Gedämpftes lineares System mit kleinen Daten

Die Beweismethode in diesem Abschnitt entspricht der in Abschnitt I.4 genutzten. Wir zeigen, dass eine milde Lösung, also eine Funktion, die die Variation der Konstanten Formel (II.5)

V(t) =e^−AtV0−

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))G(V(r)) drds+

t

Z

0

e^−(t−s)Af(s) ds erfüllt, existiert und erhalten hieraus schließlich Ergebnisse zu (II.2).

Der Einfachheit halber nehmen wir im Folgenden G(x) =x an, ein stärkeres Abklingverhalten verbessert lediglich die auftretenden Konstanten ohne qualitative Änderungen zu liefern und konstante Vorfaktoren können in der Funktion M berücksichtigt werden. Ebenso werden wir nur f = 0betrachten, für Funktionen mit der Regularität aus Theorem 41 und einer analogen Normbeschränktheit wie in Theorem 19 können die Beweise auf f 6= 0 übertragen werden und es verändert sich hierbei nur die Kleinheitsbedingung.

Polynomiale Stabilität

Theorem 57. Seien 1< p <∞,k∈Nmitkp > dund Ω⊂R^dein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt.

A erfülle Voraussetzung 36 zu diesemkund −Aerzeuge eine exponentiell stabile C⁰-Halbgruppe auf einem Banachraum X⊂W^1,p×L^p.

Hat M die Gestalt (II.4) mitm₁, m₂ ∈C^k+1(R²,R), M(U)W ∈D(A^k) fürU, W ∈D(A^k) und existieren δ1 >0, cM ≥0 mit

|m_i(x, y)| ≤c_Mmax{|x|,|y|}

füri= 1,2 und max{|x|,|y|} ≤δ1, dann gibt es zu jedem q >1 einδ ∈(0, δ1] so, dass für alle V₀ ∈D(A^k) mit kV₀k_Ak ≤δ

eine Lösung

V ∈C⁰([0,∞), D(A^k)) von (II.5) existiert mit

kV(t)k_Ak ≤c_q(1 +t)^−qkV₀k_Ak

für ein cq>1.

Beweis. Sei zu V0 ∈D(A^k) mitkV₀k_Ak ≤δ1 und q >1 Y_q:=n

V ∈C⁰([0,∞), D(A^k))| kV(t)k_Ak ≤c_q(1 +t)^−qkV₀k_Ak

o mit der Norm

kVk_Y

q := sup

t∈[0,∞)

kV(t)k_Ak, wobeicq >1später gewählt wird.

Wir definieren den Operator S für V ∈Y_q als (S(V))(t) =e^−AtV₀+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))V(r) drds.

Wir werden nun zunächst zeigen, dassS eine Selbstabbildung auf V ist. Dies verläuft in weiten Teilen analog zu Abschnitt II.1.1, wir geben hier nur die Änderungen gegenüber dem dortigen Beweis an.

Für V ∈ Yq ist S(V) ∈ C⁰([0,∞), D(A^k)), um S(V) ∈ Yq zu erhalten benötigen wir noch die Normabschätzung.

Es existierenω >0 undcA≥1 mit

e^−Atx

A^k ≤c_Ae^−ωtkxk_Ak

für allex∈D(A^k). Im Folgenden bezeichnetcverschiedene Konstanten, die nicht vonV, c_q oder t, aber von δ1 abhängen.

Es gilt

kM(V(s−r))V(r)k_Ak ≤ckM(V(s−r))V(r)k_Xk,p

=ckm₁(V(s−r))v₁(r) +m₂(V(s−r))v₂(r)k_k,p. Aus Lemma 94 und wegen

kV(t)k_∞≤ckV(t)k_Xk,p ≤ccqkV₀k_Ak

für allet∈[0,∞) folgt für 1≤j:=|γ| ≤k, dass ∇^jm₁(V(s−r))

p ≤c

∇^jV(s−r)

p(c_qkV₀k_Ak)^j−1

≤c(cqkV₀k_Ak)^j(1 +s−r)^−q (II.48) ist und daher haben wir∇^jm₁(V(s−r))∈L^p. Die Bedingung an die Kernfunktion bedeutet

km₁(V(s−r))k_∞≤cMkV(s−r)k_∞, mit Lemma 95 erhalten wir nun

k∇^γ(m₁(V(s−r))v₁(r))k_p≤ckm₁(V(s−r))k_∞

∇^jv₁(r) p

+ckv₁(r)k_∞

∇^jm1(V(s−r)) p

≤ckV(s−r)k_∞

∇^jv₁(r) p

+ckv₁(r)k_∞

∇^jm1(V(s−r)) p

≤c(cqkV₀k_Ak)²(1 +s−r)^−q(1 +r)^−q +c(c_qkV₀k_Ak)^j+1(1 +s−r)^−q(1 +r)^−q. Also folgt

km₁(V(s−r))v₁(r)k_k,p

=km₁(V(s−r))v1(r)k_p+

k

X

|γ|=1

k∇^γ(m1(V(s−r))v1(r))k_p

≤c_MkV(s−r)k_∞kv₁(r)k_p+

k

X

|γ|=1

k∇^γ(m₁(V(s−r))v₁(r))k_p

≤c

c²_qkV₀k²_Ak+ (cqkV₀k_Ak)^k+1

(1 +s−r)^−q(1 +r)^−q

und auf dieselbe Art bekommen wir km₂(V(s−r))v2(r)k_k,p≤c

c²_qkV₀k²_Ak+ (cqkV₀k_Ak)^k+1

(1 +s−r)^−q(1 +r)^−q was zusammengefasst zu

kM(V(s−r))V(r)k_Ak ≤c

c²_qkV₀k_Ak+c_q(c_qkV₀k_Ak)^k

kV₀k_Ak(1 +s−r)^−q(1 +r)^−q führt. Daher gilt mitc0 :=c²_qkV₀k_Ak+cq(cqkV₀k_Ak)^k

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))V(r) drds A^k

≤cc0kV₀k_Ak

t

Z

0

e^(s−t)ω

s

Z

0

(1 +s−r)^−q(1 +r)^−qdrds.

Im Beweis von Lemma 27 haben wir

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

(1 +s−r)^−q(1 +r)^−qdrds≤c(1 +t)^−q und

e^−ωt≤c(1 +t)^−q gezeigt, womit sich nun

k(S(V))(t)k_Ak ≤ e^−AtV0

A^k+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))V(r) drds A^k

≤c(1 +t)^−qkV₀k_Ak +cc0kV₀k_Ak(1 +t)^−q

≤c(1 +c0)(1 +t)^−qkV₀k_Ak

ergibt. Unter der Bedingung

c_q> c(1 +c₀) =c

1 +c²_qkV₀k_Ak +c_q(c_qkV₀k_Ak)^k ist S also eine Selbstabbildung aufYq.

Die Bedingung wird erfüllt, indem wir zunächst ein beliebigesc_q > cwählen, anschließendδ₂ als Lösung von

cq−c

c =c²_qδ2+cq(cqδ2)^k festlegen und dann δ= min{δ₁, δ2} setzen.

Um zu zeigen, dass S eine Kontraktion ist, seienU, V ∈Y^q. Dann folgt k(S(U)−S(V))(t)k_Ak ≤c

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

kM(V(s−r))V(r)−M(U(s−r))U(r)k_Xk,p drds.

Es gilt

kM(V(s−r))V(r)−M(U(s−r))U(r)k_Xk,p ≤ kM(V(s−r))(V(r)−U(r))k_Xk,p

+k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))U(r)k_Xk,p.

SeiW :=V −U, zunächst betrachten wir den ersten Term

kM(V(s−r))W(r)k_Xk,p ≤ km₁(V(s−r))w₁(r)k_k,p+km₂(V(s−r))w₂(r)k_k,p. WegenW ∈C⁰([0,∞), D(A^k)) und (II.48) folgt

k∇^γ(m₁(V(s−r))w₁(r))k_p ≤ckm₁(V(s−r))k_∞

∇^jw₁(r) p

+ckw₁(r)k_∞

∇^jm1(V(s−r)) _p

≤c

kV₀k_Ak

∇^jw1(r)

p+kV₀k^j_Akkw₁(r)k_k,p

(1 +s−r)^−q

≤c

kV₀k_Ak+kV₀k^j

A^k

(1 +s−r)^−qkw₁(r)k_k,p,

wobeichier auch vom zuvor festgelegten c_q abhängt. Durch Summation überγ bekommen wir km₁(V(s−r))w₁(r)k_k,p≤c

kV₀k_Ak+kV₀k^k_Ak

(1 +s−r)^−qkW(r)k_Ak

und analoges Vorgehen fürkm₂(V(s−r))w2(r)k_k,p liefert kM(V(s−r))W(r)k_Xk,p ≤c

kV₀k_Ak+kV₀k^k_Ak

(1 +s−r)^−qkW(r)k_Ak. (II.49) Weiterhin ist

k(M(V(s−r))−M(U(s−r)))U(r)k_Xk,p ≤ k(m₁(V(s−r))−m1(U(s−r)))u1(r)k_k,p +k(m₂(V(s−r))−m₂(U(s−r)))u₂(r)k_k,p und wir können den ersten Term abschätzen durch

k(m₁(V(s−r))−m1(U(s−r)))u1(r)k_k,p

=k(m₁(v₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), u₂(s−r)))u₁(r)k_k,p

≤ k(m₁(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), v2(s−r)))u1(r)k_k,p +k(m₁(u1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), u2(s−r)))u1(r)k_k,p. Sei0≤j:=|γ| ≤k. Wie im Beweis von Satz 41 folgt

k∇^γ(m1(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), v2(s−r)))u1(r))k_p

=

∇^γ



u1(r)w1(s−r)

1

Z

0

∂1m1(θv1(s−r) + (1−θ)u1(s−r), v2(s−r)) dθ



 p

≤c

w1(s−r)

1

Z

0

∂1m1(θv1(s−r) + (1−θ)u1(s−r), v2(s−r)) dθ ∞

∇^ju1(r) p

+cku₁(r)k_∞

∇^j



w₁(s−r)

1

Z

0

∂₁m₁(θv₁(s−r) + (1−θ)u₁(s−r), v₂(s−r)) dθ



 p

≤c

∇^jw1(s−r)

p+kw₁(s−r)k_k,p

kV₀k_Ak(1 +r)^−q

und wir bekommen

k(m₁(v1(s−r), v2(s−r))−m1(u1(s−r), v2(s−r)))u1(r)k_k,p

≤ckw₁(s−r)k_k,pkV₀k_Ak(1 +r)^−q. Auf gleiche Weise erhalten wir

k(m₁(u₁(s−r), v₂(s−r))−m₁(u₁(s−r), u₂(s−r)))u₁(r)k_k,p

≤ckw₂(s−r)k_Xk,pkV₀k_Ak(1 +r)^−q und demnach

k(m₁(V(s−r))−m1(U(s−r)))u1(r)k_k,p≤ckW(s−r)k_Xk,pkV₀k_Ak(1 +r)^−q. Ebenso gilt

k(m₂(V(s−r))−m₂(U(s−r)))u₂(r)k_k,p≤ckW(s−r)k_Xk,pkV₀k_Ak(1 +r)^−q, was

kM(V(s−r))U(r)−M(U(s−r))U(r)k_Xk,p ≤ckW(s−r)k_Xk,pkV₀k_Ak(1 +r)^−q impliziert und mit (II.49) zu

kM(V(s−r))V(r)−M(U(s−r))U(r)k_Xk,p

≤c(kW(s−r)k_Xk,p(1 +r)^−q+ (1 +s−r)^−qkW(r)k_Xk,p)kV₀k_Ak

führt. Insgesamt erhalten wir die Abschätzung k(S(U)−S(V))(t)k_Ak

≤c

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

kM(V(s−r))V(r)−M(U(s−r))U(r)k_Xk,p drds

≤ckV₀k_Ak

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

(1 +r)^−qkW(s−r)k_Xk,p + (1 +s−r)^−qkW(r)k_Xk,p drds

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

(1 +r)^−q+ (1 +s−r)^−qdrds

= 2ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

t

Z

0

e^−(t−s)ω

s

Z

0

(1 +r)^−qdrds

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

t

Z

0

e^−(t−s)ωds

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Ak,

wobei q > 1 ausgenutzt wurde. Wenn nun noch zusätzlich δ < c⁻¹ gewählt wird, ist S eine Kontraktion und es existiert für jedesV₀mitkV₀k_Ak < δeine milde LösungV ∈Y_qvon (II.5).

Auch hier besitzt die milde Lösung bereits genug Regularität, um (II.2) zu lösen.

Theorem 58. Unter den Voraussetzungen von Theorem 57 gilt für die milde Lösung V von (II.5)

V ∈C¹([0,∞), D(A^k−1)) mit

kV_t(t)k_Ak−1 ≤c(1 +t)^−qkV₀k_Ak

und sie erfüllt (II.2).

Beispiel 59. Verschiedene Fälle für Operatoren A von der Form (II.3), die eine exponentiell stabile Halbgruppe erzeugen, werden fürp= 2 in [25],[24] und für p6= 2 in [20] gegeben.

Exponentielle Stabilität

Theorem 60. Seien1< p <∞,k∈Nmitkp > dundΩ⊂R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt.

Aerfülle Voraussetzung 36 zu diesemk und −A erzeuge eine exponentiell stabile C⁰-Halbgruppe auf einem Banachraum X⊂W^1,p×L^p.

HatM die Gestalt (II.4) mit m₁, m₂ ∈C^k+1(R²,R), M(U)W ∈D(A^k) für U, W ∈D(A^k) und existierenδ₁>0, c_M ≥0 und 1< α∈N mit

|m_i(x)| ≤cM|x|^α

füri= 1,2 und |x| ≤δ1, dann gibt es ein 0< δ≤δ1 so, dass für alle V₀∈D(A^k) mit kV₀k_Ak ≤δ

eine Lösung

V ∈C⁰([0,∞), D(A^k)) von (II.5) existiert mit

kV(t)k_Ak ≤cee^−µtkV₀k_Ak

für eince >1 und einµ >0.

Beweis. Sei zu V₀ ∈D(A^k) mit kV₀k_Ak ≤δ₁ Y_µ:=n

V ∈C⁰([0,∞), D(A^k))| kV(t)k_Ak ≤c_ee^−µtkV₀k_Ak

o mit der Norm

kVk_Y

µ := sup

t∈[0,∞)

kV(t)k_Ak, wobeic_e>1 sowieµ >0später gewählt werden.

Wir definieren den OperatorS für V ∈Y_µ als

(S(V))(t) =e^−AtV₀+

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

M(V(s−r))V(r) drds.

Hier geben wir ebenfalls nur die Änderungen in den Abschätzungen gegenüber dem vorherigen Beweis an.

Um die Normabschätzung zu zeigen, bezeichnen wir mit ω >0,cA≥1 Konstanten mit e^−Atx

A^k ≤c_Ae^−ωtkxk_Ak

für allex∈D(A^k)und mitcverschiedene Konstanten, die nicht von V, c_e odert, wohl aber von δ1 abhängen.

Wir betrachten

kM(V(s−r))V(r)k ≤ km₁(V(s−r))v₁(r)k_k,p+km₂(V(s−r))v₂(r)k_k,p. Wegen

|m₁((x₁,0))|

|x₁| ≤c|x₁|^α−1 und |m₁((0, x₂))|

|x₂| ≤c|x₂|^α−1 für x₁, x₂ →0 existieren Funktionen m₁₁, m₁₂∈C^k+1(R²,R)mit

m₁(x) =x₁m₁₁(x) +x₂m₁₂(x) und |m_1i(x)| ≤ |x|^α−1. Wir bekommen

k∇^γm₁(V(s−r))k_p ≤ck∇^γ(m₁₁(V(s−r))v₁(s−r))k+ck∇^γ(m₁₂(V(s−r))v₂(s−r))k_p und

k∇^γ(m11(V(s−r))v1(s−r))k_p≤c

∇^|γ|m11(V(s−r))

pkV(s−r)k_∞ +ckm₁₁(V(s−r))k_∞k∇^γv1(s−r)k_p

≤c

∇^|γ|m11(V(s−r))

pkV(s−r)k_∞ +ckV(s−r)k^α−1_∞ k∇^γv1(s−r)k_p Analoges Vorgehen für

∇^|γ|m₁₁(V(s−r)) p zeigt

k∇^γ(m11(V(s−r))v1(s−r))k_p≤ckV(s−r)k^α−1_∞ k∇^γV(s−r)k_p und ebenso ist

k∇^γ(m₁₂(V(s−r))v₂(s−r))k_p ≤ckV(s−r)k^α−1_∞ k∇^γV(s−r)k_p. Durch Summation überγ ergibt sich

km₁(V(s−r))v₁(s−r)k_k,p≤ckV(s−r)k_AkkV(s−r)k^α−1_∞ . (II.50) Dies liefert nun

km₁(V(s−r))v1(r)k_k,p≤ckm₁(V(s−r))k_k,pkv₁(r)k_k,p

≤ckV(s−r)k_AkkV(s−r)k^α−1_∞ kv₁(r)k_k,p

≤c(c_ekV₀k_Ak)^α+1e^{−αµ(s−r)}e^−µr

und da auch

km₂(V(s−r))v2(r)k_k,p≤c(cekV₀k_Ak)^α+1e^{−αµ(s−r)}e^−µr gilt, folgt

kM(V(s−r))V(r)k_Ak ≤c(cekV₀k_Ak)^α+1e^{−αµ(s−r)}e^−µr. Im Beweis von Lemma 15 haben wir

e^−ωt bekommen. Es ergibt sich

k(S(V))(t)k_Ak ≤ Unter der Bedingung

ce > c

1 +cce(cekV₀k_Ak)^α 1

µ(α−1)(ω−µ)

istS eine Selbstabbildung vonYµ. Jedesce> cerfüllt diese Bedingung, wennδ hinreichend klein gewählt wird. Hierbei setzen wir µ = ^ω₂, da so die Kleinheitsbedingung an δ am schwächsten wird.

Der Beweis der Kontraktionseigenschaft der Abbildung enthält keine Änderungen zum Beweis von Theorem 57, es gilt fürU, V ∈Y_µ undW :=U−V

=ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

t

Z

0

e^−(t−s)ωe^−µssds

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Xk,p

≤ckV₀k_Ak sup

τ∈[0,∞)

kW(τ)k_Ak.

Wird nun noch zusätzlichδ < c⁻¹ gewählt, so ist S eine Kontraktion und es existiert für jedes V₀ mit kV₀k_Ak < δeine milde LösungV ∈Y_µ von (II.5).

Theorem 61. Unter den Voraussetzungen von Theorem 57 gilt für die milde Lösung V von (II.5)

V ∈C¹([0,∞), D(A^k−1)) mit

kV_t(t)k_Ak−1 ≤ckV₀k_Ake^−µt und sie erfüllt (II.2).

Im Dokument Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Seite 98-106)