Gleichungen l¨ osen
1)
3 − e
x= 1 e
x2)
(2x
2− 8) · (e
2x− 6) = 0
3)
x · sin(x) = x
Polynomdivision
Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) =x3−2x2−5x+ 6 . L¨osung
Als L¨osung der Gleichung f(x) = 0 kommen nur Teiler von 6in Frage. Durch Probieren ergibt sich, dass x= 1 eine Nullstelle ist. Daher erfolgt eine Polynomdivision mit(x−1):
Aufgabe: L¨ose 2x3+ 18x2+ 52x+ 48 = 0.
Gebrochene Rationale Funktion
Beispiele
Zur Abbildung oben rechts:
“Definitionsl¨ucke“ bei x= 2.
“Verhalten f¨urx gegen ±∞“ und “Verhalten f¨ur “x gegen 2“:
x→∞lim f(x) = 3
x→−∞lim f(x) = 3 limx→2
x<2
f(x) = −∞
limx→2 x>2
f(x) = ∞
6. Januar 2019
Gaußverfahren
Ungleichungen
1) x2−3x>4
Obige Ungleichnung ist gleichwertig mit x2−3x−4>0.
Damit entspricht die Menge der gesuchten x-Werte allen x-Werten, f¨ur die der Graph der Funktion f(x) = x2 −3x−4 oberhalb der x-Achse verl¨auft.
Durch Berechnung erh¨alt man die Nullstellen x1 =−1 und x2 = 4.
Als L¨osungsmenge der Ungleichung ergibt sich daher
L = { x∈R|x <−1 oder x >4 }= (−∞, −1) ∪ (4, ∞) .
6. Januar 2019
2) x
x+6 < 1 x
Die L¨osungsmenge besteht aus allen x-Werten, f¨ur die der Graph der Funktion f(x) = x
x+ 6 unterhalb des Graphen der Funktion g(x) = 1
x verl¨auft.
Welcher der beiden Graphen ¨uber dem anderen liegt, ¨andert sich an den Polstellen der Funktionen und an den Schnittpunkten der beiden Funktion. Durch Berechnung erh¨alt man, dass die Schnittpunkte der beiden Funktion beix=−2und x= 3 liegen.
Als L¨osungsmenge der Ungleichung ergibt sich damit
L={x∈R| −6< x <−2 oder 0< x < 3} = (−6,−2) ∪ (0,3).
Gleichungen und Ungleichungen mit Betr¨ agen
2|x| −3=4x ist gleichwertig mit (1) 2x−3 = 4x f¨ur x≥0 oder (2) −2x−3 = 4x f¨ur x <0
Die L¨osung von (1) x1 =−32 widerspricht der Bedingung x≥0, die L¨osung von (2) ist x2 =−12.
Damit ergibt sich als L¨osungsmenge der Ausgangsgleichung:L={ −12}.
x2− |x−4|=16 ist gleichwertig mit (1) x2−x+ 4 = 16 f¨ur x≥0 oder (2) x2+x−4 = 16. f¨ur x <0
Die L¨osungen von (1) sind x1 = 4 und x2 =−3, die von (2)x3 = 4 undx4 =−5.
Die L¨osung x2 scheidet wegen der Bedingungx≥0 aus, ebensox3 wegen der Bedingung x <0. Als L¨osungsmenge der Ausgangsgleichung erh¨alt man somit:L={4,−5}.
6. Januar 2019
