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Ubungen zum Kurs ¨

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

5. ¨ Ubung – Lineare Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung, Eulersche Differentialgleichungen

1. L¨ osen Sie folgende homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (a) y 00 − y 0 − 6y = 0,

(b) y 00 + 5y 0 + 4y = 0, y(0) = 2, y 0 (0) = 1, (c) y 00 − a 2 y = 0 (a ∈ R ),

(d) y 00 − 4y 0 + 13y = 0, (e) y 00 + a 2 y = 0 (a ∈ R),

(f) y 00 + 2y 0 + y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0, (HA) (g) y (4) − 2y 00 = 0,

(HA) (h) y 000 + y 00 + y 0 + y = 0, y(0) = y 0 (0) = 0, y 00 (0) = 2, (i) y (4) + y = 0.

2. L¨ osen Sie folgende lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizien- ten mit der Ansatzmethode

(HA) (a) y (4) + y = x, (b) y 00 + 2y 0 + y = x, (HA) (c) y 000 + 2y 00 + y 0 = 2e 3x ,

(d) y 000 − y = 6e −x , (e) y 00 + 4y = x 2 + cos x, (f) y 00 − 3y 0 + 2y = e 3x (x 2 + x), (g) y 00 − 6y 0 + 8y = e 2x ,

(HA) (h) y 00 − y = e x ,

(HA) (i) y (4) − 2y 00 = x 2 + x − 1.

3. L¨ osen Sie mit einem komplexen Ansatz (a) y 00 + y = e 2x cos 3x, (HA) (b) y 00 + y 0 + y = e −

x2

sin

√ 3 2 x.

4. L¨ osen Sie mit Variation der Konstanten (a) y 000 + 2y 00 + y 0 = 2e 3x , (HA) (b) y 00 + 4y = cos x,

(c) y 00 + 4y = sin 2x 1 .

5. (HA) Bestimmen Sie die L¨ osung der Differentialgleichung

¨

u(t) + 4 ˙ u(t) + 4u(t) = 25 sin t ,

die den Anfangsbedingungen u(0) = 0, u(0) = 1 gen¨ ˙ ugt!

Uberpr¨ ¨ ufen Sie Ihr Ergebnis !

6. L¨ osen Sie mit Hilfe der Laplace–Transformation folgende Anfangswertprobleme (a) y 00 − 6y 0 + 9y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0,

(b) y 00 + 4y 0 = cos 2t, y(0) = 0, y 0 (0) = 1,

(HA) (c) y 00 − 9y = e t , y(0) = 1, y 0 (0) = 0,

(HA) (d) y 00 + 2y 0 + y = te −t , y(0) = 1, y 0 (0) = 0.

(2)

7. L¨ osen Sie folgende Eulersche Differentialgleichungen (a) x 2 y 00 + xy 0 + 2y = 0,

(b) x 2 y 00 − 3xy 0 + 4y = ln x.

5. Hausaufgabe

L¨ osen Sie folgende Aufgaben der 5. ¨ Ubung

1 (g), 1 (h), 2 (a), 2 (c), 2 (h), 2 (i), 3 (b), 4 (b), 5, 6 (c) und 6 (d).

Zusatz: L¨ osen Sie folgende Differentialgleichungen (a) x 2 y 00 + xy 0 − y = x 3 ,

(b) x(x + 1)y 00 + (x + 2)y 0 − y = x + x 1 .

Referenzen

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