o(kskk)auch(f +g)(s) =o(kskk)? Was lässt sich über die Funktionc f mitc∈R aussagen?
Aufgabe G2 (Konvexe Funktionen)
SeiK⊆Rneine konvexe Menge undI ⊂Rein Intervall, seig:K→I (streng) konvex und f :I →R(streng) monoton wachsend und konvex. Zeigen Sie, dass die Komposition
f ◦g:K→R (streng) konvex ist.
Aufgabe G3 (Kompaktheit der Niveaumenge)
Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion f :Rn→Rmitlimkxk→∞f(x) =∞und beliebigesw∈Rndie Niveaumenge Nf(w)kompakt ist.
Bemerkung. Funktionen mit der Eigenschaftlimkxk→∞f(x) =∞heißen auchkoerzitivoderradial unbeschränkt.
Aufgabe G4 (Taylorentwicklung)
Bestimmen Sie für die Funktion f:R2→R, gegeben durch
f(x1,x2) =x1e−(x1+x2),
das Taylorpolynom zweiter Ordnung im Entwicklungspunkt(0, 0). Ist die Funktion (streng) konvex, (streng) konkav oder weder konvex noch konkav?
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Hausübung
Aufgabe H1 (Konvexität und Extremwerte) (5 Punkte)
SeiK⊂Rnkonvex und f :K→Rkonvex. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen gelten:
(a) Jedes lokale Minimum von f aufK ist auch globales Minimum von f. Gilt die Aussage auch für Maxima, ist also jedes lokale Maximum von f aufKauch ein globales?
(b) Die Menge der Minimalpunkte von f aufK, also
argmin(f,K) =
x∈K:f(x)≤f(y)für alle y∈K ,
ist konvex.
(c) Ist f sogar streng konvex, so hat f höchstens ein lokales Minimum, was dann auch das einzige globale Minimum ist. Nennen Sie eine streng konvexe Funktion auf einer konvexen Menge, die kein Minimum annimmt.
(d) Seienc1, . . . ,cm:Rn→Rkonvex undh:Rn→Rpaffin-linear. Dann ist die Menge C={x∈Rn:c(x)≤0undh(x) =0}
konvex, wobeic(x) = (c1(x), . . . ,cm(x))Tundc(x)≤0genau dann, wennci(x)≤0füri=1, . . . ,m.
Aufgabe H2 (Differenzieren im Mehrdimensionalen) (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für stetig differenzierbare AbbildungenF:Rn→RmundG:Rn→Rmfolgende Produktregel gilt:
∇(F(x)TG(x)) =F0(x)TG(x) +G0(x)TF(x).
(b) Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Abbildung f :Rn→R:
f(x) =1
2xTAx+bTx+c,
mitb∈Rn,c∈RundA∈Rn,nsymmetrisch.
(c) Zeigen Sie, dass f, wie in Aufgabenteil (b) gegeben, streng konvex ist, wennApositiv definit ist.
Tipp:Hier ist kein Kampfrechnen nötig.
(d) Seif wieder wie in Aufgabenteil (b). Geben Sie die Taylorentwicklung zweiten Grades vonf in einem Punktx∈Rn an. Wie exakt ist diese?
Aufgabe H3 (Unrestringierte Optimierung quadratischer Funktionen) (4 Punkte) Schreiben Sie die Funktion
f(x1,x2) =5x21+5x22+8x1x2−4x1−2x2+3
in der allgemeinen Form f(x) = 12xTAx+bTx+cmit symmetrischer MatrixA∈Rn,n. IstApositiv definit? Finden Sie das globale Minimum vonf.
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