Quasilineare Gleichung

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Gleichung (II.6) u_tt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

m(u(t−s))∆g(u(s)) ds=f(t), t >0, u(0) =u0,

ut(0) =u1

im Ganzraumfall auf lokale Wohlgestelltheit. Dazu werden wir eine Folge von Lösungen zu einer linearisierten Version der Gleichung definieren und die Konvergenz dieser Folge zeigen. Hierbei benötigen wir genügend Regularität der Daten, um auch∆u(t)∈C_b⁰(R^d) zu erhalten.

Als Linearisierung ist für unsere Zwecke die Gleichung utt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

m(v(t−s))∆g(v(s)) ds=f(t), t > T, u(T) =u₀(T),

u_t(T) =u₁(T)

(II.19)

hinreichend, wobei v∈C⁰([0,∞), W^k+2,2)∩C¹([0,∞), W^k+1,2) gegeben sei. Die Lösbarkeit des linearisierten Problems folgt dabei direkt aus der Glättungseigenschaft der Faltung.

Lemma 50. Sei k ∈ N mit 2k > d und T ≥ 0. Gilt m, g ∈ C^k+2(R,R), so exisitert zu je-dem u₀(T) ∈ W^k+2,2, u₁(T) ∈ W^k+1,2, f ∈ C¹([T,∞), W^k,2) und v ∈ C⁰([0,∞), W^k+2,2)∩ C¹([0,∞), W^k+1,2) eine Lösung

u∈C⁰([T,∞), W^k+2,2)∩C¹([T,∞), W^k+1,2)∩C²([T,∞), W^k,2) von (II.19).

Beweis. Für v ∈ C⁰([0,∞), W^k+2,2)∩C¹([0,∞), W^k+1,2) erhalten wir mit Lemma 94 und 95 zum einen, dass die Abbildung

g: [0,∞)→W^k,2, t7→

t

Z

0

m(v(t−s))∆g(v(s)) ds inC⁰([0,∞), W^k,2)liegt und zum anderen ist wegen

∂tg(t) =m(v(0))∆g(v(t)) +

t

Z

0

m⁰(v(t−s))vt(t−s)∆g(v(s)) ds auch∂_tg∈C⁰([0,∞), W^k,2). Somit folgt

g∈C¹([0,∞), W^k,2).

[21, Kapitel 4, Korollar 2.10] liefert nun die eindeutige Lösbarkeit von (II.19) mit der angegebenen Regularität.

II.1.2.1 Lokale Existenz für T = 0

Theorem 51. Seik∈Nmit2k > d. Giltm, g ∈C^k+3(R,R), so exisitert zu jedem u₀ ∈W^k+2,2, u₁ ∈W^k+1,2 und f ∈C⁰([0,∞), W^k+1,2) einT >0 und eine Lösung

u∈C⁰([0, T], W^k+2,2)∩C¹([0, T], W^k+1,2)∩C²([0, T], W^k,2) von (II.6).

Beweis. SeiT >0beliebig. Wir gehen ähnlich wie im Beweis von Theorem 1 vor und definieren iterativ eine Folge von Lösungen zu dem linearisierten Problem (II.19), von der wir zunächst die gleichmäßige Beschränktheit und anschließend die Konvergenz zeigen, wennT hinreichend klein ist.

Um dabei in jedem Schritt eine ausreichende Regularität für unsere Rechnungen zu haben, wählen wir Folgen(u⁽ⁿ⁾₀ )n⊂W^k+3,2,(u⁽ⁿ⁾₁ )n⊂W^k+2,2,(f⁽ⁿ⁾)n⊂C¹([0,∞), W^k+2,2)mit

u⁽ⁿ⁾₀ →u₀ inW^k+1,2, u⁽ⁿ⁾₁ →u₁ inW^k,2, f⁽ⁿ⁾ →f inC⁰([0, T], W^k+1,2)

und

u⁽ⁿ⁾₁ , u⁽ⁿ⁾₀ ,∇u⁽ⁿ⁾₀

2

k+1,2≤2k(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2, sup

t∈[0,T]

f⁽ⁿ⁾(t)

2

k+1,2 ≤2 sup

t∈[0,T]

kf(t)k²_k+1,2 sowie

u⁽ⁿ⁾₁ −u⁽ⁿ⁻¹⁾₁ , u⁽ⁿ⁾₀ −u⁽ⁿ⁻¹⁾₀ ,∇u⁽ⁿ⁾₀ − ∇u⁽ⁿ⁻¹⁾₀

k+1,2 ≤ 1 n und

sup

t∈[0,T]

(f⁽ⁿ⁾−f⁽ⁿ⁻¹⁾)(t) k+1,2

≤ 1 n fürn >1.

Wir betrachten die Folge, die durch u⁽ⁿ⁾_tt (t) +u⁽ⁿ⁾(t)−∆u⁽ⁿ⁾(t) +

t

Z

0

m

u⁽ⁿ⁻¹⁾(t−s)

∆g

u⁽ⁿ⁻¹⁾(s)

ds=f⁽ⁿ⁾(t), t >0, u⁽ⁿ⁾(0) =u⁽ⁿ⁾₀ ,

u⁽ⁿ⁾_t (0) =u⁽ⁿ⁾₁

(II.20)

fürn∈Nund u⁽⁰⁾ = 0 definiert wird.

Ausu⁽⁰⁾ = 0folgt mit Lemma 50 induktiv die Existenz einer eindeutigen Lösung u⁽ⁿ⁾ ∈C⁰([0,∞), W^k+3,2)∩C¹([0,∞), W^k+2,2)∩C²([0,∞), W^k+1,2) und damit die Wohldefiniertheit der Folge.

Wir zeigen zunächst, dass die Folge für einT >0 sup

t∈[0,T]

u⁽ⁿ⁾_t , u⁽ⁿ⁾,∇u⁽ⁿ⁾ (t)

2

k+1,2 ≤4k(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2+ 4 sup

t∈[0,T]

kf(t)k²_k+1,2 (II.21)

erfüllt. Für n= 0 ist dies offensichtlich der Fall und durch Anwenden von ∇^α auf (II.20) sowie Inte-gration von 0bis tund Summation über α liefert

Wir können nun die Faltungsstruktur nutzen, um durch zweimaliges partielles Integrieren die Ableitungsordnungen in diesem Ausdruck an die der linken Seite anzupassen. Es gilt

t

Durch eine partielle Integration in der Zeit ergibt sich für das zweite Integral

Insgesamt haben wir

t

Damit erhalten wir für die Faltung

Ist nun (II.21) für u⁽ⁿ⁻¹⁾ erfüllt, so sind ebenfalls

u⁽ⁿ⁻¹⁾(t)

_∞ und

∇u⁽ⁿ⁻¹⁾(t)

_∞ gleichmäßig beschränkt und es existiert ein c >0mit

Dies folgt wie die Abschätzungen für zusammengesetzte Funktionen im Beweis von Theorem 41 mit Lemma 94 und 95, wobei die Forderungg(0) = 0hier nicht notwendig ist, da nur Terme, die Ableitungen enthalten, auftreten.

Analog sind die anderen vonu⁽ⁿ⁻¹⁾abhängigen Normen beschränkt, wir bekommen für verschie-dene Konstanten c >0

k+1

Einsetzen in (II.22) liefert und Anwenden des Lemmas von Gronwall führt nun zu

Also können wirT unabhängig vonnso wählen, dass (II.21) ebenso füru⁽ⁿ⁾ erfüllt ist, somit gilt

und fürn≥2 haben wir die Gleichung inte-grieren von0 bist. Dies liefert

1

Die Doppelintegrale werden wir nun wie beim Beweis der Beschränktheit behandeln und durch partielles Integrieren in der Orts- sowie Zeitvariablen umformen. Dadurch erhalten wir für das erste Integral zunächst

t

und das zweite so entstandene Integral ergibt sich zu

Somit haben wir für das erste Doppelintegral in (II.23) nach Summation überα

k+1

k+1,2 ds (II.24)

+1

Wir schreiben

und wegeng∈C^k+3(R,R)sowie der Beschränktheit von(u⁽ⁿ⁾)nfolgt wie im Kontraktionsbeweis von Satz 41

woraus wir mit Lemma 94 und 95

t schließen. Ebenso erhalten wir

Einsetzen in (II.24) liefert

womit wir das erste Doppelintegral in (II.23) geeignet abgeschätzt haben. Für das zweite Dop-pelintegral verläuft die Rechnung analog, es gilt

t und aus (II.23) folgt

Mit Lemma 96 erfüllt die Folge demnach

und weil die Konstantec >0 unabhängig vonnund tist, existiert ein T >0 mit c(T +T²+T³)e^4T = 1

2.

Durch die Wahl der Folgen (u⁽ⁿ⁾₀ )_n,(u⁽ⁿ⁾₁ )_n und(f⁽ⁿ⁾)_n gibt es ein c >0mit

und daher ist

∞ Die Konvergenz der Reihe impliziert nun die Konvergenz von u⁽ⁿ⁾

n in C⁰([0, T], W^k+2,2)∩ gilt. Hieraus erhalten wir direkt

∆u⁽ⁿ⁾→∆u inC⁰([0, T], W^k,2).

Zusätzlich ist m(u(t))∈C_b⁰(R^d) nach dem Sobolevschem Einbettungssatz und Lemma 94 liefert

∇^αm(u(t))∈L² für 1≤ |α| ≤k+ 2sowie die Beschränktheit der Folge(∆g(u⁽ⁿ⁾)(t))n inW^k,2. Für die Faltung ergibt sich

t

Wie zuvor folgt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sowie Lemma 94 und

Aus (II.25) bekommen wir mit (II.26) und (II.27)

sup

und daher konvergiert auch die Faltung in C⁰([0, T], W^k,2). Wegen

u⁽ⁿ⁾_tt (t) =−u⁽ⁿ⁾(t) + ∆u⁽ⁿ⁾(t)−

t

Z

0

m

u⁽ⁿ⁻¹⁾(t−s)

∆g

u⁽ⁿ⁻¹⁾(s)

ds+f⁽ⁿ⁾(t)

haben wir nun, dassu⁽ⁿ⁾_tt ebenso inC⁰([0, T], W^k,2) konvergiert und können schließen, dass u∈C⁰([0, T], W^k+2,2)∩C¹([0, T], W^k+1,2)∩C²([0, T], W^k,2)

ist und (II.6) löst.

Bemerkung 52. Mit dem Sobolevschem Einbettungssatz ist

u∈C⁰([0, T], C_b²(R^d,R))∩C¹([0, T], C_b¹(R^d,R))∩C²([0, T], C_b⁰(R^d,R)), es handelt sich also um eine klassische Lösung.

II.1.2.2 Fortsetzbarkeit einer Lösung

Auch für den quasilinearen Fall werden wir die Fortsetzbarkeit einer lokalen Lösung herleiten, indem wir die Wohlgestelltheit einer Integro-Differentialgleichung mit Anfangsgeschichte zeigen.

Sie lautet

utt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

m(u(t−s))∆g(u(s)) ds=f(t), t > T,

u(t) = Φ(t), t∈[0.T],

ut(t) = Φt(t), t∈[0.T],

(II.28)

wobeiT >0ist und Φsowief gegeben sind.

Theorem 53. Seien k∈Nmit2k > d undT >0. Giltm, g ∈C^k+3(R,R), so exisitert zu jedem Φ ∈ C⁰([0, T], W^k+2,2)∩C¹([0, T], W^k+1,2) und f ∈ C⁰([T,∞), W^k+1,2) ein ∆T > 0 und eine Lösung

u∈C⁰([T, T+ ∆T], W^k+2,2)∩C¹([T, T + ∆T], W^k+1,2)∩C²([T, T + ∆T], W^k,2) von (II.28).

Es gilt ∆T = min{T, δ(1 + T)⁻¹}, wobei δ von f, R_T

0 km(Φ(s))k_∞ + k∇g(Φ(s))k_∞ ds und sup

t∈[0,T]

k(Φ_t,Φ,∇Φ) (t)k_k+1,2 abhängt.

Beweis. Sei∆T >0 zunächst beliebig. Wir wählen

(Φ⁽ⁿ⁾)n⊂C⁰([0, T], W^k+3,2)∩C¹([0, T], W^k+2,2) mit Φ⁽ⁿ⁾ →Φ inC⁰([0, T], W^k+2,2)∩C¹([0, T], W^k+1,2),

sup

t∈[0,T]

Φ⁽ⁿ⁾_t ,Φ⁽ⁿ⁾,∇Φ⁽ⁿ⁾ (t)

k+1,2 ≤2 sup

t∈[0,T]

k(Φ_t,Φ,∇Φ) (t)k_k+1,2

und

fürn >1. Da(Φ⁽ⁿ⁾)_n gleichmäßig konvergiert und wegen der Stetigkeit vonmundg, wissen wir bereits

Wir fordern ∆T ≤ T und können deswegen ohne Einschränkung annehmen, dass m(Φ) und

∇g(Φ)nicht beide konstant Null in [0, T]sind, andernfalls wäre die Faltung in[0,2T] konstant Null. Damit können wir die Folge zusätzlich so wählen, dass

T

Wir betrachten die Folge, die durch u⁽ⁿ⁾_tt (t) +u⁽ⁿ⁾(t)−∆u⁽ⁿ⁾(t) + definiert wird, wobei wir auchΦ⁽⁰⁾= 0 setzen.

Wegenu⁽ⁿ⁻¹⁾(T) = Φ⁽ⁿ⁾(T)sowieu⁽ⁿ⁻¹⁾_t (T) = Φ⁽ⁿ⁾_t (T) gilt

u⁽ⁿ⁻¹⁾_E ∈C⁰([0,∞), W^k+3,2)∩C¹([0,∞), W^k+2,2)

Ausu⁽⁰⁾ = 0folgt mit Lemma 50 induktiv die Existenz einer eindeutige Lösung u⁽ⁿ⁾∈C⁰([T,∞), W^k+3,2)∩C¹([T,∞), W^k+2,2)∩C²([T,∞), W^k,2).

und damit die Wohldefiniertheit der Folge.

Hierzu multiplizieren wir die Gleichung (II.31) mit u⁽ⁿ⁾_t in W^k+1,2, integrieren von T bis t und erhalten so

=

Insgesamt haben wir

2

+1

Im Folgenden bezeichnen wir mit c verschiedene Konstanten, die nicht von tund n abhängen.

Ist die Konstante darüberhinaus unabhängig von ρ in (II.32), so schreiben wirc0. Dau⁽ⁿ⁻¹⁾_E (II.32) erfüllt, erhalten wir

2

Die anderen von u⁽ⁿ⁻¹⁾_E abhängigen Terme haben keinen Faktor der Form t−T und müssen daher gesondert behandelt werden.

Mit Lemma 95 ergibt sich für 1≤ |α|=:j≤k+ 1

sowie

Wegen∆T ≤T können wir das Integral aufteilen und bekommen so

t

Wir erhalten nun wie zuvor Summieren wir in (II.34) über α und setzen (II.35),(II.36) sowie (II.37) ein, folgt

2 und mit (II.33) haben wir nun

Dies führt zu und mit Lemma 96 schließen wir

Wir wählen nun in (II.32)ρ= 2c₀ und ist ∆T >0 hinreichend klein, erhalten wir

Mit dieser Beschränktheit können wir nun eine für die Konvergenz der Folge hinreichende Ab-schätzung fürw⁽ⁿ⁾:=u⁽ⁿ⁾−u⁽ⁿ⁻¹⁾ (n≥1) auf ähnliche Weise nachrechnen.

≤ 1

wobei wir (II.29) und (II.30) genutzt haben. Nullsummenaddition im Doppelintegral ergibt

t

Wir betrachten hier beispielhaft das zweite Integral, der erste Term kann auf die gleiche Art behandelt werden. Partielles Integrieren in Ort und Zeit liefert

t

=−

und wir können die Integrale vonT bistwegen der Beschränktheit der Folge direkt abschätzen.

Es ist

sowie

Für den letzten verbliebenen Term in (II.39) erhalten wir zunächst

2

und nutzen jetzt erneutt≤2T um das Integral aufzuteilen,

führt. Setzen wir nun (II.40), (II.41), (II.42), (II.43) und (II.44) in (II.39) ein, erhalten wir

Lemma 96 liefert uns woraus wegen P∞

n=1 1

n² <∞ die Konvergenz der Folge u⁽ⁿ⁾

n wie im Beweis fürT = 0 folgt, wenn wir∆T so wählen, dass

2cT∆T e^4(1+T)∆T <1

gilt. Ebenso erhalten wir die Konvergenz des Faltungsterms und damit, dass der Grenzwert von u⁽ⁿ⁾

n die Lösung von (II.28) ist.

Das so gefundene∆T erfüllt∆T = min{T, δ(1+T)⁻¹}, wobeiδvon sup ein-deutig zu einer Lösung in

u∈C⁰([0, T + ∆T], W^k+2,2)∩C¹([0, T + ∆T], W^k+1,2)∩C²([0, T + ∆T], W^k,2)

für ein∆T >0 fortgesetzt werden.

Ist C >0 eine Konstante mit

ku_t(t)k_k+1,2+ku(t)k_k+2,2 ≤C (t∈[0, T]), (II.45) so existiert die Fortsetzung mindestens in dem Intervall[0, T(C)], in dem (II.45) gilt.

Im Dokument Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Seite 68-94)