UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 12
BESPRECHUNG AM
MITTWOCH, 22. JUNI, 10:30 IM SE 101C
SABINE HITTMEIR
Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass ein FunktionalF ∈C1(H;R) auf dem Hilbertraum H die Palais-Smale-Bedingung erf¨ullt, falls es folgende Eigenschaften hat:
(i) Jede Palais-Smale-Folge f¨urF ist in H beschr¨ankt.
(Eine Palais-Smale-Folge ist eine Folge (un) inH, sodass (F(un)) beschr¨ankt und DF(un) → 0, d.h. genau Bedingungen (i),(ii) aus Definition 7.2)
(ii) Es gibt einen linearen Operator L : H → H mit stetiger In- versen sowie einen stetigen (m¨oglicherweise nichtlinearen) Ope- rator K : H → H, der beschr¨ankte Mengen in pr¨akompakte Mengen abbildet, so dass an jeder Stelleu∈H gilt:
DF(u) =Lu+K(u).
Aufgabe 2. Sei Ω ⊂ Rn beschr¨ankt und 2 < m < n−22n . Zeigen Sie, dass das Funktional
F(u) = 1 2
Z
Ω
|∇u|2dx− 1 m
Z
Ω
|u|mdx, u∈H01(Ω)
nach oben und untenunbeschr¨ankt ist. (Vergl. Bemerkung 7.3 im Skrip- tum)
Aufgabe 3. Folgendes Beispiel demonstriert die Notwendigkeit der Kompaktheitsbedingung im MPT (Satz 7.3 des Skriptums):
F(x, y) = x2+ (1−x)3y2, (x, y)∈R2
erf¨ullt alle geometrischen Bedingungen (i)-(iii) des MPT: Bedingung (ii) mitr = 12, sowieF(0,0) =F(2,2) = 0. Der einzige kritische Punkt von F ist jedoch (0,0).
Zeigen Sie, dass die Palais-Smale Bedingung nicht erf¨ullt ist.
sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.
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