Ungedämpftes lineares System im Ganzraum

Wir untersuchen in diesem Kapitel im GanzraumfallΩ =R^ddie Gleichung u_tt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

m(u(t−s))g(u_s(s)) ds= 0, t >0, u(0) =u0,

u_t(0) =u₁,

(II.51)

von der wir bisher die lokale Lösbarkeit in Beispiel 44 gezeigt haben, wenn m, g ∈C^k+1(R,R), u0 ∈W^k+1,2 und u1 ∈W^k,2 mit 2k > d sind.

Die Resultate aus Abschnitt II.2.1.2 zur Existenz von in der Zeit globalen Lösungen sind nicht anwendbar, da keine Dämpfung und damit keine exponentielle Stabilität des linearen Anteils vorliegt. Statt dem dort gewählten direkten Zugang werden wir hier die Beschränktheit der lo-kalen Lösung durch eine vom Existenzintervall unabhängige Konstante C > 0 zeigen, was uns mit Theorem 49 die Fortsetzung zu einer globalen Lösung erlaubt. Wir orientieren uns dabei an dem in [23] präsentierten Vorgehen.

Auch diese Methode wird Abklingeigenschaften der linearen Gleichung ausnutzen und es wird notwendig sein, dass sich die Funktion m wie O(|x|^α) und g wie O(|x|^β) für hinreichend große α, β für x→0 verhalten und die Daten klein sind.

Die Klein-Gordon-Gleichung

Bei dem linearen Anteil von (II.51) mit Inhomogenität f

u_tt(t) +u(t)−∆u(t) =f(t), t >0, u(0) =u₀,

u_t(0) =u₁

(II.52)

handelt es sich um eine Klein-Gordon-Gleichung. Wir werden Anfangswerte mit genügend Regu-larität für eine Anwendung des Sobolevschen Einbettungssatzes benötigen, um die nichtlineare Gleichung zu behandeln, und formulieren den Existenzsatz zu (II.52) deswegen direkt mit diesen hohen Regularitäten.

Theorem 62. SeiT >0und k∈N mit2k > d. Dann existiert zuu₀ ∈W^k+1,2,u₁∈W^k,2 und f ∈C⁰([0, T], W^k,2) eine eindeutige Lösung

u∈C²([0, T], W^k−1,2)∩C¹([0, T], W^k,2)∩C⁰([0, T], W^k+1,2) zu (II.52).

Als Grundlage für die Herleitung der Abklingraten dient das folgende Lemma, ein Beweis findet sich in [23].

Theorem 63. Seien N = min{2, d}. Dann existiert ein c > 0 so, dass für die Lösung u von (II.52) zuu0 ∈W^N+1,1∩W^2,2 und u1 ∈W^N,1∩W^1,2 beliebig

k(u_t, u,∇u)(t)k_∞≤c(1 +t)^−d2 k(u₁, u0,∇u₀)k_N,1 und

k(u_t, u,∇u)(t)k₂ =k(u₁, u₀,∇u₀)k₂ gilt.

Ebenfalls in [23] werden durch komplexe Interpolation die sogenanntenL^p-L^q-Abschätzungen für die Klein-Gordon-Gleichung aus diesen Ungleichungen gewonnen.

Theorem 64. Sei N = min{2, d}, 2 < q <∞, 1 < p < 2 mit ¹_p +¹_q = 1 und N_p > N(1−²_q).

Dann existiert einc >0so, dass für eine Lösunguvon (II.52) mitu0 ∈W^Np+1,pundu1∈W^Np,p beliebig

k(u_t, u,∇u)(t)k_q≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u0,∇u₀)k_N

p,p (II.53)

gilt.

Um unser Wissen über diese Abklingraten einbringen zu können, betrachten wir den Lösungs-operator zur Klein-Gordon-Gleichung.

Definition 65. Seien k∈N mit2k > d und u die zu u₁ ∈W^k,2 existierende eindeutige Lösung von

utt(t) +u(t)−∆u(t) = 0, u(0) = 0,

u_t(0) =u₁. Wir definieren den Lösungsoperatorw durch

u(t, x) = (w(t)u1)(x).

Die Abklingraten sind damit eine Eigenschaft des Operatorsw. Dieser ermöglicht auch eine handhabbare Darstellung von Lösungen zu (II.52).

Lemma 66. Seien k ∈ N mit 2k > d und T > 0. Dann gilt für die Lösung u von (II.52) zu u₀ ∈W^k+1,2, u₁ ∈W^k,2 und f ∈C⁰([0, T], W^k,2)

u(t) =∂tw(t)u0+w(t)u1+

t

Z

0

w(t−s)f(s) ds. (II.54)

Beweis. Nach der Definition vonw erfülltv⁽⁰⁾(t) :=w(t)u0 die Gleichung v⁽⁰⁾_tt (t) +v⁽⁰⁾(t)−∆v⁽⁰⁾(t) = 0,

v⁽⁰⁾(0) = 0, v⁽⁰⁾_t (0) =u₀ und es folgt, dass∂tw(t)u0

utt(t) +u(t)−∆u(t) = 0, u(0) =u₀,

u_t(0) = 0 löst. Für v^(f)(t) :=

t

R

0

w(t−s)f(s) bekommen wir

v_t^(f)(t) =w(0)f(t) +

t

Z

0

∂_tw(t−s)f(s) =

t

Z

0

∂_tw(t−s)f(s) und

v_tt^(f)(t) =∂tw(0)f(t) +

t

Z

0

∂ttw(t−s)f(s) =f(t) +

t

Z

0

∂ttw(t−s)f(s). (II.55) Daw der Lösungsoperator zu (II.52) ist, ist(∂_tt+ 1−∆)w der Nulloperator und es gilt

v_tt^(f)(t) =f(t) +

t

Z

0

(∆−1)w(t−s)f(s) =f(t) + ∆v^(f)(t)−v^(f)(t), was mit (II.55) fürv^(f)

v_tt^(f)(t) +v^(f)(t)−∆v^(f)(t) =f(t), v^(f)(0) = 0,

v_t^(f)(0) = 0 liefert. Also wird

u_tt(t) +u(t)−∆u(t) =f(t), u(0) =u₀,

ut(0) =u1

durch

u(t) =∂tw(t)u0+w(t)u1+

t

Z

0

w(t−s)f(s) ds gelöst.

A-priori Abschätzungen für die nichtlineare Gleichung

Ersetzen wir in der Lösungsdarstellung die Funktionf durch die Faltung in (II.51), so erhalten wir eine Darstellung für Lösungen dieser nichtlinearen Gleichung.

Folgerung 67. Seien k ∈N mit 2k > d, u0 ∈W^k+1,2, u1 ∈W^k,2, m, g ∈ C^k+1 mit g(0) = 0.

Dann hat die lokale Lösung

u∈C²([0, T], W^k−1,2)∩C¹([0, T], W^k,2)∩C⁰([0, T], W^k+1,2) von (II.51) in ihrem Existenzintervall die Darstellung

u(t) =∂tw(t)u0+w(t)u1−

t

Z

0

w(t−s)

s

Z

0

m(u(s−r))g(ur(r)) drds. (II.56)

Beweis. Wir definierenf(t) :=

t

R

0

m(u(t−s))g(us(s)) ds. Wie im Beweis von Theroem 42 gezeigt gilt dannf ∈C⁰([0, T], W^k,2) und uerfüllt

u_tt(t) +u(t)−∆u(t) =−f(t), u(0) =u0,

ut(0) =u1, woraus mit Lemma 66 die Darstellung folgt.

Wir zeigen zunächst eine im weiteren Verlauf notwendige Zerlegung einer gewissen Norm der Faltung.

Lemma 68. Seien α, β ∈ N, 1 < α, β , Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Sei weiterhin N = min{2, d}, 2< q < ∞, 1 < p <2 mit ¹_p = ^α−1_q +^β−1_q + ¹₂, N_p > N(1−²_q), k₁, k₀ ∈N mitk₁q > d, k₀ ≥k₁+N_p sowie 2(k₀−k₁)> dund es gelte m, g∈C^k0+1(R,R).

Dann existiert einc >0 so, dass wenn

u∈C⁰([0, T], W^k0+1,2)∩C¹([0, T], W^k0,2) und ku(t)k_∞,ku_t(t)k_∞≤Γ erfüllt sind,

t

Z

0

km(u(t−s))g(u_s(s))k_k

1+Np,p ds

≤c

t

Z

0

ku(t−s)k^α−1_k

1,q ku(s)k^β−1_k

1,q ku(t−s)k_k

0,2ku_s(s)k_k

0,2 ds in[0, T] gilt.

Beweis. Daα >1undβ >1sind, existieren˜g,m˜ ∈C^k0+1 mitg(x) =x˜g(x)undm(x) =xm(x),˜ woraus

t

Z

0

km(u(t−s))g(us(s))k_k

1+Np,p ds=

t

Z

0

km(u(t˜ −s))˜g(us(s))u(t−s)us(s)k_k

1+Np,p ds folgt.

Der Sobolevsche Einbettungssatz liefert W^k0,2 ,→ W^k1,q ,→ C_b⁰ und mit Lemma 94 und 95 bekommen wir die Beschränktheit aller im Folgenden auftretenden Normen.

Wie in [23, Lemma 7.2] mit ¹_p = ¹₂ +^α+β−2_q ergibt sich km(u(t˜ −s))˜g(u_s(s))u(t−s)u_s(s)k_k

1+Np,p

≤ckm(u(tˆ −s))ˆg(us(s))k_k

1,_α+β−2^q ku(t−s)us(s)k_k

0,2, mit Funktionen m,ˆ gˆfür diem(x) =ˆ O(|x|^α−1)und g(x) =ˆ O(|x|^β−1) gilt.

Durch Anwenden der Hölder-Ungleichung bekommen wir kˆg(u_s(s)) ˆm(u(t−s))k_k

1,_α+β−2^q ≤ km(u(tˆ −s))k_k

1,_α−1^q kˆg(u_s(s))k_k

1,_β−1^q . Ebenfalls wie in [23] folgt

km(u(tˆ −s))k_k

1,_α−1^q ≤ ku(t−s)k^α−1_k

1,q

und

kˆg(us(s))k_k

1,_β−1^q ≤ ku_s(s)k^β−1_k

1,q , womit wir

km(u(t˜ −s))˜g(u_s(s))u(t−s)u_s(s)k_k

1+Np,p

≤cku(t−s)k^α−1_k

1,q ku(s)k^β−1_k

1,qku(t−s)us(s)k_k

0,2

gezeigt haben. Lemma 91 liefert schließlich noch ku(t−s)u_s(s)k_k

0,2 ≤cku(t−s)k_k

0,2ku_s(s)k_k

0,2.

Hieraus gewinnen wir mit der Lösungsdarstellung eine erste a-priori Abschätzung füru.

Lemma 69. Seien α, β ∈ N, 1 < α, β , Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Sei weiterhin N = min{2, d}, 2 < q < ∞, 1 < p < 2 mit ¹_p = ^α−1_q + ^β−1_q + ¹₂, ¹_p + ¹_q = 1, N_p > N(1− ²_q), k₁, k₀ ∈ N mit k₁q > d, k₀ ≥ k₁ +N_p sowie 2(k₀ −k₁) > d und es gelte m, g ∈C^k0+1(R,R).

Dann existiert einc >0 so, dass für die lokale Lösung

u∈C⁰([0, T], W^k0+1,2)∩C¹([0, T], W^k0,2)

von (II.51) zu u₀ ∈W^k0+1,2∩W^k1+Np+1,p und u₁∈W^k0,2∩W^k1+Np,p k(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q ≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u0,∇u₀)k_k

1+Np,p

+c

t

Z

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

s

Z

0

km(u(s−r))g(u_r(r))k_k

1+Np,p drds

(II.57)

gilt, solange ku(t)k_∞,ku_t(t)k_∞≤Γ ist.

Beweis. Nach Beispiel 44 existiert wegen 2k0 > ddie lokale Lösung mit der angegebenen Regu-larität und wir können die Darstellungsformel (II.56) nutzen.

Sei u⁰(t) = ∂tw(t)u0. Für γ ∈ N0, |γ| ≤k1 löst ∇^γu⁰ die Klein-Gordon-Gleichung (II.52) mit

∇^γu⁰(0) =∇^γu0 sowie u⁰_t(0) = 0 und durch die Abklingraten aus Theorem 64 erhalten wir die Abschätzung

(∇^γu⁰_t,∇^γu⁰,∇∇^γu⁰)(t)

q ≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(∇^γu₀,∇∇^γu₀)k_N

p,p. Ebenso folgt füru¹(t) :=w(t)u₁ mit u¹(0) = 0sowieu¹_t(0) =u₁, dass

(∇^γu¹_t,∇^γu¹,∇∇^γu¹)(t)

q≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k∇^γu1k_N

p,p

gilt.

Für

u²(t, s) :=w(t−s)

s

Z

0

m(u(s−r))g(ur(r)) dr

istu²(s, s) = 0,u²_t(s, s) = Rs 0

m(u(s−r))g(ur(r)) dr und daher

(∇^γu²_t,∇^γu²,∇∇^γu²)(t, s)

q≤c(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

∇^γ

s

Z

0

m(u(s−r))g(ur(r)) dr Np,p

.

Unsere Darstellung (II.56) der Lösung liefert direkt

∇^γu(t) =∇^γu⁰(t) +∇^γu¹(t) +

t

Z

0

∇^γu²(t, s) ds

und

∇^γ∇u(t) =∇^γ∇u⁰(t) +∇^γ∇u¹(t) +

t

Z

0

∇^γ∇u²(t, s) ds.

Wegen

∂_t

t

Z

0

u²(t, s) ds=u²(t, t) +

t

Z

0

u²_t(t, s) ds=

t

Z

0

u²_t(t, s) ds

gilt auch

∇^γu_t(t) =∇^γu⁰_t(t) +∇^γu¹_t(t) +

t

Z

0

∇^γu²_t(t, s) ds und aus dem Abklingverhalten der Funktionenu⁰, u¹ undu² können wir

k(∇^γu_t,∇^γu,∇^γ∇u)(t)k_q ≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(∇^γu₁,∇^γu₀,∇^γ∇u₀)k_N

p,p

+c Zt

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

∇^γ Zs

0

m(u(s−r))g(u_r(r)) dr Np,p

ds schließen.

Lemma 68 liefert k∇^γm(u(s−r))g(u_r(r))k_N

p,p < ∞ und durch Summation von |γ| = 0 bis

|γ|=k₁folgt (II.57). Die Bedingungen anpundqlegen diese eindeutig fest, es giltq= 2(α+β−1) und p= _q−1^q .

Mit dem nachstehenden Lemma können wir die L²-Norm von Lösungen der nichtlinearen Gleichung (II.51) in den Griff bekommen.

Lemma 70. Seien k ∈ N mit 2k > d, m, g ∈ C^k+1(R,R) und α, β ∈ N, α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) =O(|x|^α) und g(x) =O(|x|^β) für|x| ≤Γ.

u ∈ C¹([0, T], W^k,2)∩C⁰([0, T], W^k+1,2) sei die lokale Lösung von (II.51) zu u₀ ∈ W^k+1,2, u1 ∈W^k,2 und es gelteku(t)k_∞,ku_t(t)k_∞≤Γ.

Dann existiert einc >0 unabhängig von T, u0 und u1 so, dass k(u_t, u,∇u)(t)k²_k,2 ≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k,2e^c

t

R

0

h(t,s) ds

(II.58) mit

h(t, s) :=

s

Z

0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞ dr

+ Zt

s

ku(r−s)k^α_∞ku_s(s)k^β−1_∞ +ku(s)k^α−1_∞ ku_s(r−s)k^β_∞ dr in [0, T]gilt.

Beweis. Wie im Beweis von Theorem 41 folgt ausm(0) = 0 =g(0), dassm(u(t)), g(u_t(t))∈W^k,2 gilt. Aus dem Abklingverhalten vonm undg bekommen wir analog zu (II.50)

km(u(t−s))k_k,2≤ ku(t−s)k^α−1_∞ ku(t−s)k_k,2 und

kg(u_s(s))k_k,2 ≤ ku_s(s)k^β−1_∞ ku_s(s)k_k,2.

Anwenden von ∇^γ auf die Gleichung, Multiplikation mit ∇^γut und Summation von γ = 0 bis

|γ|=k führt zu 1

2 d

dt(k(u_t, u,∇u)(t)k²_k,2)

=

wobei Lemma 95 zum Abschätzen von k∇^γ(m(u(t−s))g(us(s)))k₂ genutzt wurde. Integrieren liefert

Vertauschen der Integrationsreihenfolge und Umbenennung der Variablen im zweiten Integral ergibt nun

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k,2− k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k,2

≤c

t

Z

0 s

Z

0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞

drk(u_s, u,∇u)(s)k²_k,2 ds

+c

t

Z

0 t

Z

r

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞

dsk(u_r, u,∇u)(r)k²_k,2 dr

=c

t

Z

0 s

Z

0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞

drk(u_s, u,∇u)(s)k²_k,2 ds

+c

t

Z

0 t

Z

s

ku(r−s)k^α_∞ku_s(s)k^β−1_∞ +ku(s)k^α−1_∞ ku_s(r−s)k^β_∞

drk(u_s, u,∇u)(s)k²_k,2 ds.

Die Funktion

h(t, s) :=

Zs 0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞ dr

+

t

Z

s

ku(r−s)k^α_∞ku_s(s)k^β−1_∞ +ku(s)k^α−1_∞ ku_s(r−s)k^β_∞ dr ist in tmonoton wachsend für festessund wir erhalten durch Anwenden von Lemma 96

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k,2≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k,2e^c

t

R

0

h(t,s) ds

.

Beschränktheit der lokalen Lösung

Setzen wir unsere Resultate aus Lemma 68 und 70 mitk=k₀ in Gleichung (II.57) ein, erhalten wir

k(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q

≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u0,∇u₀)k_k

1+Np,p

+c

t

Z

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

s

Z

0

ku(s−r)k^α−1_k

1,q ku(r)k^β−1_k

1,q ku(s−r)k_k

0,2ku_r(r)k_k

0,2 drds

≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p

+ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2 (II.59)

·

t

Z

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

s

Z

0

ku(s−r)k^α−1_k

1,q ku(r)k^β−1_k

1,qe

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

drds.

Definition 71. Den maximalen Wert, den die mit dem Faktor (1 +s)^d2(1−2q) gewichtete W^k1,q -Norm (q > 2, k₁ ∈ N) der lokalen Lösung in [0, t] (0 ≤ t ≤ T) annimmt, bezeichnen wir als Mk1,q(t),

Mk1,q(t) := sup

s∈[0,t]

(1 +s)^d2(1−2q)k(u_s, u,∇u)(s)k_k

1,q.

Wir werden aus unserer Abschätzung für u nun eine Ungleichung fürM_k1,q(t) herleiten und zeigen, dass diese Größe unabhängig vonT beschränkt bleibt, wenn die Norm der Anfangsdaten hinreichend klein ist. Aus Lemma 70 folgt dann wegen k1q > d, dass auch die W^k0,2-Norm gleichmäßig beschränkt ist und wir unsere lokale Lösung somit global fortsetzen können.

Lemma 72. Seien k1 ∈N, q > 2 mit k1q > d, u ∈ C⁰([0, T], W^k1+1,q)∩C¹([0, T], W^k1,q) und α, β >1 mit min{α.β}>1 +²_dq−2^q .

Dann existiert einc >0, das nicht von T oder u abhängt, mit

e

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

≤e^c(^Mk1,q(t))^α+β−1,

wobei 0≤s−r ≤t≤T und 0≤r ≤t≤T ist und h(s, r) wie in Lemma 70 definiert ist.

Beweis. Die Gleichung für h(t, s)lautet

h(t, s) =

s

Z

0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞ dr

+

t

Z

s

ku(r−s)k^α_∞ku_s(s)k^β−1_∞ +ku(s)k^α−1_∞ ku_s(r−s)k^β_∞ dr.

(II.60)

Mitz:= ^d₂(1−²_q)bezeichnen wir die Zerfallsrate der linearen Gleichung. Es gilt

t

Z

0 s

Z

0

ku(s−r)k^α_∞ku_r(r)k^β−1_∞ drds

=

t

Z

0 s

Z

0

(1 +s−r)^−αz(1 +s−r)^αzku(s−r)k^α_∞(1 +r)^−(β−1)z(1 +r)^(β−1)zku_r(r)k^β−1_∞ drds

≤c

t

Z

0 s

Z

0

(1 +s−r)^−αz(1 +s−r)^αzku(s−r)k^α_k

1,q(1 +r)^−(β−1)z(1 +r)^(β−1)zku_r(r)k^β−1_k

1,q drds

≤c

t

Z

0 s

Z

0

(1 +s−r)^−αz(Mk1,q(s−r))^α(1 +r)^−(β−1)z(Mk1,q(r))^β−1 drds

≤c(M_k1,q(t))^α+β−1

t

Z

0 s

Z

0

(1 +s−r)^−αz(1 +r)^−(β−1)zdrds

=c(M_k1,q(t))^α+β−1

t

Z

0 t

Z

r

(1 +s−r)^−αz(1 +r)^−(β−1)zdsdr

=c(Mk1,q(t))^α+β−1 1 αz−1

t

Z

0

1−(1 +t−r)^1−αz

(1 +r)^−(β−1)zdr

≤c(M_k1,q(t))^α+β−1 1

(αz−1)((β−1)z−1), (II.61)

wobei wirαz >(α−1)z >1 und (β−1)z >1genutzt haben. Analog folgt

t

Z

0 s

Z

0

ku(r)k^α−1_∞ ku_r(s−r)k^β_∞ drds≤c(Mk1,q(t))^α+β−1 1

((α−1)z−1)(βz−1). (II.62) Außerdem erhalten wir

t

Z

0 t

Z

s

ku(r−s)k^α_∞ku_s(s)k^β−1_∞ drds

=

t

Z

0

(1 +s)^−(β−1)z(1 +s)^(β−1)zku_s(s)k^β−1_∞

t

Z

s

(1 +r−s)^−αz(1 +r−s)^αzku(r−s)k^α_∞ drds

≤c(M_k1,q(t))^α+β−1 Zt 0

(1 +s)^−(β−1)z Zt

s

(1 +r−s)^−αzdrds

≤c(M_k1,q(t))^α+β−1 1

(αz−1)((β−1)z−1) (II.63)

und

t

Z

0 t

Z

s

ku(s)k^α−1_∞ ku_s(r−s)k^β_∞ drds≤c(M_k1,q(t))^α+β−1 1

(αz−1)((β−1)z−1). (II.64) Einsetzen von (II.61), (II.62), (II.63) und (II.64) in (II.60) liefert die Abschätzung

t

Z

0

h(t, s) ds≤c(Mk1,q(t))^α+β−1 4

(αz−1)((β−1)z−1) und somit erhalten wir für0≤s−r ≤tund 0≤r≤t

e

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

≤e^c(^Mk1,q(s−r))^α+β−1e^c(^Mk1,q(r))^α+β−1

≤e^c(^Mk1,q(t))^α+β−1.

Durch Multiplikation unserer Abschätzung (II.59) mit(1+t)^d2(1−2q)und bilden des Supremums gelangen wir mit Lemma 72 zu

Mk1,q(t)≤ck(u₁, u0,∇u₀)k_k

1+Np,p

+ce^c(^Mk1,q(t))^α+β−1k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2 (II.65)

· sup

s∈[0,t]

s

Z

0

(1 +s)^d2(1−2q)(1 +s−r)^{−d2(1−2q)}

r

Z

0

ku(r−τ)k^α−1_k

1,q ku(τ)k^β−1_k

1,qdτdr.

Den jetzt noch vorkommenden Integralterm werden wir im folgenden Lemma ebenfalls gegen einen Ausdruck inM_k1,q(t) abschätzen.

Lemma 73. Seien k₁∈N,q >2 mit k₁q > d, α, β >1 mitmin{α, β}>1 +²_dq−2^q . Dann existiert einc >0 so, dass für u∈C⁰([0, T], W^k1,q) (T >0 beliebig)

sup

s∈[0,t]

s

Z

0

(1 +s)^d2(1−2q)(1 +s−r)^{−d2(1−2q)}

r

Z

0

ku(r−τ)k^α−1_k

1,q ku(τ)k^β−1_k

1,q dτdr≤c(M_k1,q(t))^α+β−2 gilt.

Beweis. Wir nutzen erneut die Bezeichnung z= ^d₂(1− ²_q) und setzenγ := min{α.β}.

r

Z

0

ku(r−τ)k^α−1_k

1,q ku(τ)k^β−1_k

1,qdτ

≤(M_k1,q(r))^α−1(M_k1,q(r))^β−1

r

Z

0

(1 +r−τ)^−(α−1)z(1 +τ)^−(β−1)zdτ

≤(Mk1,q(r))^α+β−2

r

Z

0

(1 +r−τ)^−(γ−1)z(1 +τ)^−(γ−1)zdτ

≤(M_k1,q(t))^α+β−2 2^(γ−1)z

(γ−1)z−1(1 +r)^−(γ−1)z.

Außerdem ist nach [23, Lemma 7.4]

s

Z

0

(1 +s)^d2(1−2q)(1 +s−r)^{−d2(1−2q)}(1 +r)^−(γ−1)zdr ≤c

für 1<(γ−1)z= (γ−1)^d₂(1−²_q), was äquivalent zuγ >1 +²_dq−2^q ist.

Insgesamt folgt jetzt aus (II.65) die Ungleichung M_k1,q(t)≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p

+ck(u₁, u0,∇u₀)k²_k

0,2(M_k1,q(t))^α+β−2e^c(^Mk1,q(t))^α+β−1,

(II.66) mit der wir die Beschränktheit von M_k1,q(t) zeigen können.

Lemma 74. Mk1,q(t) erfülle die Ungleichung (II.66) in [0, T] mitT >0 beliebig.

Sindk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

0,2 und k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p hinreichend klein, so existiert ein von T un-abhängigesc >0 mit M_k1,q(t)≤c.

Beweis. Wir definieren zu c₁, c₂ >0 die Funktion f :R→R,

x7→c₁k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p+c₂k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2x^α+β−2e^cxα+β−1 −x, woraus

f⁰(x) =c1k(u₁, u0,∇u₀)k²_k

0,2(α+β−2)x^α+β−3e^cxα+β−1 +c2k(u₁, u0,∇u₀)k²_k

0,2x^2(α+β−2)c(α+β−1)e^cxα+β−1 −1

folgt. Damit giltf(0) = 0sowief⁰(0) =−1. Dies bedeutet, dassf eine kleinste Nullstellex₀ >0 mitf⁰(x₀)<0besitzt, wennc₁k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,pundc₂k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2hinreichend klein sind.

(II.66) liefert 0≤M_k1,q(t)≤f ◦M_k1,q(t) für allet. Hieraus folgt M_k1,q(t)≤ max

x∈[0,x₀]f(x), wennM_k1,q(0)≤x0 gilt, daf◦M_k1,q stetig ist.

Globale Lösbarkeit

Fassen wir die Ergebnisse der vorherigen Hilfssätze zusammen, bekommen wir nun unseren glo-balen Existenzsatz.

Theorem 75. Seien α, β ∈ N, α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Weiterhin seien N = min{2, d}, q = 2(α+β−1), p = _q−1^q , Np > N(1− ²_q), k0, k1 ∈ N mit k₁> N_p, k₁q > d, k₀≥k₁+N_p sowie 2(k₀−k₁)> d und m, g∈C^k0+1(R,R).

Ist

d

2 > 1 min{α.β} −1

1 + 1

α+β−2

und sindk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

0,2 sowie k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p hinreichend klein, so existiert eine glo-bale Lösung

u∈C⁰([0,∞), W^k0+1,2)∩C¹([0,∞), W^k0,2)∩C²([0,∞), W^k0−1,2) zu (II.51) und es gibt einc >0 mit

k(u_t, u,∇u)(t)k_k

0,2≤c,

k(u_t, u,∇u)(t)k_∞≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}.

Beweis. Nach Beispiel 44 existiert ein T₀ >0 und eine lokale Lösung u∈C⁰([0, T₀], W^k0+1,2)∩ C¹([0, T0], W^k0,2)∩C²([0, T0], W^k0−1,2) zu (II.51).

Nach Voraussetzung istmin{α, β} −1> ²_d^α+β−1_α+β−2, also ist (II.66) erfüllt.

Aus Lemma 70 und 74 folgt fürk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

0,2 und k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p hinreichend klein k(u_t, u,∇u)(t)k²_k

0,2≤ck(u₁, u0,∇u₀)k²_k

0,2e^cMk1,q(t)

≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2

(II.67) in[0, T0], wobei die Konstante unabhängig von t und T0 ist. Dies liefert auchku(t)k_∞ ≤Γ für genügend kleine Daten.

Daher kann u nach Theorem 49 zu einer Lösung in [0, T₀ + ∆T] für ein ∆T > 0 fortgesetzt werden. Die Abschätzung (II.67) ist unabhängig vonT₀, also gilt sie auch für jedes ∆T > 0 in [0, T0+ ∆T]und wir können die Lösung mit Theorem 49 auf [0,∞) erweitern, wobei wir auch die gleichmäßige Beschränktheit in derW^k0,2-Norm erhalten. Aus

sup

s∈[0,t]

(1 +s)^d2(1−2q)k(u_s, u,∇u)(s)k_k

1,q =M_k1,q(t)≤c bekommen wir zudem das Abklingverhalten

k(u_t, u,∇u)(t)k_∞≤ck(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q ≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}.

II.2.2 Quasilineare Gleichung II.2.2.1 Lineare Kernfunktionen Für die Gleichung (II.6)

utt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

u(t−s)∆g(u(s)) ds=f(t), t >0, u(0) =u₀,

u_t(0) =u₁

erhalten wir für lineare Funktionen ebenfalls die globale Existenz zu beliebigen Daten im Ganz-raumfall.

Theorem 76. Gilt

g(x) =x und m(x) =c1x

mit c1 ∈ R, so existiert zu u0 ∈W^k+2,2, u1 ∈W^k+1,2 und f ∈C⁰([0,∞), W^k+1,2) beliebig eine eindeutige Lösung

u∈C⁰([0,∞), W^k+2,2)∩C¹([0,∞), W^k+1,2)∩C²([0,∞), W^k,2) zu (II.6).

Beweis. Zu der nach Theorem 51 existierenden lokalen Lösung

u∈C⁰([0, T], W^k+2,2)∩C¹([0, T], W^k+1,2)∩C²([0, T], W^k,2) von (II.6) zeigen wir die a-priori Beschränktheit in [0,2T].

Seien zunächstu0 ∈W^k+3,2 und u1 ∈W^k+2,2 und f ∈C⁰([0,∞), W^k+2,2), dann gilt u∈C¹([0, T], W^k+2,2)∩C⁰([0, T], W^k+3,2).

Wir erhalten für|α| ≤k+ 1 1

2k(∇^αu_t,∇^αu,∇^α∇u)(t)k²₂ =1

2k(∇^αu₁,∇^αu₀,∇^α∇u₀)k²₂+

t

Z

0

h∇^αf(s),∇^αu_s(s)i ds

−c1 t

Z

0

*

∇^α

s

Z

0

u(s−r)∆u(r) dr,∇^αus(s) +

ds

und durch partielle Integration in Zeit und Ort folgt wie im Beweis zu Theorem 51 1

2k(∇^αut,∇^αu,∇^α∇u)(t)k²₂

= 1

2k(∇^αu1,∇^αu0,∇^α∇u₀)k²₂+

t

Z

0

h∇^αf(s),∇^αus(s)ids

+c₁

t

Z

0 s

Z

0

h∇^α(∇u(s−r)∇u(r)),∇^αu_s(s)i drds+c₁

t

Z

0

h∇^α(u(t−r)∇u(r)),∇^α∇u(t)i dr

−c1 t

Z

0

h∇^α(u(0)∇u(s)),∇^α∇u(s)i ds+c1 t

Z

0

* ^s Z

0

∇^α(us(s−r)∇u(r)) dr,∇^α∇u(s) +

ds.

Doppelintegrale von dieser Form haben wir im Beweis von Theorem 55 behandelt und können sie gegen einfache Integrale überk∇^αu_s(s)k²₂ undk∇^α∇u(s)k²₂ abschätzen. Es gilt nach Summation

überα

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2

≤ k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k+1,2+c(1 +t)

t

Z

0

k∇u(s)k²_k+1,2+ku_s(s)k²_k+1,2 ds+

t

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds

+cku₀k²_k+1,2

t

Z

0

k∇u(s)k²_k+1,2 ds+ 2c1 k+1

X

|α|=0

k∇^α∇u(t)k₂

t

Z

0

k∇^α(u(t−r)∇u(r))k₂ dr

≤ k(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2+c(1 +ku₀k²_k+1,2+t)

t

Z

0

k∇u(s)k²_k+1,2+ku_s(s)k²_k+1,2 ds

+

t

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds+ 1

2k∇u(t)k²_k+1,2+ 2c²₁





t

Z

0

ku(t−r)k_k+1,2k∇u(r)k_k+1,2 dr





2

≤ k(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2+c(1 +ku₀k²_k+1,2+t)

t

Z

0

k∇u(s)k²_k+1,2+ku_s(s)k²_k+1,2 ds

+

t

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds+ 1

2k∇u(t)k²_k+1,2+ 2c²₁t

t

Z

0

ku(t−r)k²_k+1,2k∇u(r)k²_k+1,2 dr.

Die Faltung ergibt sich zu

t

Z

0

ku(t−r)k²_k+1,2k∇u(r)k²_k+1,2 dr

=

T

Z

0

ku(t−r)k²_k+1,2k∇u(r)k²_k+1,2 dr+

t

Z

T

ku(t−r)k²_k+1,2k∇u(r)k²_k+1,2 dr

≤c

T

Z

0

ku(t−r)k²_k+1,2+c

t

Z

T

k∇u(r)k²_k+1,2 dr

≤c

t

Z

0

ku(t−r)k²_k+1,2+k∇u(r)k²_k+1,2 dr

und damit haben wir insgesamt

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2 ≤2k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k+1,2+ 2

t

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds

+c(1 +ku₀k²_k+1,2+t)

t

Z

0

k∇u(s)k²_k+1,2+ku_s(s)k²_k+1,2 ds,

woraus mit Lemma 96 k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2≤2



k(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2+

2T

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds



e^{c(1+ku0k2k+1,2+T)T} in[T,2T]und hierdurch auch die Existenz der Fortsetzung folgt.

Sind nunu₀∈W^k+2,2,u₁ ∈W^k+1,2 und

u∈C¹([0, T], W^k+1,2)∩C⁰([0, T], W^k+2,2)

die Lösung zu diesen Daten, so können wir Folgen (u⁽ⁿ⁾₀ )n ⊂ W^k+3,2, (u⁽ⁿ⁾₁ )n ⊂ W^k+2,2 und (f_n)_n ∈C⁰([0,2T], W^k+2,2) wählen mit u⁽ⁿ⁾₀ →u₀ in W^k+2,2,u⁽ⁿ⁾₁ →u₁ inW^k+1,2 und f_n→ f inC⁰([0,2T], W^k+1,2).

Aus dem Beweis von Theorem 51 folgt, dass die zugehörigen Lösungen (u⁽ⁿ⁾)_nim Existenzinter-vall vonu gegen diese Funktion konvergieren, und daher ist dort

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2

= lim

n→∞

(u⁽ⁿ⁾_t , u⁽ⁿ⁾,∇u⁽ⁿ⁾)(t)

2 k+1,2

≤ lim

n→∞2





(u⁽ⁿ⁾₁ , u⁽ⁿ⁾₀ ,∇u⁽ⁿ⁾₀ )

2 k+1,2+

2T

Z

0

kf_n(s)k²_k+1,2 ds



e^c

1+

u⁽ⁿ⁾₀

2 k+1,2+T

T

= 2



k(u₁, u₀,∇u₀)k²_k+1,2+

2T

Z

0

kf(s)k²_k+1,2 ds



e^{c(1+ku0k2k+1,2+T)T} erfüllt. Also existiert nach Theorem 54 die Fortsetzung vonu in[0,2T].

II.2.2.2 Ungedämpftes lineares System

Die Methode die wir genutzt haben, um die globale Lösbarkeit von (II.51) im Ganzraum für kleine Daten zu zeigen, können wir auch auf die Gleichung

utt(t) +u(t)−∆u(t) +

t

Z

0

m(u(t−s))∆g(u(s)) ds= 0, t >0, u(0) =u₀,

ut(0) =u1

(II.68)

anwenden. Wir werden dabei erneut annehmen, dass die Funktionenm und g ein hinreichendes Abklingverhalten haben und die Anfangsdaten klein sind.

Da der lineare Anteil mit dem von (II.51) übereinstimmt, können wir die Resultate aus II.2.1.3 übernehmen und direkt die nichtlineare Gleichung behandeln.

A-priori Abschätzungen für die nichtlineare Gleichung (II.54) liefert uns auch hier eine Darstellung für Lösungen zu (II.68).

Folgerung 77. Seienk∈Nmit2k > d, u₀ ∈W^k+2,2,u₁ ∈W^k+1,2,m, g ∈C^k+3. Dann hat die lokale Lösung

u∈C²([0, T], W^k.2)∩C¹([0, T], W^k+1.2)∩C⁰([0, T], W^k+2.2) von (II.68) in ihrem Existenzintervall die Darstellung

u(t) =∂_tw(t)u₀+w(t)u₁−

t

Z

0

w(t−s)

s

Z

0

m(u(s−r))∆g(u(r)) drds. (II.69)

Beweis. Die durch f(t) :=

t

R

0

m(u(t−s))∆g(u(s)) dsdefinierte Funktion liegt inC⁰([0, T], W^k,2) undu erfüllt

u_tt(t) +u(t)−∆u(t) =−f(t), u(0) =u₀,

ut(0) =u1, woraus mit Lemma 66 die Darstellung folgt.

Um dieL^p-L^q-Abschätzung der nichtlinearen Gleichung zu bekommen, müssen wir zunächst die Faltung wie in Lemma 68 zerlegen, da dies auchm(u(t−s))∆g(u(s))∈W^k1+Np,p liefert.

Lemma 78. Seien α, β ∈ N, α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Sei weiterhin N = min{2, d}, 2< q < ∞, 1 < p <2 mit ¹_p = ^α−1_q +^β−1_q + ¹₂, Np > N(1−²_q), k1, k0 ∈ N mit k1 > Np, k1q > d, k0 ≥ k1 +Np + 1 sowie 2(k0 − k1) > d und es gelte m, g∈C^k0+1(R,R).

Dann existiert ein c > 0 so, dass wenn u(t) ∈ W^k0+1,2 für t ∈ [0, T] (T > 0 beliebig) und ku(t)k_∞,k∇u(t)k_∞≤Γ erfüllt sind,

t

Z

0

km(u(t−s))∆g(u(s))k_k

1+Np,p ds

≤c

t

Z

0

ku(t−s)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(s)k^β−1_k

1,qku(t−s)k_k

0,2k(u,∇u)(s)k_k

0,2 ds in[0, T] gilt.

Beweis. Die Voraussetzungen an k₁, k₀ implizierenW^k0,2 ,→W^k1,q ,→C_b⁰. Es gilt∆g(u(s)) =g⁰⁰(u(s))(∇u(s))²+g⁰(u(s))∆u(s)und damit

km(u(t−s))∆g(u(s))k_k

1+Np,p≤c

m(u(t−s))g⁰⁰(u(s))(∇u(s))² k1+Np,p

+c

m(u(t−s))g⁰(u(s))∆u(s)

k1+Np,p.

Jetzt können wir für beide Summanden eine Ungleichung wie (II.57) für die lokale Lösung her-leiten, es folgt

km(u(t−s))∆g(u(s))k_k

1+Np,p

≤ ku(t−s)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(s)k^β−1_k

1,q ku(t−s)k_k

0−1,2k(u,∇u,∆u)(s)k_k

0−1,2

≤ ku(t−s)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(s)k^β−1_k

1,q ku(t−s)k_k

0,2k(u,∇u)(s)k_k

0,2.

Mit der Zerlegung der Faltung bekommen wir nun eine erste Abschätzung vonu.

Lemma 79. Seien α, β ∈ N, α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Seien weiterhin N = min{2, d}, q = 2(α+β −1) , p = _q−1^q , Np > N(1− ²_q), k1, k0 ∈ N mit k₁> N_p, k₁q > d, k₀≥k₁+N_p+ 1 sowie 2(k₀−k₁)> d und es geltem, g ∈C^k0+2(R,R).

Dann existiert einc >0 so, dass für die lokale Lösung

u∈C⁰([0, T], W^k0+1,2)∩C¹([0, T], W^k0,2)

von (II.68) zu u₀ ∈W^k1+Np+1,p∩W^k0+1,2 und u₁ ∈W^k1+Np,p∩W^k0,2 beliebig k(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q

≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u0,∇u₀)k_k

1+Np,p

+c

t

Z

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

s

Z

0

ku(s−r)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(r)k^β−1_k

1,q

· ku(s−r)k_k

0,2k(u,∇u)(r)k_k

0,2 drds

(II.70)

gilt, solange ku(t)k_∞,k∇u(t)k_∞≤Γ ist.

Beweis. Unter den Voraussetzungen existiert die angegebene lokale Lösung und wie in Lemma 69 gilt

k(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p

+c

t

Z

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)}

s

Z

0

km(u(s−r))∆g(u(r))k_k

1+Np,p drds, was mit Lemma 78 die Abschätzung (II.70) liefert.

Bei der Abschätzung der L²-Norm der lokale Lösung erhalten wir hier zusätzliche Terme im Vergleich zu (II.58).

Lemma 80. Seien k ∈ N mit 2k > d, m, g ∈ C^k+3(R,R) und α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) sowie g(x) =O(|x|^β) für|x| ≤Γ.

u ∈ C¹([0, T], W^k+1,2)∩C⁰([0, T], W^k+2,2) sei die lokale Lösung von (II.68) zu u₀ ∈ W^k+2,2,

u₁ ∈W^k+1,2 mit ku(t)k_∞,k∇u(t)k_∞<Γ. der Zeit liefert

1

Analog zum semilinearen Fall ist

k+1

X

|γ|=0 t

Z

0

*

∇^γ

s

Z

0

∇m(u(s−r))∇g(u(r)) dr,∇^γus(s) +

ds

≤c

t

Z

0 s

Z

0

k(u,∇u)(s−r)k^α_∞k(u,∇u)(r)k^β−1_∞ +k(u,∇u)(r)k^α−1_∞ k(u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +c

t

Z

0 t

Z

s

k(u,∇u)(r−s)k^α_∞k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ +k(u,∇u)(s)k^α−1_∞ k(u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds

und

k+1

X

|γ|=0 t

Z

0

*

∇^γ

s

Z

0

m⁰(u(s−r))u_s(s−r)∇g(u(r)) dr,∇∇^γu(s) +

ds

≤c

t

Z

0 s

Z

0

k(u, u_s)(s−r)k^α_∞k(u,∇u)(r)k^β−1_∞ +k(u, u_r)(r)k^α−1_∞ k(u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +c

Zt 0

Zt s

k(u, u_s)(r−s)k^α_∞k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ +k(u, u_s)(s)k^α−1_∞ k(u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds.

Außerdem gilt

k+1

X

|γ|=0 t

Z

0

h∇^γ(m(u(0))∇g(u(s))),∇∇^γu(s)i ds≤c

t

Z

0

k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds,

wobei die Konstante vonΓ aber nicht vonu₀ abhängt, sowie

k+1

X

|γ|=0

*

∇^γ

t

Z

0

m(u(t−r))∇g(u(r)) dr,∇∇^γu(t) +

≤

t

Z

0

m(u(t−r))∇g(u(r)) dr

2

k+1,2

+1

4k∇u(t)k²_k+1,2

≤t

t

Z

0

km(u(t−r))∇g(u(r))k²_k+1,2 dr+1

4k∇u(t)k²_k+1,2

≤ct

t

Z

0

(ku(t−r)k^α_∞k(u,∇u)(r)k^β−1_∞ +ku(r)k^α−1_∞ k(u,∇u)(t−r)k^β_∞)²k(u,∇u)(r)k²_k+1,2 dr +1

4k∇u(t)k²_k+1,2.

Einsetzen dieser Abschätzungen in (II.72) ergibt k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2

≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k+1,2+c Zt 0

k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds

+c

t

Z

0 s

Z

0

k(u,∇u)(s−r)k^α_∞k(u,∇u)(r)k^β−1_∞ +k(u,∇u)(r)k^α−1_∞ k(u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +c

t

Z

0 t

Z

s

k(u,∇u)(r−s)k^α_∞k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ +k(u,∇u)(s)k^α−1_∞ k(u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +c

t

Z

0 s

Z

0

k(u, u_s)(s−r)k^α_∞k(u,∇u)(r)k^β−1_∞ +k(u, u_r)(r)k^α−1_∞ k(u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +c

t

Z

0 t

Z

s

k(u, u_s)(r−s)k^α_∞k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ +k(u, u_s)(s)k^α−1_∞ k(u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr

· k(u_s, u,∇u)(s)k²_k+1,2 ds +ct

t

Z

0

(ku(t−r)k^2α_∞k(u,∇u)(r)k^2(β−1)_∞ +ku(r)k^2(α−1)_∞ k(u,∇u)(t−r)k^2β_∞)k(u,∇u)(r)k²_k+1,2 dr.

Dat(ku(t−r)k^2α_∞k(u,∇u)(r)k^2(β−1)_∞ +ku(r)k^2(α−1)_∞ k(u,∇u)(t−r)k^2β_∞)für festesr nicht als mo-noton wachsend in t angenommen werden kann, müssen wir diesen Ausdruck zur Anwendung

von Lemma 96 modifizieren und erhalten dann mit h(t, s) :=

k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ + sup

s≤r≤t

r(ku(r−s)k^2α_∞k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ +ku(s)k^2(α−1)_∞ k(u,∇u)(r−s)k^2β_∞)

+

s

Z

0

k(u_s, u,∇u)(s−r)k^α_∞k(u_r, u,∇u)(r)k^β−1_∞ +k(u_r, u,∇u)(r)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

+

t

Z

s

k(u_s, u,∇u)(r−s)k^α_∞k(u_s, u,∇u)(s)k^β−1_∞ +k(u_s, u,∇u)(s)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr, dass

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2≤ck(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2e

c

t

R

0

h(t,s) ds

(II.73) gilt.

Sind nunm, g ∈C^k+3(R,R),u₀ ∈W^k+2,2,u₁ ∈W^k+1,2 und

u∈C¹([0, T], W^k+1,2)∩C⁰([0, T], W^k+2,2)

die Lösung von (II.68) zu diesen Daten, so können wir Folgen (m_n)_n,(g_n)_n ⊂ C^k+4(R,R), (u⁽ⁿ⁾₀ )n ⊂W^k+3,2 und (u⁽ⁿ⁾₁ )n ⊂W^k+2,2 wählen mit mn →m, gn →g inC^k+3(R,R),u⁽ⁿ⁾₀ →u0

inW^k+2,2 undu⁽ⁿ⁾₁ →u₁ inW^k+1,2. Aus dem Beweis von Theorem 51 folgt, dass die zugehörigen Lösungen(u⁽ⁿ⁾)ninC¹([0, T], W^k+1,2)∩C⁰([0, T], W^k+2,2)gegenu konvergieren. Somit konver-giert auchu auch inC¹([0, T], C_b¹)∩C⁰([0, T], C_b²)und da die Konstantecin (II.73) nur von der C^k+3-Norm von mund g abhängt, gilt

k(u_t, u,∇u)(t)k²_k+1,2 = lim

n→∞

(u⁽ⁿ⁾_t , u⁽ⁿ⁾,∇u⁽ⁿ⁾)(t)

2 k+1,2

≤ lim

n→∞c

(u⁽ⁿ⁾₁ , u⁽ⁿ⁾₀ ,∇u⁽ⁿ⁾₀ )

2 k+1,2e^c

t

R

0

h⁽ⁿ⁾(t,s) ds

=ck(u₁, u0,∇u₀)k²_k+1,2e

c

t

R

0

h(t,s) ds

.

Hierbei haben wir genutzt, dass ku(t)k_∞,k∇u(t)k_∞ <Γ ist und so ab einem n₀ ∈ N ebenfalls

u⁽ⁿ⁾(t) _∞,

∇u⁽ⁿ⁾(t)

_∞≤Γ ist.

Beschränktheit der lokalen Lösung

Einsetzen von (II.71) mitk=k₀−1in (II.70) führt zu k(u_t, u,∇u)(t)k_k

1,q

≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p

+ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2 (II.74)

· Zt

0

(1 +t−s)^{−d2(1−2q)} Zs 0

ku(s−r)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(r)k^β−1_k

1,q e

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

drds.

Nun betrachten wir erneutM_k1,q(t)aus Definition 71.

Lemma 81. Seien k₁ ∈ N, q > 2 mit k₁q > d, u ∈ C⁰([0, T], W^k1,q) und α, β > 1 mit min{α.β}>1 +²_dq−2^q .

Dann existiert einc >0, das nicht von T oder u abhängt mit e

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

≤e^{c((Mk1,q(t))2(α+β−1)+(Mk1,q(t))α+β−1+(Mk1,q(t))β−1)} wobei 0≤s−r ≤t≤T und 0≤r ≤t≤T ist und h wie in Lemma 70 definiert ist.

Beweis. Die Gleichung für h(t, s)lautet h(t, s) =k(u,∇u)(s)k^β−1_∞

+ sup

s≤r≤t

r(ku(r−s)k^2α_∞k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ +ku(s)k^2(α−1)_∞ k(u,∇u)(r−s)k^2β_∞)

+

s

Z

0

k(u_s, u,∇u)(s−r)k^α_∞k(u_r, u,∇u)(r)k^β−1_∞ dr

+

s

Z

0

k(u_r, u,∇u)(r)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(s−r)k^β_∞ dr

+

t

Z

s

k(u_s, u,∇u)(r−s)k^α_∞k(u_s, u,∇u)(s)k^β−1_∞ dr

+ Zt

s

k(u_s, u,∇u)(s)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(r−s)k^β_∞ dr.

(II.75)

Wie im Beweis von Lemma 72 bekommen wir

t

Z

0 s

Z

0

k(u_s, u,∇u)(s−r)k^α_∞k(u_r, u,∇u)(r)k^β−1_∞

+k(u_r, u,∇u)(r)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(s−r)k^β_∞ drds +

t

Z

0 t

Z

s

k(u_s, u,∇u)(r−s)k^α_∞k(u_s, u,∇u)(s)k^β−1_∞

+k(u_s, u,∇u)(s)k^α−1_∞ k(u_s, u,∇u)(r−s)k^β_∞ drds

≤c(M_k1,q(t))^α+β−1 (II.76)

mitz= ^d₂(1−²_q). Außerdem ist wegen(β−1)z >1

t

Z

0

k(u,∇u)(s)k^β−1_∞ ds≤

t

Z

0

(1 +s)^−(β−1)z(1 +s)^(β−1)zk(u,∇u)(s)k^β−1_∞ ds

≤c(M_k1,q(t))^β−1

t

Z

0

(1 +s)^−(β−1)zds

≤c(M_k1,q(t))^β−1. (II.77)

Für den verbliebenen Term haben wir

t

Z

0

sup

s≤r≤t

rku(r−s)k^2α_∞k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤

t

Z

0

sup

s≤r≤t

r(1 +r−s)^−2αz(1 +r−s)^2αzku(r−s)k^2α_∞k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤

t

Z

0

sup

s≤r≤t

r(1 +r−s)^−2αz(M_k1,q(r−s))^2αk(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤(Mk1,q(t))^2α

t

Z

0

sup

s≤r≤t

r(1 +r−s)^−2αzk(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds. (II.78) Es ist 2αz >1und daher

sup

s≤r≤t

r(1 +r−s)^−2αz = sup

s≤r≤t

r−s+s (1 +r−s)^2αz

=s sup

s≤r≤t

1

(1 +r−s)^2αz + sup

s≤r≤t

r−s (1 +r−s)^2αz

≤s+ sup

0≤r<∞

r−s (1 +r−s)^2αz

≤s+c, also ergibt sich aus (II.78)

t

Z

0

sup

s≤r≤t

rku(r−s)k^2α_∞k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤c(M_k1,q(t))^2α

t

Z

0

(1 +s)k(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤c(M_k1,q(t))^2α Zt 0

(1 +s)(1 +s)^{−2(β−1)z}(1 +s)^2(β−1)zk(u,∇u)(s)k^2(β−1)_∞ ds

≤c(Mk1,q(t))^2(α+β−1)

t

Z

0

(1 +s)^{−2(β−1)z+1}ds

≤c(Mk1,q(t))^2(α+β−1), (II.79)

weil2(β−1)z−1>1aus(β−1)z >1 folgt. Ebenso ist

t

Z

0

sup

s≤r≤t

rku(s)k^2(α−1)_∞ k(u,∇u)(r−s)k^2β_∞ ds≤c(M_k1,q(t))^2(α+β−1).

Einsetzen in (II.75) liefert mit (II.76), (II.77) und (II.79)

t

Z

0

h(t, s) ds≤c((M_k1,q(t))^2(α+β−1)+ (M_k1,q(t))^α+β−1+ (M_k1,q(t))^β−1) und damit

e

c

s−r

R

0

h(s−r,τ)dτ

e

c

r

R

0

h(r,τ)dτ

≤e^{c((Mk1,q(t))2(α+β−1)+(Mk1,q(t))α+β−1+(Mk1,q(t))β−1)}.

Aus (II.74) erhalten wir mit diesem Lemma durch bilden des Supremums in [0, t]

M_k1,q(t)≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p

+ck(u₁, u0,∇u₀)k²_k

0,2e^{c((Mk1,q(t))2(α+β−1)+(Mk1,q(t))α+β−1+(Mk1,q(t))β−1)}

· sup

s∈[0,t]

s

Z

0

(1 +s)^d2(1−2q)(1 +s−r)^{−d2(1−2q)}

r

Z

0

ku(r−τ)k^α−1_k

1,q k(u,∇u)(τ)k^β−1_k

1,qdτdr

≤ck(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p+ck(u₁, u₀,∇u₀)k²_k

0,2(M_k1,q(t))^α+β−2

·e^{c((Mk1,q(t))2(α+β−1)+(Mk1,q(t))α+β−1+(Mk1,q(t))β−1)},

(II.80) wobei wir im letzten Schritt Lemma 73 genutzt haben.

Analog zu Lemma 74 liefert diese Ungleichung nun die Beschränktheit von M_k1,q(t) für kleine Daten.

Lemma 82. M_k1,q(t) erfülle die Ungleichung (II.80) in [0, T]mit T >0 beliebig.

Sindk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

0,2 undk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p hinreichend klein, so existiert ein von T un-abhängigesc >0 mitM_k1,q(t)≤c.

Globale Lösbarkeit

Wir können nun durch die Beschränktheit vonMk1,q(t)für kleine Daten und Lemma 80 die lokale Lösung global fortsetzen.

Theorem 83. Seien α, β ∈ N, α, β > 1, Γ > 0 mit m(x) = O(|x|^α) und g(x) = O(|x|^β) für

|x| ≤Γ.

Weiterhin seien N = min{2, d}, q = 2(α+β−1) mitp = _q−1^q , N_p > N(1−²_q), k₁, k₀ ∈N mit k1 > Np, k1q > d, k0 ≥k1+Np+ 1sowie 2(k0−k1)> dund es gelte m, g ∈C^k0+2(R,R).

Ist

d

2 > 1 min{α, β} −1

1 + 1

α+β−2 und sindk(u₁, u₀,∇u₀)k_k

0,2 sowie k(u₁, u₀,∇u₀)k_k

1+Np,p hinreichend klein, so existiert eine glo-bale Lösung

u∈C⁰([0,∞), W^k0+1,2)∩C¹([0,∞), W^k0,2)∩C²([0,∞), W^k0−1,2) von (II.68) und es gibt ein c >0 mit

k(u_t, u,∇u)(t)k_k

0,2≤c,

k(u_t, u,∇u)(t)k_∞≤c(1 +t)^{−d2(1−2q)}.

Bemerkung 84. Für den Fall m = g muss ^d₂ > _α−1¹

1 +_2(α−1)¹

gelten, um Theorem 83 anwenden zu können.

Betrachten wir dies im Vergleich zur nichtlinearen Differentialgleichung utt(t) +u(t)−∆u(t) =f(u(t),∆u(t)), t >0, u(0) =u0,

u_t(0) =u₁

zum einen mitf(u(t),∆u(t)) =m(u(t))∆m(u(t))und zum anderen mitf(u(t),∆u(t)) =m(u(t)) oderf(u(t),∆u(t)) = ∆m(u(t)), so muss nach [23] zur globalen Fortsetzung einer lokalen Lösung im ersten Fall ^d₂ > _2α−1¹

1 +_2α−1¹

und im zweiten Fall ^d₂ > _α−1¹

1 +_α−1¹ sein.

Also ist unsere Forderung an α schwächer als wenn wir nur einen Faktor der Faltung als Nicht-linearität nehmen, jedoch stärker als bei einem Produkt der beiden Faktoren. Im Gegensatz zu vielen anderen Fällen verhält sich die Faltung hier also nicht wie der Schwächere der beiden Faktoren.

Fixpunktsätze

Die Beweise zu den folgenden Sätzen finden sich in [30].

Theorem 85 (Fixpunktsatz von Schauder).

Seien X ein Banachraum, M ⊂ X nichtleer, abgeschlossen, beschränkt und konvex sowie K : M →M kompakt. Dann existiert ein x∈M mitK(x) =x.

Bemerkung 86. Ist die Menge M zusätzlich kompakt, so genügt die Stetigkeit von K.

Theorem 87 (Banachscher Fixpunktsatz).

SeienXein vollständiger metrischer Raum,M ⊂X nichtleer und abgeschlossen sowieK:M → M kontrahierend. Dann existiert genau einx∈M mit K(x) =x.

Halbgruppentheorie

Die Einschränkung einer Halbgruppe e^−tA

t≥0 auf D(A^k) hat besondere Eigenschaften, von denen wir die Benötigten hier angeben.

Sei X ein Banachraum und −A : X ⊃ D(A) −→ X ein Operator, der eine C⁰-Halbgruppe (e^−At)t≥0 aufX erzeugt. Wir definieren für k∈Nund x∈D(A^k)

kxk_Ak :=

A^kx

X +kxk_X

und den Sobolev-Raum der Ordnungkbezüglich der Halbgruppe(e^−At)t≥0 als X_k:= (D(A^k),k·k_Ak).

Das folgende Theorem aus [6, Kapitel II.2] liefert uns, dass die Operatoren (e^−At)t≥0 einge-schränkt aufX_k auch eine Halbgruppe bilden.

Theorem 88.

(i) Xk ist ein Banachraum für alle k∈N. (ii) X_k⊂X_m fürm≤k.

(iii) Die Operatoren e^−At

Xk bilden eineC⁰-Halbgruppe aufX_k. Insbesondere gilt fürx∈D(A^k) auch e^−Atx∈D(A^k).

(iv) Der ErzeugerA_k dieser Halbgruppe aufX_k ist gegeben durch die Einschränkung vonA auf Xk. (Also Akx=Axfür x∈D(Ak) =Xk+1).

Diese Halbgruppen haben dieselben Eigenschaften wie die ursprüngliche Halbgruppe und insbesondere haben alle dieselbe Wachstumsschranke, was ebenfalls in [6, Kapitel II.2] bewiesen wird.

Korollar 89. Die C⁰-Halbgruppe

e^−At Xk+1

t≥0 ist die Einschränkung der C⁰-Halbgruppe

e^−At Xk

t≥0 auf X_k+1.

Sobolevräume

Wir nutzen in dieser Arbeit fürk∈Nund p∈(1,∞) die Standard-Sobolevräume W^k,p(Ω), wie sie in [1] eingeführt werden. Mitk·k_k,pbezeichnen wir die Norm in diesen Räumen und schreiben fürk= 0 nurk·k_p. Das Skalarprodukt im HilbertraumL² bezeichnen wir mith·,·i.

Auch die Definitionen der im Folgenden nötigen Eigenschaften des Gebiets Ω finden sich in [1]. RäumeW^k,p(Ω) mit k /∈N sind als komplexe Interpolation der Sobolevräume ganzzahliger Ordnung aufzufassen, Details finden sich in [29].

Für uns wesentlich ist der Sobolevsche Einbettungssatz (siehe [1, Theorem 4.12]).

Theorem 90. Seien 1 < p <∞, j ∈N0, k, d∈N mit kp > d und Ω⊂R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Dann sind die Einbettungen

W^j+k,p(Ω),→C_b^j(Ω) sowie

W^j+k,p(Ω),→W^j,q(Ω) fürq≥p stetig, dass heißt, es existiert ein c >0 mit

0≤|γ|≤jmax k∇^γuk_∞≤ckuk_j+k,p, kuk_j,q ≤ckuk_j+k,p für alle u∈W^j+k,p(Ω).

Aus diesem Satz folgt unter anderem, dass fürkp > dder RaumW^k,p(Ω)eine Banachalgebra ist ([1, Theorem 4.39]).

Theorem 91. Seien Ω ⊂R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt, 1<

p <∞ und k∈Nmit kp > d. Dann existiert ein c >0 mit kuvk_k,p≤ckuk_k,pkvk_k,p für alle u, v∈W^k,p(Ω)

Um für den Ganzraum gültige Abschätzungen auf Teilgebiete zu übertragen, ist die Existenz eines Erweiterungsoperators nötig. Sie wird [1, Theorem 5.24] für die von uns im Laufe der Arbeit betrachteten Gebiete nachgewiesen.

Theorem 92. Seien 1 < p < ∞ und Ω ⊂ R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Dann existiert ein totaler Erweiterungsoperator, dass heißt, es existert ein linearer Operator E mit E :W^k,p(Ω)→ W^k,p(R^d) für alle k∈N und es gibt ein c >0 so, dass für alle u∈W^k,p(Ω)

(i) Eu(x) =u(x) für fast alle x∈Ω, (ii) kEuk_k,p≤ckuk_k,p

gilt.

Für Funktionen in W^k,p(Ω)wird eine hilfreiche Abschätzung für diek·k_j,p-Normen mitj < k in [1, Theorem 5.2] angegeben.

Theorem 93. Seien Ω⊂R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt, 1 <

p <∞ und k∈N. Dann existiert zu jedem ε >0 einc >0 so, dass kuk_j,p≤εkuk_k,p+ckuk_p

für alle 0≤j < k und u∈W^k,p(Ω)gilt.

Ungleichungen

Die folgenden Lemma werden in [23, Kapitel 4] fürΩ =R^d bewiesen und können mit Theorem 92 auf die angegebenen Gebiete erweitert werden.

Lemma 94. SeienΩ⊂R^dein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt,l, r∈N, 1< p <∞ mitkp > d und h∈C^k(R^l,R^l).

Dann existiert einc >0 so, dass für alleu= (u1, ..., u_l)∈W^k,p(Ω) mitkuk_∞<Γ (Γ>0) ∇^jh(u)

p ≤c max

|x|≤Γ,0≤|γ|≤j|∇^γh(x)|

∇^ju pΓ^j−1 für1≤j≤k gilt.

Hierbei ist fürj ∈N

∇^ju

p:= X

|α|=j

k∇^αuk_p.

Lemma 95. Seien Ω⊂R^d ein Gebiet, das die starke lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt, j ∈N und1< p <∞. Dann existiert einc >0so, dass für allef, g mit∇^αf,∇^αg∈L^p(Ω)fürα∈N^d₀ mit|α|=j und f, g∈L^∞(Ω)die Ungleichung

k∇^α(f g)k_p ≤c

kfk_∞

∇^jg

p+kgk_∞

∇^jf p

gilt.

Eine weitere von uns häufig genutzte Ungleichung ist das Lemma von Gronwall, für unsere Anwendungen brauchen wir dabei die nachstehende Integralversion ([5]).

Lemma 96. Sei x ∈ C⁰([0, T],[0,∞)), δ, c ≥0, h ∈C⁰([0, T]²,[0,∞)), h(·, s) monoton wach-send mit

x(t)≤δ+c

t

Z

0

h(t, s)x(s) ds fürt∈[0, T]. Dann gilt

x(t)≤δe

c

t

R

0

h(t,s) ds

in[0, T].

Literaturverzeichnis

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Im Dokument Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Seite 106-0)