(Hinweis: Borel–Cantelli.) b) Zeigen Sie: F¨ur eine monotone Folgetn mit |tn−tn−1| ≥tn/2, gilt fast sicher n→∞lim Btn−Btn−1 √tn

TU Darmstadt Fachbereich Mathematik

Jakob Creutzig

SS 2007 01.06.07

7. Aufgabenblatt zur Vorlesung

”Stochastische Analysis“

Aufgabe 1:

Es sei p > 0 gegeben. Finden Sie einen unstetigen Prozeß X, sodaß f¨ur ein geeignetes C > 0 f¨ur allet, s ≥0 gilt

E|X_s−X_t|^p ≤C|t−s|.

(Hinweis: Untersuchen Sie Prozesse der Form Xt =1ξ≤tmit einer passenden nichtnegativen Zufallsvariablen ξ.)

Aufgabe 2:

Es sei X ein F adaptierter Prozeß und Y eine Modifikation von X. Zeigen Sie: Falls F die ¨ublichen Voraussetzungen erf¨ullt, ist auch Y F–adaptiert.

(!*)Aufgabe 3:

Sei B eine Brownsche Bewegung.

a) Zeigen Sie f¨ur jede Folge t_n mit t_n≥n, daßB_tn/t_n→0 P–f.s..

(Hinweis: Borel–Cantelli.)

b) Zeigen Sie: F¨ur eine monotone Folget_n mit |t_n−tn−1| ≥t_n/2, gilt fast sicher

n→∞lim

B_tn−B_tn−1

√t_n =∞.

Hinweis:Wieder Borel–Cantelli; man beachte die unabh¨angigen Zuw¨achse.

c) Beweisen Sie, daß P–f.s. gilt:

t→∞lim B_t

√t =− lim

t→∞

B_t

√t =∞.

Hinweis: Nutzen Sie b) mit einer Folge t_n, die noch t²_n−1 ≤t_n erf¨ullt.

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d) Folgern Sie: Die eindimensionale Brownsche Bewegung ist rekurrent, d.h. f¨ur jedess ≥0 ist die Menge Γ_s(ω) = {t≥s :B_t(ω) = B_s(ω)}ist f.s. unbeschr¨ankt.

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