Analysis II: ¨ Ubungsblatt DGL Systeme 1. Ordnung 1. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem

Analysis II: ¨ Ubungsblatt DGL Systeme 1. Ordnung 1. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem

˙

x(t) = y(t) + z(t)

˙

y(t) = x(t) + z(t)

˙

z(t) = x(t) + y(t) x(0) = 2, y(0) = 1 und z(0) = 6

2. Berechnen Sie die allgemeine reelle L¨ osung des Systems

~ y

⁰

=

−1 4

−2 3

~ y.

3. Berechnen Sie die allgemeine reelle L¨ osung des Systems

~ ˙ x =

5 0 3 5

~ x.

4. L¨ osen Sie das inhomogene System mittels Aufsuchen der partikul¨ aren L¨ osung:

˙

x = −5x − 7y + e

^t

˙

y(t) = 2x + 4y + 1

5. Formen Sie folgende Differentialgleichungen in ein System 1. Ordnung um (Zustandsform) (a) ¨ x + 5 ˙ x + x = sin(t)

(b) y

⁰⁰⁰⁰

− y

⁰⁰

+ 3y = e

^−x

(c) Punktpendel (nichtlinear)

m · l

²

· ϕ(t) = ¨ −m · g · l · sin (ϕ(t)) l : L¨ ange des Fadens, m : Masse, ϕ(t): Winkel in Abh¨ angigkeit der Zeit

1

Analysis II: L ¨ OSUNGEN: ¨ Ubungsblatt DGL Systeme 1. Ordnung 1.

~ u =



 x(t) y(t) z(t)



 = −2





−1 1 0



 · e

^−t

+ 3





−1 0 1



 · e

^−t

+ 3



 1 1 1



 · e

^t

= +1





−1

−2 3



 · e

^−t

+ 3



 1 1 1



 · e

^t

2. Komplexes Fundamentalsystem:

1 + j 1

· e

^(1+2j)x

, 1 − j

1

· e

^(1−2j)x

Allgemeine reelle L¨ osung:

~ y = C

₁

sin(2x) + cos(2x) cos(2x)

· e

^x

+ C

₂

sin(2x) − cos(2x) sin(2x)

· e

^x

3. Eigenwerte: λ

_1,2

= 5, Eigenvektor: ~ v =

0 1

, Fundamentall¨ osung: x ~

_v

= 0

1

· e

^5t

Hauptvektor: w ~ =

₁

3

0

, Fundamentall¨ osung: x ~

_w

= 0

1

x +

₁

3

0

· e

^5t

=

₁

3

x

· e

^5t

Allgemeine L¨ osung: ~ x = C

₁

0

1

· e

^5t

+ C

₂

₁

3

x

· e

^5t

4. Eigenwerte: λ

1

= 2, λ

2

= −3 Eigenvektoren: v ~

1

=

−1 1

, v ~

2

=

−7 2

Ansatz f¨ ur inhomogenes System:

x

p

= Ae

^t

+ a

0

y

p

= Be

^t

+ b

0

oder vektoriell geschrieben:

~ u

_p

=

x

_p

(t) y

_p

(t)

= A

B

· e

^t

+ a

₀

b

₀

Partikul¨ are L¨ osung:

x

p

= 3 4 e

^t

+ 7

6 y

_p

= − 1

2 e

^t

+ − 5 6 Allgemeine L¨ osung:

x(t) = −C

₁

e

^2t

− 7C

₂

e

^−3t

+ 3 4 e

^t

+ 7

6 y(t) = C

₁

e

^2t

+ 2C

₂

e

^−3t

+ − 1

2 e

^t

+ − 5 6 5. Zustandsformen

(a)

˙

z

1

= z

2

˙

z

₂

= −z

₁

− 5z

₂

+ sin(t) oder

~ z ˙ =

0 1

−1 −5

· ~ z + 0

sin(t)

2

(b)

z

⁰₁

= z

₂

z

⁰₂

= z

3

z

⁰₃

= z

4

z

⁰₄

= −3z

₁

− z

3

+ e

^−x

oder

~ z

⁰

=









0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−3 0 −1 0









· ~ z +







 0 0 0 e

^−x









(c)

˙

z

₁

= z

₂

˙

z

2

= − g

l · sin (z

1

(t))

3