Aufgabe 1 L¨ osen Sie das lineare Optimierungsproblem (4) min x

Philipps-Universit¨ at Marburg Wintersemester 2015/16 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. B. Schmitt, Dr. B. K¨ uster

Ubungen zur ¨ Linearen Optimierung 12. Aufgabenblatt

Hinweis: Wenn an einer Stelle ein Index aus mehreren m¨ oglichen ausgew¨ ahlt werden muss, dann soll immer der kleinstm¨ ogliche Index gew¨ ahlt werden.

Aufgabe 1 L¨ osen Sie das lineare Optimierungsproblem (4) min x

+ x

+ x

2x

− x

− 2x

≥ 1 x

− 3x

+ 4x

≤ −2

−4x

+ 2x

− x

≤ −1 x

≥ 0 nach geeigneter Umformung mit dem dualen Simplexverfahren.

Aufgabe 2 Das bereits um Schlupfvariablen erweiterte lineare Optimierungsproblem (5) min x

+ x

2x

+ x

− η

= 2

−2x

+ x

− η

= −1

x

+ 2x

− η

= 1

x

, η

≥ 0

besitzt die Optimall¨ osung ¯ x

= (

,

,

)

mit J = {1, 2, 5} und γ

= (

,

)

, K = {3, 4}.

Betrachten Sie folgende Problemmodifikationen:

(i) Die Zielfunktion wird zu ,,min x

” abge¨ andert.

(ii) Es wird die zus¨ atzliche Ungleichung −4x

+ 2x

≥ −1 eingef¨ uhrt.

Uberpr¨ ¨ ufen Sie jeweils, ob ¯ x auch f¨ ur das modifizierte Problem optimal ist. Berechnen Sie gege- benenfalls mit einem geeigneten Verfahren die neue Optimall¨ osung.

Hinweis: Sie d¨ urfen ohne Nachweis benutzen: Die Inverse der Matrix

A :=













2 1 0 0

−2 1 −1 0

1 2 0 −1

−4 2 0 0













ist A

=













1/4 0 0 −1/8

1/2 0 0 1/4

0 −1 0 1/2

5/4 0 −1 3/8











 .

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Aufgabe 3 Pr¨ azisieren Sie die Aussagen aus der Vorlesung zum parametrischen Problem (2) W (t) := min{c

x : x ∈ X(t)}, X(t) := {x : Ax = b + t ˜ b, x ≥ 0},

mit t ∈ R. Dabei sei angenommen, dass das Problem f¨ ur t = t

eine L¨ osung besitzt (also konsistent und beschr¨ ankt ist). Zeigen Sie:

(i) Wenn x(t

) ∈ X(t

) und x(t

) ∈ X(t

) gilt, dann gilt

sx(t

) + (1 − s)x(t

) ∈ X(st

+ (1 − s)t

), s ∈ [0, 1].

Also ist das Problem auf dem Intervall [t

, t

] konsistent.

(ii) Das Problem ist beschr¨ ankt f¨ ur alle t ∈ R (aber eventuell nicht konsistent).

Achtung: Die Vorlesung am Donnerstag, den 28.01. wurde auf Freitag, den 29.01. 10:15-12:00 im Raum +1/0110 verschoben. Die Abgabe dieses ¨ Ubungsblattes ist sowohl am Donnerstag, 28.01. von 11:45-12:00 im Caf´ e Leonardo, als auch am Freitag, 29.01. vor der Vorlesung m¨ oglich.

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