Differential– und Integralrechnung 1

Dr. Erwin Sch¨ orner

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):

Differential– und Integralrechnung 1

— L¨ osungsvorschlag —

1.1 Das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion lautet:

” F¨ ur jedes n ∈ N sei A(n) eine Aussage. Dabei gelte:

• A(1) ist richtig.

• F¨ ur jedes beliebige n ∈ N gilt: ist A(n) richtig, so ist auch A(n + 1) richtig.

Damit ist die Aussage A(n) f¨ ur alle n ∈ N richtig.“

Wir beweisen damit A(n):

n

X

k=1

(−1) ^k+1 k ² = (−1) ⁿ⁺¹ n (n + 1)

2 f¨ ur alle n ∈ N .

” n = 1“:

1

X

k=1

(−1) ^k+1 k ² = (−1) ¹⁺¹ 1 ² = 1 = (−1) ¹⁺¹ · 1 · (1 + 1)

2 .

” n → n + 1“:

n+1

X

k=1

(−1) ^k+1 k ² =

n

X

k=1

(−1) ^k+1 k ²

!

+ (−1) ⁿ⁺² (n + 1) ² =

= (−1) ⁿ⁺¹ n (n + 1)

2 + (−1) ⁿ⁺² (n + 1) ² = (−1) ⁿ⁺¹ n + 1

2 · (n − 2 (n + 1)) =

= (−1) ⁿ⁺¹ n + 1

2 · (−n − 2) = (−1) ⁿ⁺² (n + 1) (n + 2)

2 .

1.2 Wir beweisen die Gleichheit

n

Y

k=2

1 − 2

k(k + 1)

= 1 3

1 + 2

n

f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2 mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

” n = 2“:

2

Y

k=2

1 − 2

k(k + 1)

= 1 − 2

2(2 + 1) = 2 3 = 1

3

1 + 2 2

” n → n + 1“:

n+1

Y

k=2

1 − 2

k(k + 1)

=

n

Y

k=2

1 − 2

k(k + 1) !

·

1 − 2

(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2

n

·

1 − 2

(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2

n − 2

(n + 1)(n + 2) − 4

n(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2(n + 1)(n + 2) − 2n − 4 n(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2n ² + 6n + 4 − 2n − 4 n(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2n ² + 4n n(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2n(n + 2) n(n + 1)(n + 2)

= 1 3

1 + 2 n + 1

1.3 F¨ ur alle k ∈ N gilt

a k =

√ k − 3

√ k + 1 = 1 − ^{√ 3}

k

1 + ^{√ 1}

k

; wegen lim

k→∞

√ 1

k = 0 gilt

k→∞ lim

1 − 3

√ k

= 1 und lim

k→∞

1 + 1

√ k

= 1 und damit

k→∞ lim a _k = lim

k→∞

1 − ^{√ 3}

k

1 + ^{√ 1}

k

= 1.

F¨ ur alle n ∈ N gilt damit

a _n − lim

k→∞ a _k =

√ n − 3

√ n + 1 − 1

=

( √

n − 3) − ( √ n + 1)

√ n + 1

=

=

√ −4 n + 1

= 4

√ n + 1 ≤ 4

√ n

mit 4

√ n ≤ 0,01 ⇐⇒ √

n ≥ 400 ⇐⇒ n ≥ 400 ² = 160.000;

damit kann etwa n ∗ = 160.000 ∈ N gew¨ ahlt werden.

1.4 Wir weisen anhand der Definition nach, daß die gegebene Folge (a _n ) n∈ N mit a _n = (sin n) ³ − 3 cos n

√ n f¨ ur alle n ∈ N

den Grenzwert a = 0 besitzt; sei dazu ε > 0 beliebig gew¨ ahlt. F¨ ur alle n ∈ N gilt

|a n − a| =

(sin n) ³ − 3 cos n

√ n − 0

= |(sin n) ³ − 3 cos n|

√ n ≤

≤ |(sin n) ³ | + |3 cos n|

√ n = |sin n| ³ + 3 · |cos n|

√ n ≤ 1 ³ + 3 · 1

√ n = 4

√ n mit

√ 4

n < ε ⇐⇒ 4 ε < √

n ⇐⇒

4 ε

2

< n.

Wir w¨ ahlen eine nat¨ urliche Zahl N = N (ε) mit N > ⁴ _ε 2

, so daß wir f¨ ur alle n ≥ N wegen n > ⁴ _ε 2

damit

|a _n − a| ≤ 4

√ n < ε

erhalten.

1.5 F¨ ur alle n ∈ N gilt a _n = (2n ² + 1)(n + 1) ⁿ

(3n + 1) n ⁿ⁺¹ = (2n ² + 1) · (n + 1) ⁿ

(3n + 1) · (n · n ⁿ ) = 2n ² + 1

(3n + 1) · n · (n + 1) ⁿ

n ⁿ =

= n ² 2 + _n ¹

2

n 3 + ¹ _n

· n ·

n + 1 n

n

= 2 + _n ¹

2

3 + ¹ _n ·

1 + 1 n

n

,

so daß der erste Faktor wegen

n→∞ lim 1

n ² = 0 und lim

n→∞

1 n = 0 als Quotient konvergenter Folgen selbst konvergiert mit

n→∞ lim 2 + _n ¹

2

3 + _n ¹ = 2 + 0 3 + 0 = 2

3 ;

der zweite Faktor ist eine bekanntlich monoton wachsende und nach oben be- schr¨ ankte Folge mit dem Grenzwert e, so daß die gegebene Folge als Produkt konvergenter Folgen selbst konvergiert, und es gilt

n→∞ lim a _n = lim

n→∞

2 + _n ¹

2

3 + _n ¹

| {z }

→

²

3

·

1 + 1 n

n

| {z }

→e

= 2

3 e.

1.6 Mit der Gaußformel f¨ ur die Summe der ersten n nat¨ urlichen Zahlen ergibt sich a _n = 1 + 2 + . . . + n

n ² = 1

n ² ·

n

X

k=1

k = 1

n ² · n(n + 1)

2 = n + 1 2 n = 1

2 + 1 2 n

|{z} →0 n→∞ −→

1 2 ; damit konvergiert die Folge (a n ) n∈ N gegen den Grenzwert a = ¹ ₂ .

Mit der Summenformel f¨ ur eine geometrische Summe ergibt sich ferner

a n =

n

X

k=0

(−2) ^k 7 ^k =

n

X

k=0

− 2 7

k

= 1 −

→0, da | ⁻

²₇

| ^<1 z }| {

− ² ₇ n+1

1 − − ² ₇ −→

n→∞

1

1 − − ² ₇ = 1

9 7

= 7 9 ; damit konvergiert die Folge (a _n ) n∈ N gegen den Grenzwert a = ⁷ ₉ .

Mit der Regel von de l’Hospital erh¨ alt man schließlich den Funktionengrenzwert

x→0+ lim

1 − cos x x

L’H =

”

0 0

“

x→0+ lim sin x

1 = sin 0 = 0, wobei ¨ uber

x→0+ lim cos x = cos 0 = 1 und lim

x→0+ sin x = sin 0 = 0

die Stetigkeit von Cosinus und Sinus an der Stelle 0 eingeht; wegen _n ¹ → 0+ f¨ ur n → ∞ ergibt sich damit der Folgengrenzwert

n→∞ lim a n = lim

n→∞

1 − cos ¹ _n

1 n

= lim

x→0+

1 − cos x

x = 0.

1.7 Zu betrachten ist die durch f ₁ = f ₂ = 1 und

f n+1 = f n + f n−1 f¨ ur alle n ≥ 2 rekursiv definierte Fibonacci–Folge (f _n ) n∈ N .

a) Wir zeigen die Ungleichung f _n ≥ 4

9 3

2 n

f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

• F¨ ur

” n = 1“ ist

f ₁ = 1 ≥ 2 3 = 4

9 3

2 1

, und f¨ ur

” n = 2“ ist sogar f ₂ = 1 = 4

9 · 9 4 = 4

9 3

2 2

, insbesondere also f ₂ ≥ 4 9

3 2

2

.

• F¨ ur

” n → n + 1“ f¨ ur n ≥ 2 ergibt sich f _n+1 = f _n + f _n−1 ≥ 4

9 3

2 n

+ 4 9

3 2

n−1

=

= 4 9

3 2

n−1

· 3

2 + 1

| {z }

=

⁵₂

=

¹⁰₄

≥

⁹₄

≥ 4 9

3 2

n−1

· 9 4

|{z}

=(

³₂

)

²

= 4 9

3 2

n+1

.

b) F¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 4 gilt a n =

n

Y

k=1

f _k

f _k+1 = f ₁ f ₂

|{z}

f¨ ur k=1

· f ₂ f ₃

|{z}

f¨ ur k=2

· . . . · f _n−1 f _n

| {z }

f¨ ur k=n−1

· f _n f _n+1

| {z }

f¨ ur k=n

=

= f ₁ · (f ₂ · . . . · f n−1 · f _n )

(f ₂ · . . . · f n−1 · f _n ) · f _n+1 = f ₁

f _n+1 = 1 f _n+1 ,

und gem¨ aß a) gilt f _n+1 ≥ 4

9 3

2 n+1

> 0 und damit 0 < a _n = 1 f _n+1 ≤ 9

4 2

3 n+1

; wegen

² ₃

= ² ₃ < 1 gilt

9 4

2 3

n+1

n→∞ −→ 0,

so daß die Folge (a _n ) n∈ N nach dem Schrankenlemma eine Nullfolge ist.

c) Gem¨ aß a) gilt f _n ≥ 4

9 3

2 n

> 0 und damit

1 f n

= 1 f n

≤ 9 4

2 3

n

,

so daß die zu betrachtende Reihe

∞

X

n=1

1

f _n die Majorante

∞

X

n=1

9 4

2 3

n

besitzt;

diese ist eine geometrische Reihe

∞

X

n=1

c q ⁿ mit c = ⁹ ₄ und q = ² ₃ , die wegen

|q| = ² ₃ < 1 konvergiert. Folglich ist nach dem Majorantenkriterium auch die Reihe

∞

X

n=1

1

f _n (absolut) konvergent.

1.8 Wir untersuchen das Konvergenzverhalten der gegebenen Folge (a _n ) _{n∈ N} mit a _n := 1 − x ⁿ

1 + x ⁿ f¨ ur alle n ∈ N

mit der folgenden Fallunterscheidung hinsichtlich des Parameters x ∈ R \ {−1}.

• F¨ ur |x| < 1 ist

n→∞ lim x ⁿ = 0 und damit lim

n→∞ a _n = lim

n→∞

1 − x ⁿ

1 + x ⁿ = 1 − 0

1 + 0 = 1.

• F¨ ur |x| > 1 k¨ onnen wir

a _n = 1 − x ⁿ 1 + x ⁿ =

1 x

ⁿ

− 1

1 x

ⁿ

+ 1 f¨ ur alle n ∈ N schreiben; wegen

1 x

= 1

|x| < 1 ist lim

n→∞

1

x ⁿ = lim

n→∞

1 x

n

= 0 und damit

n→∞ lim a _n = lim

n→∞

1 x

ⁿ

− 1

1

x

ⁿ

+ 1 = 0 − 1

0 + 1 = −1.

• F¨ ur |x| = 1 ist wegen x 6= −1 nur x = 1 zu betrachten; wegen a _n = 1 − 1 ⁿ

1 + 1 ⁿ = 1 − 1

1 + 1 = 0 f¨ ur alle n ∈ N ist (a _n ) n∈ N dann eine Nullfolge.

1.9 Wir weisen die Konvergenz der durch x ₁ = 1 und x _n+1 = 1

3 x ³ _n + 1

f¨ ur alle n ∈ N

rekursiv definierten Folge (x n ) n∈ N dadurch nach, indem wir jeweils mit vollst¨ andi- ger Induktion zeigen, daß (x _n ) n∈ N monoton fallend und (etwa durch 0) nach unten beschr¨ ankt ist:

• F¨ ur alle n ∈ N gilt x _n ≥ x _n+1 :

” n = 1“: Es ist x ₁ = 1 und x ₂ = ¹ ₃ (x ³ ₁ + 1) = ² ₃ , also x ₁ ≥ x ₂ .

” n → n + 1“: Aus der Induktionsvoraussetzung x n ≥ x n+1 folgt wegen der Monotonie der dritten Potenz x ³ _n ≥ x ³ _n+1 , woraus sich mit dem Monotonie- gesetz der Addition

x ³ _n + 1 ≥ x ³ _n+1 + 1 sowie mit dem Monotoniegesetz der Multiplikation

x _n+1 = 1

3 x ³ _n + 1

≥ 1

3 x ³ _n+1 + 1

= x _n+2 , also die Induktionsbehauptung, ergibt.

• F¨ ur alle n ∈ N gilt x n ≥ 0:

” n = 1“: Es ist x ₁ = 1, also x ₁ ≥ 0.

” n → n + 1“: Aus der Induktionsvoraussetzung x _n ≥ 0 folgt x ³ _n ≥ 0 und damit in

x _n+1 = 1

3 x ³ _n + 1

≥ 1

3 0 ³ + 1

= 1 3 ≥ 0 die Induktionsbehauptung.

Die Bestimmung des in seiner Existenz nachgewiesenen Grenzwertes x = lim

n→∞ x _n

ist nicht verlangt.

1.10 a) Wir zeigen a _n ≤ a _n+1 ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N 0 mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 0“: Es ist a ₀ = 1 und a ₁ = √

1 + 1 = √

2 und damit a ₀ ≤ a ₁ ≤ 2.

” n → n + 1“: Aus der Induktionsvoraussetzung a _n ≤ a _n+1 ≤ 2 folgt zun¨ achst

1 + a _n ≤ 1 + a _n+1 ≤ 3, woraus sich wegen der Monotonie der Quadratwurzel

√ 1 + a _n ≤ p

1 + a _n+1 ≤ √ 3 ≤ 2, also die Induktionsbehauptung

a n+1 ≤ a n+2 ≤ 2 ergibt.

b) Gem¨ aß a) ist die gegebene Folge (a _n ) n∈ N

• wegen a _n ≤ a _n+1 f¨ ur alle n ∈ N monoton wachsend und

• wegen a _n ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N nach oben beschr¨ ankt, insgesamt also konvergent.

c) F¨ ur den gem¨ aß b) existierenden Grenzwert a = lim

n→∞ a _n gilt a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

√ 1 + a _n = q

1 + lim

n→∞ a _n = √ 1 + a und damit a ² = 1 + a bzw. a ² − a − 1 = 0, also

a = 1 2

−(−1) ± p

(−1) ² − 4 · (−1)

= 1 ± √ 5 2 ;

da die Folge (a _n ) n∈ N monoton wachsend ist, ergibt sich daraus a ≥ a ₀ = 1 und damit a = ¹ ₂ 1 + √

5 .

1.11 a) Wir zeigen zun¨ achst a _n ≤ a _n+1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

a ₁ = 1 ≤ √

13 = a ₂ .

” n → n + 1“:

a _n ≤ a _n+1 = ⇒ 12 + a _n ≤ 12 + a _n+1 = ⇒

= ⇒ a _n+1 = √

12 + a _n ≤ p

12 + a _n+1 = a _n+2 . Damit ist die Folge (a _n ) n∈ N monoton wachsend, insbesondere also durch a ₁ = 1 nach unten beschr¨ ankt.

Wir zeigen nun noch a _n ≤ 13 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

a ₁ = 1 ≤ 13.

” n → n + 1“:

a _n ≤ 13 = ⇒ 12 + a _n ≤ 25 = ⇒ a _n+1 = √

12 + a _n ≤ √

25 = 5 ≤ 13.

Zum Nachweis, daß die Folge (a _n ) _{n∈ N} nach oben beschr¨ ankt ist, ist ja ledig- lich irgendeine obere Schranke b, hier b = 13 zu finden; es muß sich dabei in keinster Weise um das Supremum der Folgenglieder handeln.

b) Nach a) ist die Folge (a _n ) n∈ N monoton wachsend und nach oben beschr¨ ankt;

damit ist die Folge auch konvergent. F¨ ur den Grenzwert a = lim

n→∞ a n gilt a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

√ 12 + a _n = q

12 + lim

n→∞ a _n = √ 12 + a und damit a ² = 12 + a bzw. a ² − a − 12 = 0, also

a = 1 2

1 ± √

1 + 48

= 1 ± 7 2

und folglich a = −3 oder a = 4; da die Folge (a _n ) n∈ N monoton wachsend ist, ergibt sich daraus a ≥ a ₁ = 1 und damit a = 4.

1.12 a) Wir zeigen die Behauptung mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

Es ist a ₁ = 5 und damit 3 ≤ a ₁ ≤ 5.

” n → n + 1“:

3 ≤ a _n ≤ 5 = ⇒ 4 ≥ 7 − a _n ≥ 2 = ⇒ 1

2 ≤ 2

7 − a n

≤ 1 = ⇒ 7

2 ≤ 3 + 2

7 − a _n ≤ 4 = ⇒ 3 ≤ a _n+1 ≤ 5 b) Wir zeigen a _n ≥ a _n+1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

a ₁ = 5 ≥ 4 = 3 + 2

7 − 5 = a ₂ .

” n → n + 1“:

a _n ≥ a _n+1 = ⇒ 7 − a _n ≤ 7 − a _n+1 = ⇒ 2

7 − a _n ≥ 2

7 − a _n+1 = ⇒ a _n+1 = 3 + 2

7 − a _n ≥ 3 + 2

7 − a _n+1 = a _n+2 Damit ist die Folge (a _n ) n∈ N monoton fallend und gem¨ aß a) beschr¨ ankt, folg- lich ist (a _n ) n∈ N konvergent.

c) F¨ ur den Grenzwert a = lim

n→∞ a _n gilt 3 ≤ a ≤ 5 gem¨ aß a), und damit erh¨ alt man

a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

3 + 2 7 − a _n

= 3 + 2

7 − lim

n→∞ a _n = 3 + 2

7 − a .

Damit folgt

(a − 3) (7 − a) = 2 = ⇒ −a ² + 10 a − 21 = 2 = ⇒

a ² − 10 a + 23 = 0 = ⇒ a = 10 ± √ 8

2 = 5 ± √ 2;

wegen 3 ≤ a ≤ 5 folgt hieraus schon a = 5 − √ 2.

1.13 a) Wir zeigen 1 ≤ a n ≤ 5 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

Es ist a 1 = 7

2 und damit 1 ≤ a 1 ≤ 5.

” n → n + 1“:

1 ≤ a _n ≤ 5 = ⇒ 9 ≥ 11 − 2 a _n ≥ 1 = ⇒ 3 ≥ √

11 − 2 a _n ≥ 1 = ⇒ 2 ≤ 5 − √

11 − 2 a _n ≤ 4 = ⇒ 1 ≤ a _n+1 ≤ 5 b) Wir zeigen a _n ≥ a _n+1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

a ₁ = 7

2 ≥ 3 = 5 − r

11 − 2 · 7 2 = a ₂ .

” n → n + 1“:

a _n ≥ a _n+1 = ⇒ 11−2 a _n ≤ 11−2 a _n+1 = ⇒ √

11 − 2 a _n ≤ p

11 − 2 a _n+1 = ⇒ a _n+1 = 5 − √

11 − 2 a _n ≥ 5 − p

11 − 2 a _n+1 = a _n+2 Damit ist die Folge (a _n ) n∈ N monoton fallend und gem¨ aß a) beschr¨ ankt, folg- lich ist (a n ) n∈ N konvergent.

c) F¨ ur den Grenzwert a = lim

n→∞ a _n gilt 1 ≤ a ≤ 5 gem¨ aß a), und wegen der Stetigkeit der Quadratwurzel erh¨ alt man

a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞ 5 − √

11 − 2 a _n

=

= 5 − q

11 − 2 lim

n→∞ a _n = 5 − √

11 − 2 a.

Damit folgt a − 5 = − √

11 − 2 a = ⇒ (a − 5) ² = − √

11 − 2 a ²

= ⇒ a ² − 10 a + 25 = 11 − 2 a = ⇒ a ² − 8 a + 14 = 0 = ⇒

a = −(−8) ± p

(−8) ² − 4 · 14

2 = 8 ± √

8

2 = 4 ± √ 2;

wegen 1 ≤ a ≤ 5 folgt hieraus schon a = 4 − √

2.

1.14 Wir zeigen zun¨ achst 0 ≤ x _n+1 ≤ x _n ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induk- tion:

” n = 1“: Es ist

x ₁ = 1 und damit x ₂ = 1 − 1 ³ 10 + 1 ⁵

100 = 91 100 , insgesamt also 0 ≤ x ₂ ≤ x ₁ ≤ 1.

” n → n + 1“: Es ist 0 ≤ x _n+1 ≤ x _n ≤ 1, insbesondere x _n+1 ≤ 1, und damit 1 − x ² _n+1

10 = 1 − 1

10 · x ² _n+1

| {z }

≤1

| {z }

≤

¹

10

≥ 1 − 1 10 = 9

10 ≥ 0,

woraus sich zum einen x _n+2 = x _n+1 − x ³ _n+1

10 + x ⁵ _n+1

100 = x _n+1

| {z }

≥0

·

1 − x ² _n+1 10

| {z }

≥0

+ x ⁵ _n+1 100

| {z }

≥0

≥ 0

und zum anderen x _n+2 = x _n+1 − x ³ _n+1

10 + x ⁵ _n+1

100 = x _n+1

| {z }

≤1

− x ³ _n+1 10

| {z }

≥0

·

1 − x ² _n+1 10

| {z }

≥0

≤ x _n+1 ≤ 1,

insgesamt also 0 ≤ x _n+2 ≤ x _n+1 ≤ 1 ergibt.

Damit ist die Folge (x n ) n∈ N wegen x n+1 ≤ x n f¨ ur alle n ∈ N monoton fallend und wegen x _n ≥ 0 f¨ ur alle n ∈ N nach unten beschr¨ ankt, insgesamt also konvergent.

F¨ ur ihren Grenzwert a = lim

n→∞ x _n ergibt sich a = lim

n→∞ x _n+1 = lim

n→∞

x _n − x ³ _n 10 + x ⁵ _n

100

= a − a ³ 10 + a ⁵

100 und damit

0 = − a ³ 10 + a ⁵

100 = − a ³

100 10 − a ²

, also a ∈ n

− √

10, 0, √ 10 o

, woraus man wegen 0 ≤ a ≤ 1 schon a = 0 erh¨ alt.

1.15 a) Wir zeigen x n ≤ x n+1 ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

” n = 0“:

Es ist x ₁ = 0, also x ₂ = e ⁰⁻¹ = 1

e und damit x ₁ ≤ x ₂ ≤ 1.

” n → n + 1“:

x n ≤ x n+1 ≤ 1 = ⇒ x n − 1 ≤ x n+1 − 1 ≤ 0 = ⇒

= ⇒

exp monoton steigend e ^x

ⁿ

⁻¹ ≤ e ^x

ⁿ⁺¹

⁻¹ ≤ e ⁰ = ⇒ x _n+1 ≤ x _n+2 ≤ 1

Damit ist die gegebene Folge monoton wachsend und durch 1 nach oben

beschr¨ ankt.

b) Die gegebene Folge ist gem¨ aß a) monoton wachsend und nach oben be- schr¨ ankt, mithin konvergent. F¨ ur den Grenzwert

a = lim

n→∞ x _n

ergibt sich aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion

n→∞ lim e ^x

ⁿ

⁻¹ = e ^a−1 und folglich mit Hilfe der Rekursionsvorschrift

a = lim

n→∞ x _n+1 = lim

n→∞ e ^x

ⁿ

⁻¹ = e ^a−1 , weswegen der Grenzwert a eine Nullstelle der Funktion

f : R → R , f(x) = e ^x−1 − x, ist. Wegen

f(1) = e ¹⁻¹ − 1 = e ⁰ − 1 = 1 − 1 = 0

ist 1 eine Nullstelle von f; wir weisen im folgenden nach, daß f keine weiteren Nullstellen besitzt, weswegen f¨ ur den Grenzwert a = 1 gelten muß.

Die Funktion f ist (als Summe der Exponentialfunktion und einer linearen Funktion) stetig und differenzierbar mit

f ⁰ (x) = e ^x−1 − 1 f¨ ur alle x ∈ R :

• f¨ ur alle x < 1 ist x − 1 < 0 und damit f ⁰ (x) = e ^x−1

|{z}

<1

−1 < 0;

folglich ist f auf ]−∞; 1] streng monoton fallend; insbesondere gilt f (x) > f (1) = 0 f¨ ur alle x < 1.

• f¨ ur alle x > 1 ist x − 1 > 0 und damit f ⁰ (x) = e ^x−1

|{z}

>1

−1 > 0;

folglich ist f auf [1; +∞[ streng monoton steigend; insbesondere gilt f (x) > f (1) = 0 f¨ ur alle x > 1.

1.16 a) Wir zeigen Sie a _n ≥ 2 f¨ ur alle n ∈ N 0 mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

” n = 0“: Es ist a 0 = 3 und damit a 0 ≥ 2.

” n → n + 1“: Es ist a _n ≥ 2, insbesondere also a _n > 0, und es folgt a _n+1 − 2 = a ² _n + 4

2 a _n − 2 = (a ² _n + 4) − 2 · (2 a n )

2 a _n =

= a ² _n − 4 a _n + 4

2 a _n = (a _n − 2) ²

2 a _n ≥ 0, also a _n+1 ≥ 2.

b) F¨ ur alle n ∈ N gilt wegen a _n ≥ 2 zum einen a ² _n ≥ 4, also a ² _n − 4 ≥ 0, und zum anderen 2 a _n ≥ 4 > 0, woraus sich

a _n − a _n+1 = a _n − a ² _n + 4

2 a _n = a _n · (2 a _n ) − (a ² _n + 4)

2 a _n = a ² _n − 4 2 a _n ≥ 0 und damit a _n ≥ a _n+1 ergibt; folglich ist die Folge (a _n ) n∈ N

0

monoton fallend.

c) Die Folge (a _n ) n∈ N

0

ist gem¨ aß a) etwa durch 2 nach unten beschr¨ ankt und gem¨ aß b) monoton fallend, insgesamt also konvergent. F¨ ur ihren Grenzwert a = lim

n→∞ a _n gilt damit a ≥ 2, und wir erhalten mit der Rekursionsvorschrift a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

a ² _n + 4

2 a _n = a ² + 4 2 a , woraus sich

2 a ² = a ² + 4, also a ² = 4, und damit wegen a ≥ 2 schon a = 2 ergibt.

1.17 a) Wir zeigen a _n > ¹ ₂ f¨ ur alle n ∈ N mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“:

a ₁ = 1 > 1 2 .

” n → n + 1“: Wegen a _n > ¹ ₂ ist a _n − ¹ ₂ > 0 sowie a _n > 0 und 2 + a _n > 0, woraus sich

a _n+1 − 1

2 = 1 + a ² _n 2 + a _n − 1

2 = 2 (1 + a ² _n ) − (2 + a _n )

2 (2 + a _n ) = 2 + 2 a ² _n − 2 − a _n 2 (2 + a _n ) =

= 2 a ² _n − a n

2 (2 + a _n ) = 2 a _n (a _n − ¹ ₂ )

2 (2 + a _n ) = a _n (a _n − ¹ ₂ ) 2 + a _n > 0 und damit a _n+1 > ¹ ₂ ergibt.

b) F¨ ur alle n ∈ N gilt a _n > ¹ ₂ gem¨ aß a) und damit 2 a _n > 1, also 1 − 2 a _n < 0, sowie 2 + a _n > 0, woraus sich

a _n+1 − a _n = 1 + a ² _n 2 + a n

− a _n = (1 + a ² _n ) − a _n (2 + a _n ) 2 + a n

=

= 1 + a ² _n − 2 a _n − a ² _n

2 + a _n = 1 − 2 a _n 2 + a _n < 0 und damit a n+1 < a n ergibt; damit ist die Folge (a n ) n∈ N streng monoton fallend. Da sie zudem gem¨ aß a) nach unten (durch ¹ ₂ ) beschr¨ ankt ist, ergibt sich daraus schon ihre Konvergenz. F¨ ur ihren Grenzwert

a = lim

n→∞ a _n

gilt dann unter Verwendung der Rekursionsvorschrift a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

1 + a ² _n

2 + a _n = 1 + a ²

2 + a ,

woraus sich

a (2 + a) = 1 + a ² , also 2 a + a ² = 1 + a ² , und damit

2 a = 1, also a = 1 2 ergibt.

1.18 a) Wir zeigen zun¨ achst 1 ≤ a _n ≤ 3 f¨ ur alle n ∈ N 0 mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

” n = 0“:

Es ist a ₀ ∈ [1, 3] und damit 1 ≤ a ₀ ≤ 3.

” n → n + 1“:

1 ≤ a _n ≤ 3 = ⇒ 1 ² ≤ a ² _n ≤ 3 ² = ⇒ 1 4 ≤ 1

4 a ² _n ≤ 9 4 = ⇒

= ⇒ 1 4 + 3

4 ≤ 1

4 a ² _n + 3 4 ≤ 9

4 + 3

4 = ⇒ 1 ≤ a _n+1 ≤ 3 Damit ergibt sich f¨ ur alle n ∈ N 0

a _n+1 − a _n = 1

4 a ² _n + 3 4

− a _n = 1

4 · a ² _n + 3 − 4a _n

=

= 1

4 · a ² _n − 4a _n + 3

Vieta = 1

4 · (a _n − 1)

| {z }

≥0

· (a _n − 3)

| {z }

≤0

≤ 0,

also a _n+1 ≤ a _n ; damit ist die Folge (a _n ) _n≥0 monoton fallend.

b) Gem¨ aß a) ist die gegebene Folge (a n ) _n≥0 f¨ ur jeden Startwert a 0 ∈ [1, 3]

monoton fallend und (durch 1) nach unten beschr¨ ankt, mithin konvergent.

F¨ ur ihren Grenzwert

a = lim

n→∞ a n

gilt dann unter Verwendung der Rekursionsvorschrift a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞

1

4 a ² _n + 3 4

= 1

4 a ² + 3 4 , woraus sich

0 = a ² − 4 a + 3 =

Vieta (a − 1) (a − 3)

und damit a = 1 oder a = 3 ergibt; dies motiviert die folgende Fallunter- scheidung hinsichtlich des Startwertes a 0 ∈ [1, 3]:

• F¨ ur a ₀ ∈ [1, 3[ gilt im Hinblick auf das in a) ermittelte Monotoniever- halten der Folge a ≤ a ₀ < 3 und damit a = 1.

• F¨ ur a ₀ = 3 ist a ₁ = ¹ ₄ · 3 ² + ³ ₄ = ⁹ ₄ + ³ ₄ = 3 und analog a _n = 3 f¨ ur alle

n ∈ N ⁰ ; damit ist (a _n ) _n≥0 eine konstante Folge mit a = 3.

1.19 Im Falle der Konvergenz der durch die Rekursionsvorschrift x n+1 = 1

5 x ² _n + 6

f¨ ur n ∈ N ⁰ definierten Folge (x n ) n∈ N

0

kommen f¨ ur den Grenzwert a = lim

n→∞ x n wegen a = lim

n→∞ x _n+1 = lim

n→∞

1

5 x ² _n + 6

= 1

5 a ² + 6 und damit

0 = a ² − 5 a + 6 =

Vieta (a − 2)(a − 3)

nur die beiden Werte a = 2 und a = 3 in Frage. Dies motiviert die folgende Fallunterscheidung hinsichtlich des Startwertes x ₀ ∈ [0; 3]:

• F¨ ur x ₀ = 2 ist x ₁ = ¹ ₅ (2 ² + 6) = ¹ ₅ · 10 = 2 und analog x _n = 2 f¨ ur alle n ∈ N 0 ; damit ist (x _n ) n∈ N

0

eine konstante Folge mit Grenzwert a = 2.

• F¨ ur x ₀ = 3 ist x ₁ = ¹ ₅ (3 ² + 6) = ¹ ₅ · 15 = 3 und analog x _n = 3 f¨ ur alle n ∈ N ⁰ ; damit ist (x n ) n∈ N

0

eine konstante Folge mit Grenzwert a = 3.

• F¨ ur x ₀ ∈ ]2; 3[ zeigen wir zun¨ achst x _n ∈ ]2; 3[ f¨ ur alle n ∈ N ⁰ mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion: f¨ ur

” n = 0“ ist dies klar, und f¨ ur

” n → n + 1“ gilt x _n ∈ ]2; 3[ = ⇒ 2 < x _n < 3 = ⇒ 4 < x ² _n < 9 = ⇒ 10 < x ² _n + 6 < 15 = ⇒

= ⇒ 2 < 1

5 x ² _n + 6

< 3 = ⇒ 2 < x _n+1 < 3 = ⇒ x _n+1 ∈ ]2; 3[ . Damit ergibt sich aber

x _n+1 − x _n = 1

5 x ² _n + 6

− x _n = 1

5 x ² _n − 5 x _n + 6

= 1

5 (x _n − 3)

| {z }

<0

(x _n − 2)

| {z }

>0

< 0

und somit x n+1 < x n f¨ ur alle n ∈ N ⁰ ; folglich ist die Folge (x n ) n∈ N

0

streng monoton fallend und (etwa durch 2) nach unten beschr¨ ankt, also konvergent;

als Grenzwert kommt nur a = 2 in Frage.

• F¨ ur x ₀ ∈ [0; 2[ zeigen wir zun¨ achst x _n ∈ [0; 2[ f¨ ur alle n ∈ N 0 mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion: f¨ ur

” n = 0“ ist dies klar, und f¨ ur

” n → n + 1“ gilt x _n ∈ [0; 2[ = ⇒ 0 ≤ x _n < 2 = ⇒ 0 ≤ x ² _n < 4 = ⇒ 6 ≤ x ² _n + 6 < 10 = ⇒

= ⇒ 6 5 ≤ 1

5 x ² _n + 6

< 2 = ⇒ 0 ≤ x n+1 < 2 = ⇒ x n+1 ∈ [0; 2[ . Damit ergibt sich aber

x _n+1 − x _n = 1

5 x ² _n + 6

− x _n = 1

5 x ² _n − 5 x _n + 6

= 1

5 (x _n − 3)

| {z }

<0

(x _n − 2)

| {z }

<0

> 0

und somit x _n+1 > x _n f¨ ur alle n ∈ N 0 ; folglich ist die Folge (x _n ) n∈ N

0

streng

monoton wachsend und (etwa durch 2) nach oben beschr¨ ankt, also konver-

gent; als Grenzwert kommt nur a = 2 in Frage.

1.20 F¨ ur einen beliebigen Startwert a ₀ ∈ R ist die durch

a _n+1 = a ² _n − a _n + 1 f¨ ur alle n ∈ N 0

rekursiv definierte Folge (a _n ) n∈ N

0

zu betrachten.

a) Sei a ₀ ∈ R ein beliebiger Startwert. F¨ ur alle n ∈ N 0 gilt a _n+1 − a _n = a ² _n − a _n + 1

− a _n = a ² _n − 2 a _n + 1 = (a _n − 1) ² ≥ 0, also a n+1 ≥ a n ; damit ist die Folge (a n ) n∈ N

0

monoton wachsend. Gem¨ aß dem Hauptsatz ¨ uber monotone Folgen gibt es nun hinsichtlich des Konvergenz- verhaltens der Folge (a _n ) n∈ N

⁰

nur die beiden Alternativen:

• Ist die Folge (a _n ) n∈ N

0

nach oben beschr¨ ankt, so ist sie konvergent. F¨ ur ihren in diesem Fall existierenden Grenzwert a = lim

n→∞ a _n erh¨ alt man mit Hilfe der Rekursionsvorschrift

a = lim

n→∞ a _n+1 = lim

n→∞ a ² _n − a _n + 1

= a ² − a + 1, folglich

0 = a ² − a + 1

− a = a ² − 2 a + 1 = (a − 1) ² , also a − 1 = 0 und damit zwingend a = 1.

• Ist die Folge (a _n ) n∈ N

0

nicht nach oben beschr¨ ankt, so ist sie bestimmt divergent gegen +∞.

b) F¨ ur einen Startwert a 0 ∈ [0, 1] zeigen wir a n ∈ [0, 1] f¨ ur alle n ∈ N ⁰ mit vollst¨ andiger Induktion:

• F¨ ur

” n = 0“ gilt a ₀ ∈ [0, 1] gem¨ aß der Wahl des Startwerts.

• F¨ ur

” n → n + 1“ gilt gem¨ aß der Induktionsvoraussetzung a _n ∈ [0, 1], also 0 ≤ a _n ≤ 1, woraus a ² _n ≤ a _n und damit

a _n+1 = a ² _n − a _n + 1 ≤ a _n − a _n + 1 = 1

folgt; mit der in a) gezeigten Monotonie gilt ferner a n+1 ≥ a n ≥ 0.

Damit ist die gem¨ aß a) monoton wachsende Folge (a _n ) _{n∈ N}

₀

auch (nach oben) beschr¨ ankt, mithin konvergent, und gem¨ aß a) besitzt sie den Grenzwert a = 1.

c) F¨ ur einen Startwert a ₀ ∈ / [0, 1] gilt a ₀ < 0 oder a ₀ > 1, insbesondere also a ² ₀ > a ₀ , woraus

a ₁ = a ² ₀ − a ₀ + 1 > a ₀ − a ₀ + 1 = 1

folgt. Unter der Annahme, die gem¨ aß a) monoton wachsende Folge (a _n ) n∈ N

0

ist nach oben beschr¨ ankt, erh¨ alt man ihre Konvergenz, und f¨ ur ihren Grenz- wert a ergibt sich in

a ≥

Monotonie

a ₁ > 1 =

gem¨ aß a) a

ein Widerspruch. Folglich ist die Folge (a n ) n∈ N

0

nicht nach oben beschr¨ ankt,

mithin bestimmt divergent gegen +∞.

1.21 a) Die Funktion

f : ]0; ∞[ → R , f (x) = 1 5

4 x + 1 x ⁴

,

ist (als gebrochen-rationale Funktion) differenzierbar, und f¨ ur alle x > 0 gilt f ⁰ (x) = 1

5

4 − 4 x ⁵

= 4

5 x ⁵ x ⁵ − 1 .

F¨ ur alle 0 < x ≤ 1 ist x ⁵ ≤ 1 und damit f ⁰ (x) = 4

5 x ⁵

|{z} >0

· x ⁵ − 1

| {z }

≤0

≤ 0,

so daß f auf ]0; 1] monoton f¨ allt, und f¨ ur alle x ≥ 1 ist x ⁵ ≥ 1 und damit f ⁰ (x) = 4

5 x ⁵

|{z} >0

· x ⁵ − 1

| {z }

≥0

≥ 0,

so daß f auf [1; ∞[ monoton steigt; insbesondere besitzt f in x = 1 ein globales Minimum, und f¨ ur alle x > 0 gilt

f (x) ≥ f (1) = 1 5

4 · 1 + 1 1 ⁴

= 1.

b) F¨ ur die durch einen Startwert x ₁ ≥ 1 und die Rekursionsvorschrift x _k+1 = f(x _k ) f¨ ur alle k ∈ N

definierte Folge (x _k ) k∈ N gilt gem¨ aß a)

x k+1 = f(x k ) ≥ 1 f¨ ur alle k ∈ N ;

damit ist (x _k ) k∈ N durch 1 nach unten beschr¨ ankt, und f¨ ur alle k ∈ N erh¨ alt man infolgedessen

x _k+1 − x _k = f(x _k ) − x _k = 1 5

4 x _k + 1 x ⁴ _k

− x _k = 1 5

1 x ⁴ _k

|{z}

≤1

− x _k

|{z} ≥1

≤ 0.

c) Gem¨ aß b) ist die gegebene Folge (x k ) k∈ N wegen

x _k+1 − x _k ≤ 0, also x _k+1 ≤ x _k

f¨ ur alle k ∈ N monoton fallend und zudem durch 1 nach unten beschr¨ ankt, mithin konvergent. F¨ ur den Grenzwert

x = lim

k→∞ x _k

gilt dann wegen x ≥ 1 unter Verwendung der Rekursionsvorschrift x = lim

k→∞ x _k+1 = lim

k→∞

1 5

4 x _k + 1 x ⁴ _k

= 1 5

4 x + 1 x ⁴

, woraus sich

5 x = 4 x + 1

x ⁴ , also x = 1 x ⁴ , und damit

x ⁵ = 1, also x = 1, ergibt.

1.22 Zu betrachten ist die Funktion

f : R ⁺ → R , f(x) = x ^x ; gem¨ aß der Definition der allgemeinen Potenz

a ^b = exp(b · ln a) f¨ ur alle a ∈ R ⁺ und b ∈ R ergibt sich damit

f(x) = exp(x · ln x) f¨ ur alle x ∈ R ⁺ .

Als Komposition der Exponentialfunktion mit dem Produkt einer linearen Funk- tion und des Logarithmus ist f stetig und (beliebig oft) differenzierbar mit

f ⁰ (x) = exp(x · ln x) ·

1 · ln x + x · 1 x

= f(x) · (ln x + 1) f¨ ur alle x ∈ R ⁺ .

a) F¨ ur alle x ∈ ₁

e , 1

gilt ¹ _e < x < 1, mit der Monotonie des Logarithmus

−1 = ln ¹ _e < ln x < ln 1 = 0,

und wegen x > 0 folgt mit dem Monotoniegesetz der Multiplikation

−1 < −x = x · (−1) < x · ln x < x · 0 = 0, mit der Monotonie der Exponentialfunktion

1

e = exp(−1) < exp(x · ln x) < exp(0) = 1,

also ¹ _e < f (x) < 1, und insbesondere damit 0 < f (x) < 1; des weiteren gilt wegen −1 < ln x < 0 schon 0 < ln x + 1 < 1, zusammen mit 0 < f (x) < 1 demnach

0 < f (x) · (ln x + 1) < 1, also 0 < f ⁰ (x) < 1.

b) F¨ ur die durch x ₀ ∈ ₁

e , 1

sowie x _n+1 = f(x _n ) f¨ ur alle n ∈ N 0

rekursiv definierte Folge (x _n ) n∈ N

0

zeigen wir die Beziehung

1

e < x _n < x _n+1 < 1 f¨ ur alle n ∈ N 0

mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

• F¨ ur

” n = 0“ gilt zun¨ achst f¨ ur den Startwert ¹ _e < x ₀ < 1. Die auf R ⁺ differenzierbare Funktion f gen¨ ugt insbesondere den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf dem Intervall [x ₀ ; 1];

es gibt also ein ξ ∈ ]x ₀ ; 1[ mit

f ⁰ (ξ) = f (1) − f (x 0 )

1 − x ₀ = 1 − x 1

1 − x ₀ , wobei wegen ξ ∈ ₁

e ; 1

gem¨ aß a) schon 0 < f ⁰ (ξ) < 1 und damit 0 < 1 − x 1

1 − x ₀ < 1, wegen 1 − x ₀ > 0 dann

0 < 1 − x ₁ < 1 − x ₀ bzw. 1 > x ₁ > x ₀ , folgt, so daß insgesamt also ¹ _e < x ₀ < x ₁ < 1 gilt.

• F¨ ur

” n → n + 1“ gilt nach Induktionsvoraussetzung ¹ _e < x _n < x _n+1 < 1;

gem¨ aß a) gilt f ⁰ (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ ₁

e ; 1

, so daß die stetige Funktion f auf ₁

e ; 1

streng monoton w¨ achst, aus x n < x n+1 < 1 folgt also f (x n ) < f (x n+1 ) < f (1), also x n+1 < x n+2 < 1, mit ¹ _e < x n+1 damit die Induktionsbehauptung ¹ _e < x n+1 < x n+2 < 1.

c) Die Folge (x _n ) n∈ N

0

ist gem¨ aß b) zum einen wegen x _n < x _n+1 f¨ ur alle n ∈ N 0

(streng) monoton wachsend und zum anderen wegen x _n < 1 f¨ ur alle n ∈ N 0

nach oben beschr¨ ankt, mithin konvergent. F¨ ur den Grenzwert a = lim

n→∞ x _n gilt ¹ _e ≤ a ≤ 1, und mit Hilfe der Rekursionsvorschrift erh¨ alt man

a = lim

n→∞ x n+1 = lim

n→∞ f(x n ) =

f stetig f lim

n→∞ x n

= f(a) = a ^a , woraus

ln a = ln (a ^a ) = a · ln a, also 0 = a · ln a − ln a = (a − 1) · ln a, und damit a − 1 = 0 oder ln a = 0, also auf jeden Fall a = 1 folgt.

1.23 a) Zum Nachweis der Ungleichung

sin x < x f¨ ur alle x > 0

treffen wir die folgende Fallunterscheidung:

• F¨ ur ein x ∈ ]0, 2π] betrachten wir die Einschr¨ ankung f = sin | _[0,x] der Sinusfunktion auf das abgeschlossene Intervall [0, x] ⊆ R ; diese ist dif- ferenzierbar und erf¨ ullt damit insbesondere die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, n¨ amlich Stetigkeit auf [0, x]

und Differenzierbarkeit auf ]0, x[. Damit existiert ein ξ ∈ ]0, x[ mit sin x − sin 0 = sin ⁰ ξ · (x − 0), also sin x = cos ξ · x;

wegen ξ ∈ ]0, 2π[ ist cos ξ < 1, woraus wegen x > 0 dann sin x = cos ξ · x < 1 · x = x

folgt.

• F¨ ur ein x ∈ ]2π, ∞[ ergibt sich direkt

sin x ≤ 1 < 2π < x.

Damit gilt wegen sin 0 = 0 insbesondere sin x ≤ x f¨ ur alle x ≥ 0.

b) F¨ ur die zu einem beliebigen Startwert x 0 ∈ R durch x _n+1 = sin x _n f¨ ur alle n ∈ N 0

rekursiv definierte Folge (x _n ) _{n∈ N}

₀

gilt

x ₁ = sin x ₀ ∈ [−1, 1] ,

und wir treffen im Hinblick auf a) die folgende Fallunterscheidung:

• Sei zun¨ achst x ₁ ∈ [0, 1]; wir zeigen hierf¨ ur 0 ≤ x _n ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

– f¨ ur

” n = 1“ gilt x ₁ ∈ [0, 1], also 0 ≤ x ₁ ≤ 1.

– f¨ ur

” n → n + 1“ gilt 0 ≤ x _n ≤ 1, insbesondere also 0 ≤ x _n ≤ ^π ₂ ; da der Sinus auf

0, ^π ₂

monoton w¨ achst, folgt

sin 0 ≤ sin x _n ≤ sin ^π ₂ , also 0 ≤ x _n+1 ≤ 1.

F¨ ur alle n ∈ N gilt damit 0 ≤ x _n , woraus gem¨ aß a) dann x n+1 = sin x n ≤ x n

folgt; damit ist (x _n ) n∈ N monoton fallend und (etwa durch 0) nach unten beschr¨ ankt, mithin konvergent. F¨ ur den Grenzwert x = lim

n→∞ x _n ergibt sich damit zum einen x ≥ 0 und zum anderen

x = lim

n→∞ x n+1 = lim

n→∞ sin x n

=

sin stetig sin lim

n→∞ x n

= sin x;

gem¨ aß a) gilt sin x > x f¨ ur alle x > 0, so daß man x = 0 erh¨ alt.

• Sei nun x ₁ ∈ [−1, 0]; f¨ ur die zum Startwert x ⁰ ₀ = −x ₀ ∈ R rekursiv definierte Folge (x ⁰ _n ) _{n∈ N}

₀

gilt dann x ⁰ _n = −x _n f¨ ur alle n ∈ N ⁰ :

– f¨ ur

” n = 0“ gilt x ⁰ ₀ = −x ₀ nach Wahl von x ⁰ ₀ .

– f¨ ur

” n → n + 1“ gilt x ⁰ _n = −x _n ; da der Sinus ungerade ist, folgt x ⁰ _n+1 = sin x ⁰ _n = sin(−x _n ) = − sin x _n = −x _n+1 .

Wegen x ⁰ ₁ = −x ₁ ∈ [0, 1] ergibt sich gem¨ aß obigem Fall

n→∞ lim x ⁰ _n = 0 und damit lim

n→∞ x n = lim

n→∞ −x ⁰ _n

= 0.

1.24 a) F¨ ur jedes n ∈ N ist das Folgenglied a _n = 1

n + 1

n + 1 + . . . + 1 2n

die Summe der n + 1 aufeinanderfolgenden Stammbr¨ uche _n ¹ , _n+1 ¹ , . . . , _2n ¹ ; damit ergibt sich zum einen

a _n = 1 n

|{z}

≤

¹_n

+ 1

n + 1

| {z }

≤

¹

n

+ . . . + 1 2n

|{z}

≤

_n¹

≤ (n + 1) · 1

n = 1 + 1 n ≤ 2

und zum anderen a _n = 1

n

|{z}

≥

¹

2n

+ 1

n + 1

| {z }

≥

_2n¹

+ . . . + 1 2n

|{z}

≥

¹

2n

≥ (n + 1) · 1

2n ≥ n · 1 2n ≥ 1

2 .

Damit ist die Folge (a _n ) n≥1 beschr¨ ankt.

b) F¨ ur alle n ∈ N gilt a _n+1 − a _n =

1

n + 1 + . . . + 1

2n + 1

2n + 1 + 1 2n + 2

− 1

n + 1

n + 1 + . . . + 1 2n

= 1

2n + 1

| {z }

≤

¹

2n

+ 1

2n + 2

| {z }

≤

¹

2n

− 1 n ≤ 1

2n + 1 2n − 1

n = 1 n − 1

n = 0;

damit ist die Folge (a _n ) n≥1 monoton fallend. Zusammen mit der in a) ge- zeigten Beschr¨ anktheit ist die Folge (a _n ) n≥1 insbesondere also konvergent.

1.25 F¨ ur die gegebene durch

x ₁ = 1 und x _n+1 = 1 + 1

x _n f¨ ur alle n ∈ N rekursiv definierte Folge (x _n ) n∈ N gilt

x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = ³ ₂ , x ₄ = ⁵ ₃ , x ₅ = ⁸ ₅ , x ₆ = ¹³ ₈ , . . . Sie besitzt daher die Teilfolgen

(x 2n−1 ) _n∈

N = (x ₁ , x ₃ , x ₅ , . . .) = 1, ³ ₂ , ⁸ ₅ , . . .

und

(x _2n ) _n∈

N = (x ₂ , x ₄ , x ₆ , . . .) = 2, ⁵ ₃ , ¹³ ₈ , . . .

Wir zeigen zun¨ achst 1 ≤ x _n ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“: Es ist x 1 = 1 und damit 1 ≤ x 1 ≤ 2.

” n → n + 1“: Es ist 1 ≤ x _n ≤ 2 und damit 1 ≥ 1

x _n ≥ 1

2 = ⇒ 2 ≥ 1 + 1 x _n ≥ 3

2 = ⇒ 2 ≥ x _n+1 ≥ 1.

a) Wir zeigen x 2n−1 ≤ x _2n+1 f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:

” n = 1“: Es ist

x 1 = 1 ≤ 3 2 = x 3 .

” n → n + 1“: Es ist x 2n−1 ≤ x _2n+1 = ⇒

x

2n−1

>0

1 x 2n−1

≥ 1

x _2n+1 = ⇒ 1 + 1

x 2n−1

| {z }

=x

2n

≥ 1 + 1 x _2n+1

| {z }

=x

2n+2

= ⇒ x _2n ≥ x _2n+2 = ⇒

x

2n+2

>0

1

x _2n ≤ 1 x _2n+2

= ⇒ 1 + 1 x 2n

| {z }

=x

2n+1

≤ 1 + 1 x 2n+2

| {z }

=x

2n+3

= ⇒ x _2n+1 ≤ x _2n+3

Damit ist die zun¨ achst Teilfolge (x 2n−1 ) _n∈

N monoton wachsend. F¨ ur alle n ∈ N gilt also x 2n−1 ≤ x _2n+1 , woraus sich

1 x 2n−1

≥ 1

x _2n+1 und damit x _2n = 1 + 1 x 2n−1

≥ 1 + 1

x _2n+1 = x _2n+2 ergibt; folglich ist dann die Teilfolge (x _2n ) _n∈

N monoton fallend.

b) Die Teilfolge (x _2n−1 ) _n∈

N ist gem¨ aß a) monoton wachsend und gem¨ aß den ein- leitenden Bemerkungen (durch 1 nach unten und 2 nach oben) beschr¨ ankt, also konvergent, und besitzt daher einen Grenzwert a = lim

n→∞ x 2n−1 , f¨ ur den ebenfalls 1 ≤ a ≤ 2 gilt. Wegen

x _2n+1 = 1 + 1

x _2n = 1 + 1 1 + _x ¹

2n−1

= 1 + x 2n−1

x _2n−1 + 1 = 2 x 2n−1 + 1 x _2n−1 + 1 f¨ ur alle n ∈ N ergibt sich

a = lim

n→∞ x 2n+1 = lim

n→∞

2 x 2n−1 + 1

x 2n−1 + 1 = 2 a + 1 a + 1 und damit

a (a + 1) = 2 a + 1, also a ² − a − 1 = 0, woraus sich

a = −(−1) ± p

(−1) ² − 4 · (−1)

2 = 1 ± √

5

2 ,

wegen 1 ≤ a ≤ 2 also

a = 1 + √ 5 2

ergibt. Des weiteren ist die Teilfolge gem¨ aß a) (x _2n ) _n∈

N monoton fallend und beschr¨ ankt, also konvergent, und mit denselben ¨ Uberlegungen wie eben ergibt sich f¨ ur den Grenzwert b = lim

n→∞ x _2n dann b = 1 + √

5 2 .

Damit konvergiert auch die gesamte Folge (x _n ) n∈ N gegen den Grenzwert a = b.

1.26 Sei c Grenzwert einer konvergenten Teilfolge der gegebenen Folge (a _n ) n≥1 reeller Zahlen; sei etwa (a _n

_k

) _k≥1 diese Teilfolge mit

k→∞ lim a _n

_k

= c.

Folglich gilt

k→∞ lim a ² _n

k

= c ² ; dabei ist a ² _n

k

k≥1 eine Teilfolge der sogar als konvergent vorausgesetzten Folge (a ² _n ) n≥1 reeller Zahlen. Damit erhalten wir

c ² = lim

k→∞ a ² _n

k

= lim

n→∞ a ² _n = a ² , woraus sich aber sofort c = a oder c = −a ergibt.

1.27 a) Da die Folge (a _n ) n∈ N nach Voraussetzung gegen a ∈ R konvergiert, ist die Folge (a _n − a) _{n∈ N} eine Nullfolge und damit insbesondere beschr¨ ankt; es gibt also ein M > 0 mit |a _n − a| ≤ M f¨ ur alle n ∈ N .

Wir weisen nun anhand der Definition nach, daß auch die Folge (b _n ) _{n∈ N} der arithmetischen Mittelwerte

b _n = 1 n

n

X

k=1

a _k f¨ ur alle n ∈ N gegen a ∈ R konvergiert; sei dazu ε > 0.

• Wegen lim

n→∞ a _n = a gibt es zu ₂ ^ε > 0 ein n ₁ ∈ N mit

|a _n − a| < ε

2 f¨ ur alle n ≥ n ₁ ;

• dann gibt es wegen lim

n→∞

M n

1

n = 0 ein n ₂ ∈ N mit M n ₁

n < ε

2 f¨ ur alle n ≥ n ₂ .

Sei nun n ₀ = max{n ₁ , n ₂ }; f¨ ur alle n ≥ n ₀ gilt dann

|b _n − a| = 1

n (a ₁ + . . . + a _n ) − a

= 1 n ·

(a ₁ + . . . + a _n ) − n · a

= 1 n ·

(a 1 − a) + . . . (a n − a) ≤ 1

n · |a 1 − a| + . . . + |a n − a|

= 1 n ·

|a ₁ − a|

| {z }

≤M

+ . . . + |a _n

₁

− a|

| {z }

≤M

+

+ 1 n

|a _n

₁

₊₁ − a|

| {z }

<

^ε₂

+ . . . + |a _n − a|

| {z }

<

₂^ε

≤ 1

n · n 1 · M + 1

n · (n − n 1 )

| {z }

≤n

· ε

2 ≤ M n ₁ n + ε

2 < ε 2 + ε

2 = ε.

Damit ist die Folge (b _n ) n∈ N konvergent mit lim

n→∞ b _n = a.

b) Die alternierende Folge (a _n ) n∈ N mit a _n = (−1) ⁿ f¨ ur alle n ∈ N besitzt die beiden H¨ aufungspunkte −1 und 1, ist also insbesondere nicht konvergent.

F¨ ur alle n ∈ N gilt aber

n

X

k=1

a k = (a 1 + a 2 )

| {z }

=0

+ (a 3 + a 4 )

| {z }

=0

+ . . . + a n =

( 0, falls n gerade,

−1, falls n ungerade, und damit

|b _n | = 1 n ·

n

X

k=1

a _k

= 1 n ·

n

X

k=1

a _k

| {z }

≤1

≤ 1

n −→

n→∞ 0,

woraus sich mit dem Schrankenlemma lim

n→∞ b _n = 0 ergibt.

1.28 a) Die Folge (a n ) n∈ N ist nach Voraussetzung konvergent mit lim

n→∞ a n = a; damit konvergiert auch die (lediglich um einen Index verschobene) Folge (a _n+1 ) n∈ N

mit lim

n→∞ a _n+1 = a. Folglich ist zun¨ achst (a _n + a _n+1 ) n∈ N als Summe konver- genter Folgen konvergent mit

n→∞ lim (a _n + a _n+1 ) = lim

n→∞ a _n + lim

n→∞ a _n+1 = a + a = 2 a

und schließlich (b n ) n∈ N mit b n = ¹ ₂ (a n + a n+1 ) f¨ ur alle n ∈ N als Vielfaches einer konvergenten Folge konvergent mit

n→∞ lim b _n = lim

n→∞

1

2 (a _n + a _n+1 ) = 1 2 · lim

n→∞ (a _n + a _n+1 ) = 1

2 · (2 a) = a.

Alternativ l¨ aßt sich auch direkt mit Hilfe der Definition argumentieren: da

die Folge (a _n ) n∈ N gegen a ∈ R konvergiert, gibt es zu jedem ε > 0 ein n ₀ ∈ N

mit |a _n − a| < ε f¨ ur alle n ≥ n ₀ ; damit folgt

|b _n − a| = 1

2 (a _n + a _n+1 ) − a

= 1

2 · |(a _n + a _n+1 ) − 2 a| =

= 1

2 · |(a _n − a) + (a _n+1 − a)| ≤ 1

2 · |a _n − a|

| {z }

<ε

+ |a _n+1 − a|

| {z }

<ε

< ε

f¨ ur alle n ≥ n ₀ , und damit konvergiert die Folge (b _n ) n∈ N gegen a ∈ R . b) Die Folge (a _n ) n∈ N mit a _n = (−1) ⁿ f¨ ur alle n ∈ N besitzt wegen

a 2k = (−1) ^2k = 1 −→

k→∞ 1 und

a 2k−1 = (−1) ^2k−1 = −1 −→

k→∞ −1

die beiden H¨ aufungspunkte 1 und −1, ist also insbesondere nicht konvergent.

Die zugeh¨ origen Folge (b _n ) n∈ N ist jedoch wegen b _n = 1

2 (a _n + a _n+1 ) = 1

2 (−1) ⁿ + (−1) ⁿ⁺¹

= (−1) ⁿ

2 (1 + (−1)) = 0 f¨ ur alle n ∈ N die konstante Nullfolge und damit insbesondere konvergent.

c) Die Folge (b _n ) _{n∈ N} ist nach Voraussetzung konvergent, insbesondere (nach oben) beschr¨ ankt, es gibt also ein M ∈ R mit b _n ≤ M f¨ ur alle n ∈ N . Da die Folge (a _n ) n∈ N nach Voraussetzung monoton wachsend ist, gilt a _n ≤ a _n+1 und folglich

M ≥ b _n = 1

2 (a _n + a _n+1 ) ≥ 1

2 (a _n + a _n ) = a _n

f¨ ur alle n ∈ N ; damit ist auch die Folge (a _n ) n∈ N nach oben beschr¨ ankt,

demnach als monoton wachsende Folge bereits konvergent.