Lokale Existenz für T = 0

Theorem 41. Seien 1< p <∞,k∈Nmitkp > dund Ω⊂R^dein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt.

A erfülle Voraussetzung 36 zu diesemkund −A erzeuge eineC⁰-Halbgruppe auf einem Banach-raum X ⊂W^1,p×L^p.

Haben M, G die Gestalt (II.4) mit m₁, m₂, g₁, g₂ ∈ C^k+1(R²,R), G(0) = 0 und M(V)G(W) ∈ D(A^k) fürV, W ∈D(A^k), so existiert zu jedem

V₀ ∈D(A^k) und F ∈C⁰([0,∞), D(A^k)) einT >0 und eine Lösung

V ∈C⁰([0, T], D(A^k)) von (II.5).

Beweis. Wir wählen aufC⁰([0, T], D(A^k))die Norm kVk_C0

T := sup

t∈[0,T]

kV(t)k_Ak.

FürT >0 undc_l >1betrachten wir die Menge der möglichen lokalen Lösungen X_l:=

n

V ∈C⁰([0, T], D(A^k))| kVk_C0

T ≤c_l(kV₀k_Ak+kFk_C0 T)

o ,

die eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge von C⁰([0, T], D(A^k))ist, und definieren auf X_l den Operator S durch

(S(V))(t) =e^−AtV0+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds+

t

Z

0

e^−(t−s)AF(s) ds.

Mit dem Ziel den Banachschen Fixpunktsatz (Theorem 87) auf S anzuwenden, zeigen wir zu-nächst, dassS eine Selbstabbildung aufX_l für ein geeignetesT >0 ist.

Da der Operator−Anach Theorem 88 auch eineC⁰-Halbgruppe aufD(A^k) erzeugt, gilt für alle x∈D(A^k)und t≥0

e^−Atx∈D(A^k) und die Abbildung ist stetig in t. Also sind

e^−AtV₀ sowie

t

Z

0

e^−(t−s)AF(s) ds

stetige Abbildungen von [0, T]nach D(A^k).

FürV ∈X_list nach VoraussetzungM(V(s−r))G(V(r))∈D(A^k) (s, r∈[0, T], r≤s)und wenn kM(V(s−r))G(V(r))k_Ak beschränkt ist, folgt

s

R

0

M(V(s−r))G(V(r)) dr∈D(A^k)fürs∈[0, T].

Dies liefert nun

S(V)∈C⁰([0, T], D(A^k)).

Als Nächstes beweisen wir für T hinreichend klein kS(V)k_C0

T ≤ c_l(kV₀k_Ak +kFk_C0

T) und im Verlauf hiervon auch die oben geforderte Beschränktheit vonM(V(s−r))G(V(r)) inD(A^k).

Zu der von−A erzeugtenC⁰-Halbgruppe existieren c_A≥1 sowieω∈Rmit

e^−Atx

A^k ≤cAe^ωtkxk_Ak (x∈D(A^k), t≥0).

Wegen der Voraussetzung anA gibt es Konstantenc₁, c₂ >0 mit c1kxk_Xk,p ≤ kxk_Ak ≤c2kxk_Xk,p.

Im Folgenden bezeichnen wir mit c verschiedene Konstanten, die nicht von den Funktionen M, G, V0, F oder von der KonstantecA abhängen. existiert einc >0mit

kV(t)k_∞=kv₁(t)k_∞+kv₂(t)k_∞

Fürγ ∈N^dmit 1≤ |γ|=:j≤kfolgt aus Lemma 94 wegen kV(t)k_∞≤Γ ∇^jm₁(V(s−r))

p ≤c m_1,k

∇^jV(s−r) pΓ^j−1 und ebenso

∇^jg1(V(r))

p ≤c g1,k

∇^jV(r) pΓ^j−1. Mit Lemma 95 erhalten wir

k∇^γ(m₁(V(s−r))g₁(V(r)))k_p

≤c

km₁(V(s−r))k_∞

∇^jg₁(V(r))

p+kg₁(V(r))k_∞

∇^jm₁(V(s−r)) p

≤c

m1,0

∇^jg1(V(r))

p+g1,0

∇^jm1(V(s−r)) p

≤cΓ^j−1

m1,0g_1,k

∇^jV(r)

_p+g1,0m_1,k

∇^jV(s−r) _p

≤cΓ^j(m_1,0g_1,k+g_1,0m_1,k). (II.10)

Wegeng₁ ∈C¹(R²,R)und g₁(0) = 0ergibt sich mit der Taylorformel für |(x, y)| ≤Γ

|g₁((x, y))|=|g₁(0) +∂1g1((ϑx, ϑy))x+∂2g1((ϑx, ϑy))y|

≤g_1,k(|x|+|y|) für einϑ∈(0,1), was für|γ|= 0

km₁(V(s−r))g1(V(r))k_p ≤m1,0kg₁(V(r))k_p

≤m_1,0g_1,k



 Z

Ω

(|v₁(r, z)|+|v₂(r, z)|)^p dz





1 p

≤cm_1,0g_1,kkV(r)k_p

≤cm1,0g1,kΓ (II.11)

liefert.

Aus (II.10) und (II.11) folgt

km₁(V(s−r))g₁(V(r))k_k,p

=km₁(V(s−r))g1(V(r))k_p+

k

X

|γ|=1

k∇^γ(m1(V(s−r))g1(V(r)))k_p

≤cm_1,0g_1,kΓ +c

k

X

j=1

(m_1,0g_1,k+g_1,0m_1,k) Γ^j

≤cm1,0g_1,kΓ +c(m1,0g_1,k+g1,0m_1,k)

Γ + Γ^k

≤c(m_1,0g_1,k+g_1,0m_1,k)

Γ + Γ^k

und mit analogen Definitionen für m2,0, m2,k, g2,0 und g2,k ergibt sich km₂(V(s−r))g2(V(r))k_k,p≤c(m2,0g2,k+g2,0m2,k)

Γ + Γ^k

,

was zusammengefasst zu führt. Wir definieren

h(t) :=

und bekommen durch Einsetzen von (II.12) in (II.9)

Die Funktionhist stetig und es gilt h(0) = 0, somit existiert ein T1 >0 mit c c_A(m_1,0g_1,k+g_1,0m_1,k+m_2,0g_2,k+g_2,0m_2,k) demnach istS eine Selbstabbildung aufX_l.

In der obigen Rechnung wurde die Abhängigkeit der Zeit T1 von der Norm des Anfangswerts, den FunktionenM und Gund von den Eigenschaften der Halbgruppe berücksichtigt. Sie ist im Wesentlichen antiproportional zu

(m1,0g_1,k+g1,0m_1,k+m2,0g_2,k+g2,0m_2,k)

T₁→ ∞fürkV₀k_Ak+kFk_C0

T →0folgt bei uns nur, wenn zusätzlichM(0) = 0angenommen wird oder G bis zur k-ten Ableitung in der Null verschwindet, sonst existiert wegen des Ausdrucks m_1,0g_1,k+m_2,0g_2,k eine obere Schranke fürT₁.

Der Nachweis der Kontraktionseigenschaft ändert die qualitive Abhängigkeit der Existenzzeit nicht, daher werden wir nachfolgend mit c Konstanten bezeichnen, die ebenfalls von cA, M, G und Γabhängen können.

Seien U, V ∈X_l. Es gilt (S(U)−S(V))(t) =

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r))−M(U(s−r))G(U(r)) drds und damit

k(S(U)−S(V))(t)k_Ak

≤c

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

kM(V(s−r))G(V(r))−M(U(s−r))G(U(r))k_Xk,p drds

≤c

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

kM(V(s−r))(G(V(r))−G(U(r)))k_Xk,p drds

+c

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))G(U(r))k_Xk,p drds.

SeiW :=V −U. Wir zeigen nur

k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))G(U(r))k_Xk,p ≤ckW(s−r)k_Xk,p,

da sich die Abschätzung direkt auf den zweiten Term übertragen lässt. Hierzu nutzen wir k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))G(U(r))k_Xk,p

≤ k(m₁(V(s−r))−m1(U(s−r)))g1(U(r))k_k,p +k(m₂(V(s−r))−m2(U(s−r)))g2(U(r))k_k,p

(II.14)

und betrachten ebenfalls nur einen der beiden Summanden, da die Voraussetzungen an die Funk-tionen m₁ undm₂ sowieg₁ und g₂ gleich sind. Wir fügen gemäß

k(m₁(V(s−r))−m₁(U(s−r)))g₁(U(r))k_k,p

=k(m₁(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), u2(s−r)))g1(U(r))k_k,p

≤ k(m₁(v₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), v₂(s−r)))g₁(U(r))k_k,p +k(m₁(u₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), u₂(s−r)))g₁(U(r))k_k,p

zwei weitere Terme ein, so dass wirm1getrennt in Abhängigkeit vonv1undv2behandeln können.

Um

k(m₁(v₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), v₂(s−r)))g₁(U(r))k_k,p≤ckw₁(s−r)k_k,p

zu beweisen, wenden wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, ergibt. Daraus folgt

∇^γ

Auf Grund der Beschränktheit des Arguments von∂1m1 gilt auch also kann Lemma 95 angewendet werden und wir erhalten

≤c

∇^jw₁(s−r)

p+kw₁(s−r)k_∞

≤ckw₁(s−r)k_k,p.

Zusammen mit

w₁(s−r)

1

Z

0

∂₁m₁(θv₁(s−r) + (1−θ)u₁(s−r), v₂(s−r)) dθ p

≤c

1

Z

0

∂₁m₁(θv₁(s−r) + (1−θ)u₁(s−r), v₂(s−r)) dθ ∞

kw₁(s−r)k_p

≤ckw₁(s−r)k_p

haben wir nun m₁(v₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), v₂(s−r))∈W^k,p mit

km₁(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), v2(s−r))k_k,p≤ckw₁(s−r)k_k,p. Wie im Beweis der Selbstabbildung folgt

∇^jg₁(U(r))

p ≤cfür1≤j≤kundkg₁(U(r))k_∞≤c und mit Lemma 95 liefert dies

k(m₁(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), v2(s−r)))g1(U(r))k_k,p

≤c

kw₁(s−r)k_k,pkg₁(U(r))k_∞+kw₁(s−r)k_∞kg₁(U(r))k_k,p

≤ckw₁(s−r)k_k,pkg₁(U(r))k_k,p

≤ckw₁(s−r)k_k,p. Analog folgt

k(m₁(u1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), u2(s−r)))g1(U(r))k_k,p≤ckw₂(s−r)k_k,p und damit

k(m₁(V(s−r))−m₁(U(s−r)))g₁(U(r))k_k,p≤c(kw₁(s−r)k_k,p+kw₂(s−r)k_k,p).

Um diese Abschätzungen herzuleiten, haben wir lediglich die Regularität von m1 und g1 sowie U, V ∈ X_l genutzt, daher kann der Beweis auf den zweiten Summanden in (II.14) übertragen werden und es gilt

k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))G(U(r))k_Xk,p ≤ckW(s−r)k_Xk,p. Da die VoraussetzungG(0) = 0nicht genutzt wurde, haben wir ebenso

kM(V(s−r))(G(V(r))−G(U(r)))k_Xk,p ≤ckW(s−r)k_Xk,p.

Insgesamt erhalten wir

k(S(U)−S(V))(t)k_Ak

≤c

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

kM(V(s−r))G(V(r))−M(U(s−r))G(U(r))k_Xk,p drds

≤c

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

kW(s−r)k_Xk,p +kW(r)k_Xk,p drds

≤c sup

τ∈[0,T]

kW(τ)k_Xk,p

t

Z

0

e^(t−s)ω

s

Z

0

drds

=ch(t) sup

τ∈[0,T]

kW(τ)k_Xk,p

≤ch(t) sup

τ∈[0,T]

kW(τ)k_Ak,

wobeih wie in (II.13) definiert ist. Daher existiert zuq <1beliebig ein T₃ >0 mit ch(t)≤q

für0≤t≤T₃ und es gilt sup

t∈[0,T₃]

k(S(U)−S(V))(t)k_Xk,p ≤q sup

t∈[0,T₃]

kU(t)−V(t)k_Xk,p.

Durch Wahl vonT := min{T₁, T₂, T₃}istS eine Selbstabbildung aufX_lund auch eine Kontrak-tion, somit existiert genau ein FixpunktV der

V(t) =e^−AtV₀+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds

in[0, T]erfüllt, also die eindeutige milde Lösung des Problems ist.

Theorem 42. Unter den Voraussetzungen von Theorem 41 gilt für die milde Lösung V von (II.5)

V ∈C¹([0, T], D(A^k−1)) und sie ist die eindeutige Lösung von (II.2).

Beweis. Nach Voraussetzung sind V₀,

s

R

0

M(V(s−r))G(V(r)) ds, F(t) ∈ D(A^k) und daher ist e^−tAV₀ als auch

t

R

0

e^−(t−s)A

s

R

0

M(V(s−r))V(r) drdsund

t

R

0

e^−(t−s)AF(s) dsdifferenzierbar mit

d dt



e^−tAV₀+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds+

t

Z

0

e^−(t−s)AF(s) ds





=−Ae^−tAV₀+

t

Z

0

M(V(t−s))G(V(s)) ds−A

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds

+F(t)−A

t

Z

0

e^−(t−s)AF(s) ds

=−AV(t) +

t

Z

0

M(V(t−s))G(V(s)) ds+F(t).

Hieraus folgt für t >0

Vt(t) = d dt



e^−tAV0+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds+

t

Z

0

e^−(t−s)AF(s) ds





=−AV(t) +

t

Z

0

M(V(t−s))G(V(s)) ds+F(t)

sowieV ∈C¹([0, T], D(A^k−1)).

Da jede Lösung von (II.2) auch eine milde Lösung ist und diese eindeutig ist, handelt es sich bei V um die einzige Lösung.

In den folgenden Beispielen nehmen wir jeweils an, dass der Operator A Voraussetzung 36 erfüllt.

Beispiel 43 (Ganzraumfall).

FürΩ =R^dhat der OperatorA aufX=W^1,2×L² den DefinitionsbereichD(A) =W^2,2×W^1,2. Es gilt D(A^k) =W^k+1,2×W^k,2 und die Voraussetzung M(U)G(V)∈D(A^k) fürU, V ∈D(A^k) ist hier bereits durch die Regularitätsforderungen an M und G erfüllt.

Erzeugt −A eine C⁰-Halbgruppe auf W^1,2 ×L² und sind 2k > d, M ∈ C^k+1(R²,R^2×2) und G∈C^k+1(R²,R²) von der Gestalt (II.4) mit G(0) = 0, so existiert zu

V₀ ∈W^k+1,2×W^k,2 und F ∈C⁰([0,∞), W^k+1,2×W^k,2) eine lokale Lösung

V ∈C¹([0, T], W^k,2×W^k−1,2)∩C⁰([0, T], W^k+1,2×W^k,2)

von (II.2). Aus [7, VI.3.a] erhalten wir, dass die erste Komponente von V eine Lösung der Gleichung zweiter Ordnung (II.1) ist.

Beispiel 44 (Ganzraumfall - Gleichung 2. Ordnung).

Übertragen wir das obige Beispiel auf die Gleichung 2. Ordnung (II.1), so erhalten wir für den linearen OperatorL= ∆−1undm, g ∈C^k+1(R,R)zu gegebenen Daten u₀ ∈W^k+1,2,u₁ ∈W^k,2 sowie f ∈C⁰([0,∞), W^k,2) eine lokale Lösung

u∈C²([0, T], W^k−1,2)∩C¹([0, T], W^k,2)∩C⁰([0, T], W^k+1,2).

Beispiel 45(Dirichlet-Randbedingungen, k= 1).

Ist k = 1 und p > d können wir M(U)G(V) ∈ D(A) für U, V ∈ D(A) im Fall von Dirichlet-Randbedingungen bereits aus den übrigen Voraussetzungen schließen. Damit ist sie insbesondere fürd= 1 immer erfüllt.

Für homogene Dirichlet-Randbegingungen ist der Grundraum X = W₀^1,p ×L^p und A hat den DefinitionsbereichD(A) =W^2,p∩W₀^1,p×W₀^1,p.

Ist nun V ∈D(A) und p > d so sind v₁, v₂ ∈C_b⁰ und v₁(x) = 0 =v₂(x) auf ∂Ω, somit ist dort auchG(V) = 0. Es gilt

M(V)G(W) =

0

m₁(v₁, v₂)g₁(w₁, w₂) +m₂(v₁, v₂)g₂(w₁, w₂)

und wegen der Regularität von M und G folgt M(U)G(V) ∈ W^2,p∩W₀^1,p×W₀^1,p = D(A) für U, V ∈D(A).

Erzeugt also −A eine C⁰-Halbgruppe und sind p > d, M ∈C²(R²,R^2×2), G∈ C²(R²,R²) von der Gestalt (II.4) mitG(0) = 0, so existiert zu

V₀ ∈W^2,p∩W₀^1,p×W₀^1,p und F ∈C⁰([0,∞), W^2,p∩W₀^1,p×W₀^1,p) eine lokale Lösung

V ∈C¹([0, T], W₀^1,p×L^p)∩C⁰([0, T], W^2,p×W₀^1,p) von (II.2).

Beispiel 46(Dirichlet-Randbedingungen, k= 2).

Auch für k = 2 wird M(U)G(V) ∈ D(A²) für U, V ∈ D(A²) bereits durch die weiteren Forde-rungen impliziert, wennb∈C_b¹ ist. Wegen

AV =

v₂ Lv₁+bv₂

gilt

D(A²) =n

V ∈W₀^1,p×L^p|AV ∈D(A)o

= n

V ∈W^3,p∩W₀^1,p×W^2,p∩W₀^1,p

Lv1+bv2∈W₀^1,p o

=n

V ∈W^3,p∩W₀^1,p×W^2,p∩W₀^1,p

Lv₁∈W₀^1,po , weil fürb∈C_b¹ direktbv₂ ∈W₀^1,p ausv₂ ∈W₀^1,p folgt.

Also istM(U)G(V)∈D(A²) fürU, V ∈D(A²), falls

m₁(v₁, v₂)g₁(w₁, w₂) +m₂(v₁, v₂)g₂(w₁, w₂)∈W^2,p∩W₀^1,p

für v₁, w₁ ∈ W^2,p∩W₀^1,p mit Lv₁, Lw₁ ∈ W₀^1,p und v₂, w₂ ∈ W^2,p∩W₀^1,p erfüllt ist. Dies ist aber durchG(W) = 0 auf ∂Ω und die Regularität der Funktionen gegeben. Fürb∈C_b¹ folgt auch bv2∈W₀^1,p aus v2∈W₀^1,p.

Falls −A eine C⁰-Halbgruppe erzeugt und für 2p > d, M ∈C³(R²,R^2×2) und G∈ C³(R²,R²) von der Gestalt (II.4) mit G(0) = 0, bekommen wir damit, dass zu

V₀ = (v_1,0, v_2,0)∈W^3,p∩W₀^1,p×W^2,p∩W₀^1,p mit Lv_1,0∈W₀^1,p

und

F = (0, f) mitf ∈C⁰([0,∞), W^2,p∩W₀^1,p) eine lokale Lösung

V ∈C¹([0, T], W^2,p∩W₀^1,p×W₀^1,p)∩C⁰([0, T], W^3,p×W^2,p) mitLv₁(t)∈W₀^1,p von (II.2) existiert.

Insbesondere sind in diesem Ergebnis für den Hilbertraumfall p= 2 sowohl der R² als auch der R³ enthalten. Hier ist unter anderem für L = ∆ mit homogenen Dirichlet-, Neumann- oder Robin-Randbedingungen Voraussetzung 36 erfüllt und −A erzeugt eine C⁰-Halbgruppe.

Beispiel 47 (p6= 2).

Die Gleichung

u_tt(t) +bu_t(t)−Lu(t) = 0,

wobei L, bwie in Voraussetzung 36 mit symmetrischen Koeffizienten aα für|α|= 2sind, können wir durch die TransformationU = (u, u_t, ∂₁u, ..., ∂_du)auf ein linear symmetrisches hyperbolisches System

Ut(t) =

d

X

j=1

Aj∂jU(t) +BU(t)

mit Aj, B ∈ R(d+2)×(d+2) und entsprechenden Anfangswerten bringen. Für strikt hyperbolische Systeme mit konstanten Koeffizienten wird in [28] gezeigt, dass diese im Ganzraumfall Ω =R^d genau dann wohlgestellt sind, wenn die Matrizen A1, ..., Ad kommutieren. Dies ist für d = 1 automatisch erfüllt.

Diese Wohlgestelltheit inL^pist nach [8] bereits hinreichend, damit der OperatorAvon der Gestalt (II.3) eine C⁰-Halbgruppe auf W^1,p×L^p erzeugt.

Im Dokument Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Seite 54-64)