Analysis I: ¨ Ubungsblatt 5, Integralrechnung 1. L¨ osen Sie:

Analysis I: ¨ Ubungsblatt 5, Integralrechnung 1. L¨ osen Sie:

Z q u

√ u ⁴ du,

Z

(t − 1 t ² )dt,

t

Z

π 4

dx sin ² x

2. Wie lautet die Stammfunktion zu f (x) = x ² − 4, deren Kurve durch den Punkt P (1; 0) geht?

3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion G(x). (Nicht G(x) selbst bestimmen!)

G(x) = Z

x

1

e ^t t dt 4. L¨ osen Sie:

2

Z

0

(sin ϕ)tdt,

b

Z

a

cdπdt,

π 3

Z

π 4

1 + cos ² x cos ² x dx

5. L¨ osen Sie die uneigentlichen Integrale:

∞

Z

−∞

e ^−x dx,

1

Z

0

√ dx 1 − x ²

6. L¨ osen Sie durch Substitution:

Z

(5 sin ⁴ x + 2 sin x + 5) cos xdx, Z

3x ^{2 p} 6x ³ − 2dx,

π2 4

Z

1

sin √

√ x x dx

7. L¨ osen Sie durch partielle Integration:

7

Z

1

te ^t−7 dt,

Z cos x e ^2x dx

8. L¨ osen Sie durch Partialbruchzerlegung

Z x ³ − 3x ² − 4x + 12 x ² + 4x + 3 dx

9. Gesucht ist die Fl¨ ache zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten der folgenden Begrenzungskurven:

y 1 = x , y 2 = x + sin x im Intervall [0;2π[.

10. Mit Taschenrechner: Berechnen Sie den Fl¨ acheninhalt unter der Kurve f (x) = ^p 3 + e ^0,5x

im Intervall 0, 5 ≤ x ≤ 1, 7 mit Hilfe

(a) der Keplerschen Fassregel.

(b) der Simpsonschen Formel (Zerlegung: h=0,2, m=6 Streifen).

1

Analysis I: L¨ osungen Integralrechnung 1.

Z q u

√

u ⁴ du = 6

13 u

+ C, Z

(t − 1

t ² )dt = 1 2 t ² + 1

t + C,

t

Z

π 4

dx

sin ² x = 1 − 1 tan t

2. F (x) = ¹ ₃ x ³ − 4x + ¹¹ ₃

3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

G ⁰ (x) = − e

x

4.

2

Z

0

(sin ϕ)tdt = 2 sin ϕ,

b

Z

a

cdπdt = cdπ(b − a),

π

Z

π 4

1 + cos ² x

cos ² x dx = √

3 − 1 + π 6

5.

∞

Z

−∞

e ^−x dx = ∞, Z 1

0

√ dx

1 − x ² = π 2

6.

Z

(5 sin ⁴ x + 2 sin x + 5) cos xdx = sin ⁵ x + sin ² x + 5 sin x + C, Z

3x ^{2 p} 6x ³ − 2dx = 1

9 (6x ³ − 2)

+C,

π2

Z

1

sin √

√ x

x dx = 2 cos 1 7.

7

Z

1

te ^t−7 dt = 6,

Z cos x

e ^2x dx = sin x − 2 cos x 5e ^2x + C

8.

Z x ³ − 3x ² − 4x + 12

x ² + 4x + 3 dx = x ²

2 − 7x + 15 ln(x + 3) + 6 ln(x + 1) 9. A = 2

10. (a) A = 2, 948153454 (b) A = 2, 909061672

2