sucheun+1 ∈Vh so, dass (un+1−un)/τ, v +a (un+1+un)/2, v = f((tn+1+tn)/2), v , f¨ur alle v∈Vh

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 03.06.2014 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

9. ¨Ubungsblatt zur Numerik instation¨arer Differentialgleichungen

Aufgabe 22: (Charakteristische Gleichung bei Mehrschrittverfahren)

(a) Zeigen Sie durch Induktion nach j, dass f¨ur die Folgey_k =ζ^k,k= 0,1, . . . gilt:

∇^jy_k=ζ^k

1−1 ζ

j

,

wobei∇⁰y_k=y_k,∇^jy_k=∇^j−1y_k− ∇^j−1yk−1 f¨urj≥1.

(b) Zeigen Sie damit f¨ur implizite Adams-Verfahren:

α(ζ) =ζ^k

1−1 ζ

, β(ζ) =ζ^k

k

X

j=0

γ_j^∗

1−1 ζ

j

,

wobei

γ_j^∗= (−1)^j Z 1

0

−s+ 1 j

ds.

(c) Zeigen Sie f¨ur BDF-Verfahren (gegeben durch Pk

j=1j⁻¹∇^jyn+k=hfn+k):

α(ζ) =ζ^k

k

X

j=1

1 j

1−1

ζ j

, β(ζ) =ζ^k.

Aufgabe 23: (Crank-Nicolson-Verfahren)

Eine Finite-Element-Diskretisierung im Raum und Verwendung der Mittelpunktsregel zur Zeit- diskretisierung eines parabolischen Problems ergibt das Schema:

F¨urn= 0,1,2, . . ., sucheun+1 ∈V_h so, dass

(u_n+1−u_n)/τ, v +a

(u_n+1+u_n)/2, v

=

f((t_n+1+t_n)/2), v

, f¨ur alle v∈V_h . (a) In jedem Schritt f¨uhrt dieses Verfahren auf ein lineares Gleichungssystem imR^N. Geben Sie

dieses an.

(b) Leiten Sie mittels “Energieabsch¨atzungen” eine Stabilit¨atsungleichung f¨ur das Verfahren her.

Bitte wenden!

Aufgabe 24: (Crank-Nicolson-Verfahren)

Zeigen Sie, dass in der Situation von Aufgabe 23 f¨urnτ ≤T unter geeigneten Regularit¨atsannahmen (welchen?) die Fehlerabsch¨atzungen

|u_n−u(tn)| ≤C(h²+τ²),



τ

n−1

X

j=0

u_j+1+u_j

2 −u

t_j+1+t_j 2

2



1/2

≤C(h+τ²)

gelten.

Besprechung in der ¨Ubung am 17.06.2014.

Ansprechpartner: Bernd Brumm,

brumm@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde Fr 13 - 17 nach Anmeldung