Homogene Differentialgleichung zweiter Ordniung mit konstanten Koeffizienten

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordniung mit konstanten Koeffizienten

Die L¨osung der Differentialgleichung

u⁰⁰(t) +pu⁰(t) +qu(t) = 0

mit p,q ∈Rhat je nach Typ der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

λ²+pλ+q folgende Form:

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 1-1

zwei reelle Nullstellen λ1 6=λ2:

u(t) =aexp(λ₁t) +bexp(λ₂t) eine doppelte Nullstelleλ:

u(t) =aexp(λt) +btexp(λt) zwei komplex konjugierte Nullstellen −p/2±%i:

u(t) = exp

−pt 2

(acos(%t) +bsin(%t))

Die Konstantena,b k¨onnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Beweis:

Einsetzen des Ansatzes u(t) = exp(λt) in die Differentialgleichung λ²exp(λt) +pλexp(λt) +qexp(λt) = 0

=⇒ charakteristisches Polynomλ²+pλ+q = 0 (i) zwei verschiedene Nullstellen λj:

linear unabh¨angige L¨osungen

exp(λ_jt), j = 1,2

f¨ur λ=−p/2±%i, reelle L¨osungen durch Bilden von Linearkombinationen:

1

2(exp((−p/2 +%i)t) + exp((−p/2−%i)t)) = exp(−pt/2) cos(%t) 1

2i(exp((−p/2 +%i)t)−exp((−p/2−%i)t)) = exp(−pt/2) sin(%t)

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 2-1

(ii) doppelte Nullstelle λ:

2λ+p= 0 (charakteristisches Polynom ableiten) zweite, linear unabh¨angige L¨osungtexp(λt):

d

dt 2

(texp(λt)) +p d

dt(texp(λt)) +qtexp(λt)

= [2λexp(λt) +λ²texp(λt)] + [pexp(λt) +pλtexp(λt)] + [qtexp(λt)]

= (2λ+p) + (λ²+pλ+q)t

exp(λt) = 0

Beispiel:

Anfangswertproblem

u⁰⁰−2u⁰−8u= 0, u(0) = 2, u⁰(0) = 2 charakteristisches Polynom

λ²−2λ−8 mit den Nullstellen

λ1=−2, λ₂ = 4 allgemeine L¨osung der Differentialgleichung

aexp(−2t) +bexp(4t) mit a,b∈R

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 3-1

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem 2 = u(0) = a+b 2 = u⁰(0) = −2a+ 4b

=⇒ a=b = 1, d.h.

u(t) = exp(−2t) + exp(4t)

Beispiel:

Anfangswertproblem

u⁰⁰−2u⁰+u = 0, u(0) = 1, u⁰(0) = 0 charakteristisches Polynom

λ²−2λ+ 1 mit der doppelten Nullstelle

λ1,2 = 1 allgemeine L¨osung der Differentialgleichung

(a+bt) exp(t) mit a,b∈R

Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 4-1

Anfangsbedingungen lineares Gleichungssystem u(0) = 1 = a

u⁰(0) = 0 = a+b

=⇒ a= 1, b=−1, d.h.

u(t) = (1−t) exp(t)